Machine thermique mécanique stochastique

Cycle de Carnot

Dans un premier temps nous expliquons comment réaliser un cycle de Carnot avec un nanofil. Si on prend le cas d’école d’un gaz parfait pour réaliser un cycle thermodynamique moteur on a besoin d’une source chaude à la température Th, d’une source froide à la température Tc et de quatre transformations jouant sur trois paramètres qui sont la température, la pression et le volume. Ces quatre transformations sont : 1. Une expansion isotherme à la température de la source chaude. Durant cette phase la source chaude fournit au gaz une chaleur Qh équivalente au travail effectué par celui ci car comme la température est constante l’énergie interne ne varie pas. On a donc ΔU = W + Q = 0 avec W le travail, Q la chaleur et U l’énergie interne. 2. Une expansion adiabatique. Pendant cette étape le gaz est isolé thermiquement donc la chaleur échangée est nulle. 3. Une compression isotherme à la température de la source froide. Pendant cette étape le gaz fournit une quantité de chaleur Qc à la source froide équivalente au travail effectué sur lui, pour la même raison que le point 1. 4. Une compression adiabatique qui ramène le système au point de départ. Le travail exercé sur le gaz compense celui de la phase 2. A l’issue du cycle le gaz a fourni un travail W < 0 (on prend la convention de l’énergie entrante positive) en contrepartie d’un apport de chaleur Qh. On définit le rendement d’un tel cycle comme : η = − W Qh = 1 − Tc Th (3.1) Ce rendement qu’on appelle le rendement de Carnot n’est jamais unitaire sauf si la source froide est à 0K. Il est la limite fondamentale du rendement des machines thermiques[3]. Pour faire le lien entre les paramètres du nanofil et ceux d’un gaz parfait nous faisons un parallèle entre l’équation d’état d’un gaz parfait et l’équipartition de l’énergie[6]. P V = nRT k x2 = kBT La moyenne quadratique du déplacement x est le volume exploré par le nanofil, la raideur est équivalente à la pression. Il nous manque un moyen de faire varier ces paramètres. Or dans le chapitre 2 nous avons vu en section 2.4.1.3 qu’appliquer une tension DC sur un nanofil ou nanotube permet de changer sa fréquence de résonance et k = mω2. Pour modifier la température nous utilisons les notions vues dans la section 2.7.3.2. Si nous appliquons une tension entre l’échantillon et une contre électrode du type V = V¯ + V˜ , V¯ étant une composante DC et V˜ étant une composante AC, alors une force capacitive C V¯ V˜ s’exerce sur le fil. Si pour la composante AC on choisit un bruit électrique possédant les caractéristiques d’un bruit blanc gaussien alors cette force est de la même nature que la force thermique à laquelle est soumis l’échantillon et elle s’ajoute à celle ci. Cela revient à avoir une force thermique plus forte appliquée sur l’échantillon, autrement dit une température plus élevée. Une autre façon de voir les choses est que l’on met le système en contact avec un réservoir actif de la même nature qu’un bain thermique et qui lui fournit de l’énergie. Cela a pour effet d’augmenter la température effective de l’échantillon[7, 8], à ne pas confondre avec la température associée à l’équilibre thermodynamique avec le bain thermique. La figure 3.1 montre les différentes branches de cycle de Carnot sur un diagramme P V avec l’évolution concomitante de l’amplitude de vibration du fil.

Théorie de la thermodynamique stochastique 

Travail et chaleur

 Dans cette section nous exposons les bases théoriques de la thermodynamique stochastique pour notre système. Ce dernier est un nanofil collé sur une pointe. Il peut être modélisé par un oscillateur harmonique à deux degrés de liberté avec une masse effective mef f = m/4 où m est la masse du nanofil (ceci est valable si l’on étudie l’amplitude de vibration au bout du nanofil)[9], et d’amortissement Γ0. L’équation qui régit cet oscillateur est alors l’équation de Langevin [10] : mef fx¨ + mef fΓ0x˙ + kx = f(t) (3.3) Avec k la constante de raideur liée à la pulsation de résonance ω0 du fil par k = mef fω2 0. f(t) est la force de Langevin qui modélise l’interaction entre le nanofil et le bain thermique, i.e les chocs entre les particules du bain thermique et le nanofil. Comme nous sommes sous UHV il serait même plus juste de parler d’échange d’énergie au sens large (notemment avec le support du nanofil). Ce type de force sert typiquement à modéliser le mouvement Brownien[11, 12]. Cette force a deux propriétés [13, 14] : < f(t) > = 0 < f(t)f(t  ) > = 2mef fΓ0kBT δ(t − t  ) (3.4) La première égalité indique qu’en moyenne la force est nulle, si on moyenne suffisamment longtemps on a des chocs dans toutes les directions et la résultante de toutes ces forces s’annule. La deuxième équation stipule que cette force n’a pas de corrélation temporelle, ce qui se passe à t et t  n’est pas lié. Si t = t  alors on trouve le moment d’ordre 2 qui diverge à cause de la distribution de Dirac. Le coefficient multiplicateur découle du théorème de fluctuation dissipation (en utilisant la transformée de Fourrier). L’idée de la thermodynamique stochastique est d’introduire les notions de travail, de chaleur et d’énergie interne à partir de l’équation du mouvement (3.3). Pour cela on commence par définir l’énergie interne du système qui est constitué d’un terme d’énergie potentielle et d’un terme d’énergie cinétique qu’on ne peut négliger car le système est sous amorti (nous sommes sous UHV et Γ0 ω).

