La ligne de partage des eaux

La ligne de partage des eaux (LPE) constitue l’approche morphologique de la segmentation d’une image en NG. L’idée de base derrière les méthodes de segmentation basées sur la ligne de partage des eaux est de considérer une image à niveaux de gris comme un relief topographique. Le relief est inondé d’eau. A chaque fois que la hauteur de l’eau atteint l’altitude d’un minimum local, un bassin versant est créé. A chaque fois que deux bassins versants se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une « digue ». L’ensemble des digues forme la LPE (Figure II.2). Figure II.2. La ligne de partage des eaux et similitude avec le relief topographique Il s’agit alors de calculer la ligne partage des eaux du dit relief. Les bassins versants ainsi obtenus correspondent aux régions de la partition. Si on considère l’image à niveaux de gris comme une fonction de R 2 dans R suffisamment régulière, on peut alors définir proprement la ligne de partage des eaux. Cependant, dans le cas discret (fonctions de Z2 dans Z), qui correspond mieux aux images considérées, il n’existe pas à ce jour de définition consensuelle de cette transformation. Plusieurs algorithmes ont été proposés pour la calculer, donnant autant de définitions, pas toujours équivalentes.

On peut classer les algorithmes de construction de la ligne de partage des eaux en trois catégories. Les algorithmes par inondation simulent une montée progressive du niveau d’eau à partir des minima du relief. Les algorithmes par ruissellement suivent, à partir de chaque pixel de l’image, la ligne de plus grande pente jusqu’à atteindre un minimum. Finalement, les algorithmes topologiques proposent une déformation progressive du relief, préservant certaines caractéristiques topologiques, jusqu’à ce qu’il soit réduit à une structure fine correspondant à la ligne de partage des eaux. La LPE du gradient de l’image est sur-segmentée, même si comme, l’image originale est homogène. Ceci est dû au fait que les images gradient des images naturelles contiennent un grand nombre de minima (dû au bruit du système de prise de vue par exemple ou à variations locales non significatives des niveaux de gris ou encore aux textures des régions). Chaque minimum génère un bassin versant dans la LPE. Il existe plusieurs méthodes qui permettent de pallier à cette sur-segmentation. La première consiste à filtrer l’image originale afin de supprimer tous les minima non-significatifs : c’est l’approche filtrage. La deuxième consiste à choisir le nombre de minima locaux et donc le nombre de zones que l’on souhaite mettre en évidence grâce à la LPE : c’est l’approche marqueurs (swamping). (Figure II.3) .

Dimension fractale

La dimension fractale indique un certain degré d’occupation de l’espace physique par une forme fragmentée, ramifiée et tortueuse ; elle décrit la complexité d’une forme. Il existe plusieurs définitions de la dimension fractale comme indiqué dans le tableau II.1, mais la plus juste et la plus rigoureuse est la dimension de Hausdorff. Elle est cependant difficile à mettre en oeuvre.[14] Nous allons expliquer l’une de ces formules (Dimension d’homothétie (2)) à travers un exemple d’objet fractale déterministe construit par itération. Il s’agit de la courbe de Von Koch (Figure II.10).[14] Initialement nous avons une ligne (segment de droite), on retire le tiers central et on le remplace par deux segments placés en forme de toit. On obtient 4 fois le segment de droite précédent réduit d’un facteur 3. C’est-à-dire que nous avons quatre homothéties internes avec un rapport de 3. La dimension fractale est donnée par elle vaut à la première itération 1.26. A la deuxième itération, on répète le processus précédent sur chacun des quatre segments, on obtient 16 fois la ligne droite de départ réduite d’un facteur 9 ( ou bien 4 fois la figure de l’itération 1 réduite d’un facteur de 3). La dimension fractale est la même log(4)/log(3) ou bien log16/log 9 et vaut toujours 1.26. On peut répéter ce processus infiniment, on constate que la longueur du motif tend vers l’infini et occupe un espace fini (longueur du segment de départ). Le nombre d qui est la dimension fractale est une caractéristique de l’objet il signifie que la courbe de Von Koch n’est pas une droite de dimension 1 ni un objet 2D (image…) de dimension 2 mais plutôt une courbe qui occupe avec ces irrégularités une partie de l’espace 2D.

