La Décomposion Spectrale Intrinsèque

Principe de la Décomposition Spectrale Intrinsèque

La Décomposition Spectrale Intrinsèque ou Spectral Intrinsic Decomposition (SID) [NTDL12] est une méthode auto-adaptative de représentation du signal, qui est inspirée de l’approche spectrale du sifting process pour la décomposition modale empirique [NDL10]. La décomposition se fait à partir d’un dictionnaire composé de vecteurs propres de l’opérateur enveloppe supérieure ou inférieure du signal s0 à décomposer. Cet opérateur renferme des informations sur la position des points caractéristiques et sur le signal dans sa globalité. Cela est dû au fait que la fonction de diffusivité qui reste un élément essentiel de cet opérateur, est construite à partir de ces points caractéristiques, mais dépend aussi des dérivées première, seconde et troisième du signal à décomposer selon le modèle de diffusion choisi. Ce qui explique d’ailleurs le caractère intrinsèque et auto-adaptatif de la méthode SID. Cette enveloppe supérieure S+ ou inférieure S− n’est rien d’autre que la solution asymptotique d’un système d’équations aux dérivées partielles couplées définie dans la section 6.2. Ces vecteurs propres sont appelés Fonction Mode Propre Spectrale ou Spectral Proper Mode Function (SPMF). Notre objectif est de pouvoir donner une représentation du signal s0 comme une combinaison linéaire de ces SPMF.

Présentation de l’algorithme de la Décomposition Spectrale Intrinsèque

La procédure de la Décomposition Spectrale Intrinsèque (SID) est définie comme le calcul des SPMFs pour un signal donné. Prenons les mêmes notations que dans le chapitre 6 et considérons l’opérateur enveloppe supérieure E = L −1 (cf. (6.21)). La même procédure peut être effectuée pour l’enveloppe inférieure. La décomposition en valeurs propres de E donne : [VE, LE] = eig(E), où VE =  V1, …, VSIZEOF(s0)  et LE =  L1, …, LSIZEOF(s0)  , (avec possibilité de compléter par des zéros pour atteindre la taille du vecteur) sont respectivement l’ensemble des vecteurs propres et l’ensemble des valeurs propres de E. Les coefficients de reconstruction s0 sont donnés par : C = LEV −1 E s > 0 (7.1) avec s > 0 la transposée de s0. D’où le signal s0 est calculé par la formule s0 = V C. 7.4. Propriétés des SPMFs 111 La Décomposition Spectrale Intrinsèque de s0 décrit dans Algorithme 5, est donnée comme suit : s0 = X N k=1 VkCk (7.2) Cette décomposition est intrinsèque et ne dépend que de la position des points caractéristiques du signal d’entrée de s0 qui définissent la diffusivité en fonction de l’opérateur d’interpolation. Nous remarquons que le SID fournit les mêmes capacités de reconstruction aussi bien avec l’enveloppe supérieure qu’avec l’enveloppe inférieure. La raison en est que l’opérateur INTERPOLATEUR EDP utilise toutes les données du signal s0 et les SPMFs issus de cette décomposition génèrent le même espace fonctionnel. Tous les SPMFs participent localement à la reconstruction du signal s0. Par conséquent, au sens du principe de superposition, le SID est plus général que l’EMD classique. Algorithm 5 : Spectral Intrinsic Decomposition Algorithm 1: compute diffusivity function g ± from s0, using for example MCP (6.8) 2: compute matrix operator L −1 = E (6.18) 3: perform eigendecomposition of E, [VE, LE] = eig(E) 4: perform reconstruction coefficients of s0, C = LEV −1 E s > 0 5: set [Vk], and [Lk] for k = 1…N, . Results and s0 ← PN k=1 Vk ∗ Ck 7.4 Propriétés des SPMFs Les SPMFs calculés à partir de l’opérateur E sont adaptatifs et bien localisés autour des points caractéristiques du signal. Dans la figure 7.1, nous montrons le signal original à la figure 7.1(a), et des vecteurs propres – SPMFs V p920, V p940, V p960, V p980, V p100 – associés aux plus basses valeurs propres pour l’enveloppe supérieure de la figure 7.1(b). La figure 7.1(c) présente les SPMFs V p20, V p40, V p60, V p80 et V p100. Autour de l’intermittence à la coordonnée 400, les dernièrs SPMFs correspondants aux plus petites valeurs propres présentent une non-stationnarité mais partout ailleurs contribuent à la composition du signal, avec une composante fixe et centrée, modulées en amplitude et en fréquence (AM-FM). Il est intéressant de noter que le sifting process de l’EMD [HSLa98] permet de traquer ces composantes AM-FM en recherchant de manière itérative autour des points caractéristiques, les extrema par exemple.

La Décomposion Spectrale Intrinsèque 

Qualité d’atomes temps-fréquences

Avant même de considérer une analyse temps-fréquence en terme énergétique, une approche intuitive est de décomposer linéairement un signal sur un ensemble de briques de base auxquelles on est en droit d’imposer de bonnes propriétés de localisation, en temps comme en fréquence. Lorsque le principe de l’EMD classique conduit à un niveau de décomposition locale à deux composantes – une composante fortement oscillée et une tendance locale -, la décomposition SID donne une séquence de composantes vraiment localisées dont le nombre est suppérieur au nombre de points caractéristiques selon la formule suivante : S0 = X k∈{j/λj=1} Vk ∗ Ck + X k /∈{j/λj=1} Vk ∗ Ck. (7.3) où Vk représente un vecteur propre de E (SPMF) et Ck le coefficient de décomposition qui dépend du signal d’entrée s0. Le premier terme de (7.3) correspond à l’enveloppe du signal s0. Ensuite, il apparaît que le SID fournit une généralisation du principe de l’EMD classique parce que dans (7.3), nous avons un nombre de composantes plus grand que le nombre de maxima ou de minima. Les SPMFs participent tous à la dynamique du signal avec une forte localisation autour des points qui ont généré les vecteurs propres. Dans la figure 7.2 nous avons représenté quelques SPMFs avec leur représentation dans le plan temps-fréquence pour montrer que les atomes issus de la décomposition SID sont bien adaptés à une analyse de type temps-fréquence. 7.4.2 Construction d’un dictionnaire temps-fréquences Dans la plupart des cas, un SPMF peut être considéré comme une ondelette non linéaire à bande étroite avec une modulation d’amplitude par un signal de basse fréquence a [n] : SPMFk [n] = ak [n] ϕk [n] . (7.4) Nous pouvons alors construire un dictionnaire D définit par : D = n (ψp) p=1,..,N o , (7.5) N étant le nombre de SPMFs. Le choix du dictionnaire D a une très grande influence sur la qualité de la décomposition du signal. En effet, si le dictionnaire ne contient pas du tout ou très peu d’atomes adaptés aux structures présentes dans le signal, la décomposition sera, quelle que soit la méthode choisie, mauvaise. L’avantage que nous avons avec le SID est son caractère intrinsèque et auto-adaptatif. Ce qui fait que les atomes du dictionnaire construit à partir des SMPFs représentent bien les différentes caractéristiques du signal à décomposer. Cependant, chaque signal peut être écrit sous forme d’une combinaison linéaire des vecteurs de ce dictionnaire. La redondance et l’orthogonalité du dictionnaire dépendent des propriétés de l’opérateur E. Si E est symétrique, on peut avoir l’orthogonalité et des SPMFs qui sont très similaires aux ondelettes comme le montre l’exemple de la figure 7.1.