Extrait du mémoire contribution du modèle en déformation dans l’analyse des structures

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3.1 Introduction :
Ce chapitre contient une revue bibliographique sur le modèle en déformation et les  divers aspects qui entourent la compréhension de celui-ci, le but est de faire le bilan  de ce qui existe sur ce sujet. Un autre aspect concerne la description et la définition  générale du principe de la condensation statique. Afin de bien comprendre et cerner la  problématique de la conception du modèle en déformation, il est intéressant de  répondre aux deux questions suivantes :
• Quels sont les avantages du modèle en déformation ?
• Comment utiliser ce modèle dans les structures ?
Les réponses à ces questions sont abordées dans les sections qui suivent.
3.2 Différents modèles :
3.2.1 Modèle en déplacement :
Dans ce modèle le but c’est d’exprimer le déplacement, en tout point d’un solide, cela  est réalisé en formulant le déplacement comme une combinaison linéaire de fonctions  de forme (§2.4). Une matrice de rigidité approximative peut être trouvée pour chaque  élément, liant toutes les forces aux déplacements des nœuds. Les déplacements peuvent être par conséquent calculés, ainsi que les contraintes dans l’élément, une  fois les déplacements nodaux sont connus. L’approximation du champ de  déplacements pour résoudre les problèmes d’élasticité est toujours continue, mais ce  n’est en général pas le cas des dérivées partielles de cette approximation. Dans les  problèmes pratiques, on désire en général connaître les contraintes, on doit au  préalable calculer d’abord les composantes de la déformation et utiliser ensuite les équations de constitution pour calculer ces contraintes. Les dérivées partielles de l’approximation des composantes de déplacement peuvent cependant poser de sérieux  problèmes d’interprétation aux valeurs nodales. Les contraintes et les déformations  seront approximatives et discontinues aux frontières de l’élément. Les déplacements sont approximatifs mais continus aux frontières de l’élément. L’approximation en  déplacements minimise l’énergie potentielle totale. Les éléments de déplacement pur  sont cinématiquement admissibles, ils assurent la continuité des déplacements à l’intérieur de l’élément et d’un élément à l’autre. Dans ce cas, le champ de  contraintes, déduit du champ de déplacements, vérifie les équations d’équilibre en  moyenne mais pas localement.
Les conditions de stationnarité de la fonctionnelle de l’énergie potentielle totale (3.1) forment la formulation faible du problème, voir aussi relation (2.36) §2.7.4.
3.2.2 Modèle d’équilibre :
Le principe de ce modèle consiste dans un premier temps à choisir une forme  paramétrique simple du champ de contraintes vérifiant les équations d’équilibre (2.1).
On définit ainsi un ensemble de solutions admissibles. Pour imposer la réciprocité des  tractions de surface à la frontière de deux éléments, il est nécessaire de choisir des  connecteurs définissant univoquement ces tractions d’interface. Dans un second  temps on recherche, dans cet ensemble de solutions, celle qui rend l’énergie potentielle complémentaire totale minimum. Pour cela on annule la variation  première de la fonctionnelle (3.2) par rapport aux paramètres définissant le champ de  contraintes.
Le modèle en équilibre n’a pas connu le même succès que le modèle en déplacement,  en partie à cause de sa grande complexité. Les éléments du modèle d’équilibre pur sont statiquement admissibles et assurent la continuité de contraintes à l’intérieur de l’élément et d’un élément à l’autre. Le champ de déplacement est déduit du champ de  contrainte, où les conditions de compatibilité ne sont vérifiées qu’en moyenne et non  localement.
3.2.3 Modèle mixte :
Plusieurs champs indépendants (déplacement, déformation, contrainte) sont  considérés ici, ce qui rend la formulation, ou la mise au point longue et coûteuse ;
mais en contrepartie les éléments qui en découlent sont d’excellente qualité. On utilise parfois ce modèle pour corriger certains défauts du modèle de déplacement.
3.2.4 Modèle hybride :
Deux interpolations indépendantes sont considérées, l’une portant sur le champ  intérieur de l’élément, l’autre sur le champ décrivant la frontière. Les paramètres  inconnus du champ intérieur sont exprimés en fonction des paramètres nodaux du champ de bord. On cherche à minimiser la différence entre les deux champs. Ces derniers peuvent être du même type (déplacement- déplacement) ou de types différents (déplacement- contrainte). En général ce modèle donne des résultats  meilleurs que le modèle déplacement surtout au niveau des contraintes. Parmi les  modèles hybrides, le modèle Trefftz est considéré, actuellement parmi les plus précis.
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Sommaire : Contribution du modèle en déformation dans l’analyse des structures