Donc ce nombre est fractionnaire et est compris entre 1 et 2. En suivant le même résonnement on peut déduire la dimension fractale de l’ensemble de Cantor (figure II.11). Nombre d’homothétie interne 2 avec un rapport d’homothétie de 3 ce qui donne d=log(2)/log(3)=0.631, ce n’est pas un point de dimension 0 ni une droite de dimension1 mais une infinité de points qui remplit partiellement une droite ce qui explique la valeur 0.631 comprise entre 0 et 1. Figure II.11 L’ensemble de Cantor Les objets fractales ne sont pas tous déterministes, il existe une autre catégorie, fractales non déterministes où interviens le facteur aléatoire. Cette catégorie regroupe les fractales qui se rapprochent le plus de notre quotidien tels que les nuages, les montagnes, les choux fleurs, les fougères. On les rencontre également dans le corps humain (arbres pulmonaire, vascularisation, nerfs, rythme cardiaque…). Cette structure de type fractal accroît considérablement la surface utilisable pour l’absorption, la distribution, la collecte et le transport d’information par les différents réseaux du corps, c’est pourquoi elle y est si présente. C’est ce qui nous permet de constater que notre corps est conçu de manière optimale, il fallait attendre l’avènement des fractales pour s’en rendre compte. De la même manière qu’on a construit les objets déterministes on peut construire des objets fractales aléatoires ce qui permet, par exemple, de modéliser, simuler, le mieux possible les paysages, les organes du corps humain… (Figure II.12).[14]

Conclusion générale

Le projet d’imagerie que nous avons abordé émane d’une problématique définie par les médecins il s’agit de lever l’ambigüité entre image cérébrale avec tumeur et une image cérébrale contenant un AVC. Evidement le diagnostic différentiel ne repose pas uniquement sur l’interprétation d’image (la première étape est la consultation du patient et son interrogatoire, lorsque ce dernier s’y prête). Nous souhaitions donc vérifier si des mesures quantitatives tel que des mesures sur la texture ou la dimension fractale permettraient une telle discrimination. Pour y parvenir il faut extraire la pathologie (tumeur ou AVC) puis calculer ses attributs. Il faut donc passer par une étape de segmentation, et les méthodes de segmentations sont très variées. Nous avons donc testé plusieurs méthodes de segmentations nous avons retenu l’approche ondelette car elle délimite bien le contour des deux pathologies. Cette réussite est conditionnée par un bon prétraitement, ce qui fut le cas (égalisation adaptative d’histogramme, filtre anisotropie).

La deuxième étape est le calcul des attributs de la pathologie c’est-à-dire calcule des attributs sur l’image segmentée. Nous avons choisi les attributs de texture à partir de la matrice de cooccurrence (largement exploités dans la littérature pour l’analyse d’image). Notre choix s’est porté en particulier sur le calcul du contraste de l’homogénéité de la corrélation et de l’énergie. Nous avons ajouté à ces mesures la dimension fractale. Rappelons à ce niveau que la géométrie fractale est un outil d’analyse, qui a été largement utilisée durant ces dix dernières années et notamment dans le domaine médicale à cause de la nature fractale de plusieurs organes (cerveau le sein les vaisseaux, …). L’étape finale est l’évaluation de la puissance de ces paramètres pour discriminer les deux pathologies. Malheureusement notre base de données est très petite (6 cas d’AVC et 8 cas de tumeurs). Une étude statistiquement significative est donc impossible. Nous nous sommes contentés de faire des tracés graphiques pour chaque attribut pour les deux pathologies. Nous avons constaté que les courbes de la dimension fractale des AVC ne se chevauchent pas avec celles des tumeurs (d’où la possibilité de séparer les deux familles d’échantillon avec un seuil de séparation). Ce qui est très prometteur pour une étude plus large. Les autres attributs ne semblent pas à priori pertinents. On conclut que la segmentation des IRM cérébrales et l’analyse des images segmentées avec l’outil fractal est bon apport d’aide au diagnostic en général et pour éviter le piège diagnostic tumeur vs AVC en particulier.