 Transformations thermodynamiques

 Comme nous l’avons vu dans la section 3.2 pour construire une machine thermique de Carnot nous avons besoin de transformations isothermes et adiabatiques. Nous nous intéressons dans la suite au calcul du travail et de la chaleur pour de telles transformations.

Transformation isotherme 

Nous rappelons l’équipartition de l’énergie pour notre oscillateur kBT = k= mω2 < x2 > qui lie nos paramètres, avec ici une température constante sur l’ensemble de la transformation. En utilisant l’équipartition dans l’équation (3.16) on trouve en moyenne pour chaque variation infinitésimale de k une quantité de travail associée : δW = 1 2 kBT k ◦ dk (3.17) Pour obtenir le travail total sur la branche on intègre sur toute la transformation : W = 1 2  kBT k ◦ dk = kBTln ωf ωi  (3.18) Avec ωi la pulsation avant la transformation et ωf la pulsation après. On fait de même pour la chaleur, cependant on peut remarquer que dans l’équation (3.16) le premier terme pour le travail en d(ω2 < x2 >) est nul car cette grandeur est constante sur une branche isotherme. Il ne reste donc que le terme de droite à intégrer. Q = 1 2  k ◦ d x2 = 1 2  kBT x2 ◦ d x2 = −kBTln ωf ωi  (3.19) Finalement on trouve Q = − W ce qui est le résultat attendu pour une branche isotherme. 3.3.2.2 Transformation adiabatique Pour ce type de transformation on doit garder le volume de l’espace des phases exploré par le système constant[17, 18]. Pour un gaz parfait la condition adiabatique est donnée par la loi de Laplace P V γ = cst ou encore Pγ−1/T γ = cst avec γ = Cp/Cv. Cp et Cv sont respectivement les capacités thermiques isobares et isochores. Pour un gaz parfait monoatomique on a Cv = nR/2 et Cp = Cv + R avec n le nombre de degrés de liberté et R la constante des gaz parfaits. Mécaniquement nous avons vu que nous traitons notre nanofil comme un oscillateur harmonique amorti du second ordre soumis à une force stochastique. Notre système a donc deux degrés de liberté ce qui nous donne Cv = R, Cp = 2R et γ = 2. La transformation adiabatique doit donc vérifier P/T2 = cst ↔ k/T2 = cst. Nous avons raisonné par analogie il est évidemment possible de faire une démonstration rigoureuse [19]. Il convient de noter qu’à cause de la nature de notre système une transformation ne peut être adiabatique à cause des transferts thermiques inévitables entre un système microscopique et son environnement. Une trajectoire unique ne sera donc jamais adiabatique. En revanche la condition que nous avons décrite permet de satisfaire à la condition de microadiabaticité : en moyennant sur un grand nombre de trajectoires l’échange thermique entre le système et l’environnement sera nul.

Fabrication des échantillons

 Avant toute chose nous avons besoin d’un échantillon adapté à nos besoins. Nous choisissons d’utiliser des nanofils en carbure de silicium (SiC) pour leurs propriétés mécaniques [20, 21, 22] et leur facilité d’accès [23]. Cependant nous avons deux problèmes potentiels avec ce matériau. Premièrement il s’agit d’un matériau résistif, donc en appliquant une tension pour modifier la fréquence de résonance nous risquons d’introduire une dissipation électrostatique qui va parasiter notre signal. Ensuite, nous souhaitons mesurer une seule des deux polarisations mécaniques 2 car nous avons besoin de mesurer des évolutions de signal de résonance en fonction de tensions AC ou DC appliquées qui vont modifier la température effective et/ou la fréquence de résonance (en pratique nous mesurons la variance d’un signal dont la fréquence évolue). Or ces effets dépendent de la capacité que l’échantillon forme avec son environnement ainsi que de ses dérivées spatiales. Ces valeurs sont à priori différentes pour les deux polarisations car l’environnement électrostatique est complexe. Nous avons une électrode, une contre électrode mais également des lentilles qui perturbent le champ électrique à proximité. Il est donc dans notre intérêt de séparer les polarisations au maximum en fréquence (donc d’accentuer la dissymétrie du nanofil) pour être capable au maximum de distinguer les signaux issus des deux polarisations. La figure 3.2 illustre le déplacement en fréquence de notre signal et la nécessité de bien séparer les polarisations. Pour réaliser cela nous effectuons un dépôt GIS (Gas Injection System) sous MEB (Microscope Electronique à Balayage) de platine sur le nanofil en SiC