Les différentes corrections inhérentes à la projection

Laborde  Corrections linéaires Soit la figure suivante qui montre les différentes distances existantes: Distance sur le plan La distance entre deux points sur le plan s’obtient en utilisant les coordonnées rectangulaires. On note Dplan cette distance et soient deux points A (XvA, YvA) et B (XvB, YvB), la distance AB est égale : Dplan = √(XvB − XvA) 2 + (YvB − YvA) 2 Distance horizontale La distance horizontale est mesurée sur la surface de niveau d’altitude moyenne. Elle est donnée par la formule : Dh = Dp × sin Dz = Dp ×cos i Avec Dp : distance suivant la pente Dz : distance zénithale i : angle de site ESPA 2016-2017 Page xv Distance sur l’ellipsoïde C’est la distance mesurée sur le terrain ramenée au niveau zéro. C’est la longueur du curviligne entre A et B notée A0B0 = D0 définie par : D0 = 𝐷ℎ ×𝑅 𝑅+𝐻𝑚 Avec Hm désigne l’altitude moyenne Dh distance horizontale R rayon de la terre  Réduction à l’horizontale Pour les mesures topographiques courantes, le passage de la distance mesurée suivant la pente Dp à la distance horizontale peut se calculer par : Dh = Dp cos i où i l’angle de site Cette formule ne tient pas compte de la courbure des surfaces de niveau et elle ne peut être employée que sur des distances courtes, inférieures à 500 m et des sites faibles. Dans le cas contraire, Dh est obtenue à partir de la formule suivante : Dp – Dh ≈ ∆𝐻2 2×𝐷𝑝  Réduction au niveau zéro ou à l’ellipsoïde La relation entre Dh et D0 est donnée par les formules suivantes : 𝐷0 𝑅 = 𝐷ℎ 𝑅+𝐻𝑚 ou 𝐷ℎ − 𝐷0 = 𝐷ℎ 𝐻𝑚 𝑅 Avec Hm : altitude moyenne R : rayon de la terre égal à 6 400 km Dh : distance horizontale D0 : distance sur l’ellipsoïde ESPA 2016-2017 Page xvi Cette quantité est importante pour les longues distances mesurées sur le terrain (distance géodésique : bases, …), les altitudes élevées, ou pour une mesure de grande précision. Elle est négligeable en topographie courante à courte distance. Il y a une autre formule appelé formule exacte groupée définie par : 𝐷0 = 𝐷𝑃√ 1 − ( ∆𝐻 𝐷𝑃 ) 2 (1 + 𝐻𝐴 𝑅 )(1 + 𝐻𝐵 𝑅 ) Il est recommandé de toujours employer la formule exacte pour obtenir une distance connue avec précision.  Correction de courbure Une distance « réduite au niveau zéro » doit être évaluée sur l’ellipsoïde, et le passage du trajet quasi-rectiligne aux surfaces de niveau peut s’effectuer sur Dh ou sur D0 par une correction positive très faible appelée correction de courbure : D0 distance suivant la courbe d0 distance linéaire 

Correction liée à la projection

Laborde Altération linéaire L’altération linéaire dans la projection Laborde est donnée par la formule suivante : 𝐾 = 𝐾0 [1 + 1 2 × 𝑅0 2 ŋ 2 ] Avec K0 = 0.9995 R0 = 𝐾0√𝑁0𝜌0 = 6358218.318m  (Xv 400000)× cos 21𝑔𝑟 + (𝑌𝑣 − 800000) × sin21𝑔𝑟 En pratique, il suffit de calculer le coefficient K puis appliquer les relations suivantes : 𝐷𝑝𝑙𝑎𝑛 = 1 𝐾 × 𝐷0 Passage d’une distance de l’ellipsoïde au plan et 𝐷0 = 𝐾 × 𝐷𝑝𝑙𝑎𝑛 Passage d’une distance sur le plan à l’ellipsoïde Remarque En projection Laborde, l’altération linéaire peut être obtenue soit à partir d’un abaque (représenté sous forme d’une table.) soit à partir des formules.  Correction de dV (réduction à la corde) C’est la correction angulaire noté dV qui s’applique soit aux gisements observés, soit aux directions observées afin d’obtenir les gisements réels à introduire dans les calculs. En réalité, les observations faites sur terrain sont des triangles sphériques. Afin de faciliter les calculs, il faut les ramener à des triangles plans comme indiqué dans la figure suivante : 

Conversion du triangle sphérique en triangle plan

La correction de dV est indispensable pour la fermeture des triangles plans. En effet, tout triangle plan doit être fermé à 200 grad. Cette correction de dV est donnée par la formule : 𝑑𝑉 ′′ = 𝛾 ∗ 𝐷(𝑚) ∗ ŋ1 3 (𝑚) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑉𝐴𝐵 − 121 𝑔𝑟𝑎𝑑) Où 𝛾 = 7,87 × 10−9 D distance en mètre entre la station et le point visé ŋ𝟏 𝟑 = 2ŋ𝐴 + ŋ𝐵 3 VAB gisement de la direction AB Signe de la correction de dV Si la correction dV’’ de A visant B est positive, alors obligatoirement la correction de dV’’ de B visant A est négative.