Modèle à deux degrés de liberté et analyse de stabilité linéaire

Description du mouvement de l’aile

Dans cette section, nous présentons la modélisation de l’aile retenue pour l’étude du flottement, ainsi que les équations qui en découlent.

Section typique

Dès les premiers travaux sur l’aéroélasticité, les chercheurs ont remarqué que le comportement global de l’aile d’avion pouvait se ramener à celui d’une section typique prise au 3/4 de l’aile à partir de son emplanture comme schématisé sur la Figure 1.1. En effet si on suppose que la forme de la section de l’aile est la même tout le long de son envergure et que les efforts aérodynamiques sont bi-dimensionnels, ce qui est le cas si l’effet de la recirculation en bout d’aile est négligé, alors cette approximation est justifiée. Emplanture Section typique Figure 1.1 – Représentation schématique de la section typique d’une aile d’avion. Quand l’instabilité de flottement survient, on observe que le mouvement de l’aile est principalement dominé par son premier mode de flexion et son premier mode de torsion. Il est alors légitime de réduire le mouvement de l’aile à ces deux modes pour étudier l’instabilité de flottement. En outre, si les effets tridimensionnels des efforts aérodynamiques sont négligés, le modèle classique à deux degrés de liberté représenté Figure 1.2, peut-être utilisé [8, 20, 28]. La corde, qui relie le bord d’attaque au bord de fuite, est de longueur c et la demi-corde de longueur b. Le premier mode de flexion de l’aile, aussi appelé pompage, se résume au niveau du profil par une translation dont le déplacement est noté h, compté positif vers le bas. Ce mode de pompage est caractérisé par un ressort de raideur kh et un dissipateur visqueux d’amortissement ch. Le premier mode de torsion de l’aile, aussi appelé tangage, se résume à un mouvement de rotation au niveau du profil dont l’angle formé avec l’horizontal est noté α et appelé angle d’attaque, il est compté positivement dans le sens anti-trigonométrique. Ce mode de tangage est caractérisé par un ressort de torsion de raideur kα et un dissipateur visqueux d’amortissement cα. La section typique possède trois points remarquables qui se situent sur la corde. Le premier est le centre aérodynamique, noté CA sur la Figure 1.2. C’est le point où la résultante des efforts aérodynamiques s’applique. Ce point dépend de l’angle d’attaque. Concernant les profils minces, il est situé au quart avant pour les faibles angles d’attaque et se déplace jusqu’à la mi-corde pour les 1.1. Description du mouvement de l’aile 17 e xCG xCE c = 2b L Ma U α h CA CE CG cα kα kh ch Figure 1.2 – Section typique à deux degrés de liberté. angles d’attaque très élevés (∼ 90 degrés). Le second point remarquable est le centre de rotation, ou centre élastique, noté CE sur la Figure 1.2, et distant de xCE du bord d’attaque. C’est autour de ce point que se fait la rotation du mode de tangage. Ainsi la distance entre CA et CE, notée e, détermine le moment exercé par les forces aérodynamiques. Enfin, le dernier point remarquable est le centre de gravité, noté CG sur la Figure 1.2. Sa distance au centre élastique, notée xCG, détermine le couplage entre les modes de pompage et de tangage. En effet plus CG et CE sont proches, plus le couplage sera faible, jusqu’à s’annuler si CG est confondu avec CE. Le profil d’aile étant plongé dans un fluide en mouvement, de vitesse notée U, il subit des forces aérodynamiques. Ces efforts aérodynamiques se résument à une force de portance notée L et à un moment aérodynamique noté Ma. Les efforts de traîne ne sont pas considérés car nous ne tenons pas compte du mouvement longitudinal de l’aile. L’expression de ces efforts aérodynamiques fait l’objet de la section 1.2.