CHAPITRE 01 INTRODUCTION GENERALE
1.1 Introduction
1.2 Objectifs de la thèse
1.3 Plan de la thèse
CHAPITRE 02  THEORIE DE L’ELASTICITE PLANE ET METHODES ENERGETIQUES
2.1 Elasticité linéaire
2.2 Problèmes des valeurs limites
2.2.1 Introduction
2.2.2 Forme forte du problème
2.2.3 Forme faible du problème
2.3 Elasticité plane
2.3.1 Etat plan de déformation
2.3.2 Matrice des constantes élastiques
2.3.3 Etat plan de contraintes
2.3.4 Matrice des constantes élastiques
2.4 Fonctions de forme
2.5 Matrice de rigidité Elémentaire
2.6 Vecteur des forces nodales équivalentes
2.7 Principes énergétiques
2.7.1 Introduction
2.7.2 Principe du Travail Virtuel
2.7.3 Principe du Travail Virtuel Complémentaire
2.7.4 Principe de l’énergie potentielle totale
2.7.5 Principe de l’énergie potentielle complémentaire totale
2.7.6 Energie de déformation
2.7.7 Energie de déformation complémentaire
CHAPITRE 03  APPROCHE EN DEFORMATION ET CONDENSATION STATIQUE
3.1 Introduction
3.2 Différente modèles
3.2.1 Modèle en déplacement
3.2.2 Modèle en équilibre
3.2.3 Modèle mixte
3.2.3 Modèle hybride
3.3 Modèle en déformation
3.3.1 Définition
3.3.2 Classification du modèle en déformation
3.4 Critères de convergence
3.5 Avantages du modèle en déformation
3.6 Utilisation du modèle en déformation dans l’analyse des structures
3.7 Revue de littérature
3.8 Condensation statique
CHAPITRE 04 DEVELOPPEMENT D’UN NOUVEL ELEMENT POUR L’ELASTICITE PLANE
4.1 Introduction
4.2 Construction de l’élément R4BM
4.2.1 Définition
4.2.2 Considérations analytiques
4.2.3 Evaluation de rigidité élémentaire [K]
4.2.4 Vecteur forces nodales équivalentes
4.2.5 Calcul des contraintes
4.3 Tests numériques
4.3.1 Poutre console mince élancée soumise a une force a l’extrémité
4.3.2 Poutre console mince élancée soumise a une flexion pure a l’extrémité
4.3.3 Les tests du rapport de forme pour la console (1er Cas)
4.3.3 Les tests du rapport de forme pour la console (2 eme Cas)
4.3.4 Poutre simplement appuyée chargée au milieu
CHAPITRE 05  MODELISATION DES COQUES AVEC ELEMENTS PLANS
5.1 Introduction
5.2 Discrétisation d’une surface courbée par des éléments plans
5.3 Construction de l’élément plan de coque R4BM-ACM
5.3.1 Superposition des deux éléments
5.3.2 Elément flexionnel
5.3.3 Vecteur forces nodales équivalentes
5.3.4 Calcul des contraintes
5.4 Applications numériques
5.4.1 Cylindre pincé avec diaphragmes
5.4.2 Cylindre pincé à bords libres
5.4.3 Panneau cylindrique
Conclusions et recommandations
Bibliographie
Annexes

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