Équations du mouvement

Nous utilisons le formalisme de Lagrange pour établir les équations du mouvement de l’aile. Le système possédant deux degrés de liberté, il y a deux coordonnées généralisées qui sont h et α. Afin de calculer l’énergie cinétique du système, on calcule le déplacement d’un point matériel quelconque, noté M, de la corde du profil au repos. M est situé à une distance x du centre élastique. Après un mouvement quelconque du profil, M se meut en un point noté M0 comme schématisé sur la Figure 1.3. Ainsi MM0 = x (cos(α) − 1) ex − (h + sin(α) x)ey et le carré de sa dérivée temporelle vaut (dMM0/dt) 2 = h˙ 2+ ˙α 2 x 2+2 ˙α h˙ cos(α) x, où (˙) dénote la dérivée temporelle. La plupart du temps, on se place dans l’hypothèse des petites perturbations [8, 20, 28]. Alors le terme 2 ˙α h˙ cos(α) x peut 18 Chapitre 1 Modèle à deux degrés de liberté et analyse de stabilité linéaire CE0 M0 Profil après déplacement M x CE α ey ex −h Profil au repos Figure 1.3 – Déplacement d’un point matériel M du profil au repos. Les quantités primées correspondent à l’aile ayant subi un déplacement. être linéarisé. Mais comme nous nous intéressons aux mouvements de grandes amplitudes, hormis pour l’analyse de stabilité, nous ne linéarisons pas ce terme. L’énergie cinétique de l’aile notée T vaut T = 1 2 Z C ρs(x)(dMM0/dt) 2 dx, (1.1) où R C dx est l’intégrale sur la corde et ρs(x) la masse linéique de l’aile a priori non constante. En remplaçant (dMM0/dt) 2 par son expression dans l’équation (1.1) il vient T = 1 2 Mh˙ 2 + 1 2 Iαα˙ 2 + Sαh˙ α˙ cos(α), (1.2) avec M = R C ρs(x)dx la masse du profil, Iα = R C ρs(x)x 2dx son moment d’inertie et Sα = R C ρs(x)xdx son balourd, qui est également égal à M xCG. L’énergie potentielle, notée V, provient du travail des ressorts et s’écrit V = 1 2 kh h 2 + 1 2 kα α 2 . (1.3) Les équations de Lagrange s’écrivent d dt ∂(T − V) ∂ h˙ − ∂(T − V) ∂ h = −chh˙ − L, d dt ∂(T − V) ∂ α˙ − ∂(T − V) ∂ α = −cαα˙ + Ma. (1.4) En effet la force qui s’exerce sur le mouvement de pompage est la portance L et celle qui s’applique au mouvement de tangage est le moment aérodynamique Ma. En regroupant les équations (1.2) 1.2. Forces aérodynamiques 19 à (1.4) on aboutit aux équations du mouvement M h¨ + Sα cos(α) ¨α + ch h˙ + kh h = −L + Sα sin(α) ˙α 2 , Iα α¨ + Sα cos(α) h¨ + cα α˙ + kα α = Ma. (1.5) La modélisation des efforts aérodynamiques L et Ma est présentée dans la section suivante. 1.2 Forces aérodynamiques La force de portance est égale au produit d’une force de référence (1/2) ρf S U2 , où ρf est la masse volumique de l’air et S la surface portante de l’aile, par le coefficient de portance sans dimension CL. De même, le moment aérodynamique est égal au produit d’un moment de référence (1/2) ρf S c U2 par le coefficient de moment aérodynamique sans dimension CMa . En régime stationnaire et pour des petits angles d’attaque, le coefficient de portance vaut CL = CL,α α, où CL,α est la pente à l’origine du coefficient de portance. Pour les profils minces, CL,α ‘ 2 π. Néanmoins dès que l’aile est en mouvement, l’approche stationnaire n’est plus valable et il faut prendre en compte le déplacement de l’aile par rapport à l’écoulement. L’objet de cette section est de présenter trois modèles aérodynamiques linéaires permettant d’estimer les coefficients CL et CMa dans le cas des profils minces. Le premier est un modèle quasi-stationnaire, c’est-à-dire que la vitesse du profil est supposée faible devant la vitesse de l’écoulement. Les deux modèles suivants sont des modèles instationnaires, c’est-à-dire qu’il n’y a plus d’hypothèse faite sur la vitesse relative du profil par rapport à l’écoulement. Cela implique que le sillage de l’écoulement est alors pris en compte dans le calcul des forces aérodynamiques.