Modèle micromorphe de composites élastiques 

 Homogénéisation au second ordre

L’objectif de cette méthode d’homogénéisation est de remplacer un matériau de Cauchy micro–hétérogène V∞ par un milieu équivalent homogène avec les coordonnées X de son point matériel global. On suppose qu’un volume élémentaire V (X ), de volume V , peut ˆetre attaché `a chaque point matériel X . Les points locaux dans V (X ) sont caractérisés par les coordonnées locales x . Pour simplifier, les volumes élémentaires V (X ) sont supposés avoir la mˆeme morphologie des phases. Chacun peut ˆetre obtenu par la translation d’une cellule élémentaire de référence donnée V (0 ). 

Modèle du second gradient et la méthode des développements asymptotiques multi-échelles

Le modèle du second gradient est basé sur l’introduction du premier et second gradient du champ de déplacement, U (X ). En particulier, la densité de travail des forces internes prend la forme suivante : p (i) (U ) = σ∼ : U ⊗ ∇X + M∼ . . . U ⊗ ∇X ⊗ ∇X (4.1) o`u σ∼ est le tenseur symétrique des contraintes simples (ou classiques) et M∼ est le tenseur des contraintes supérieures ou des doubles contraintes qui sont symétriques par rapport aux deux derniers indices. Il faut noter qu’il y a une stricte équivalence entre le modèle `a gradient de déformation et celui second gradient de déplacement en vertu des relations de compatibilité (Mindlin and Eshel, 1968). Les tenseurs de contraintes satisfont l’équation d’équilibre de la quantité de mouvement ci-dessous : τ∼ · ∇X = 0, avec τ∼ = σ∼ − M∼ · ∇X (4.2) en absence de forces volumiques ni d’accélération. La loi de comportement lie les tenseur du premier et du second gradient de déplacement aux tenseurs des contraintes correspondantes. La méthode des développements asymptotiques multi-échelles a été utilisée dans (Boutin, 1996b) pour déduire une telle loi de comportement dans le cas de composites linéaires élastiques avec une microstructure périodique. Dans ce but, le champ local u(x ) `a l’intérieur du volume élémentaire est développé sous la forme : u(x , X ) = u0 (x , X ) + u1 (x , X ) +  2u2 (x , X ) +  3u3 (x , X ) + … (4.3) o`u  = l/L est un petit paramètre défini comme le rapport de la taille typique l de l’hétérogénéité dans le composite et la longueur d’onde L de la variation des champs macroscopiques. Dans le cadre de cette contribution, les coordonnées locales représentent un zoom x = X / autour du point matériel X . Les champs ui peuvent ˆetre considérés comme les solutions d’une série de problèmes aux limites sur la cellule élémentaire : u(x , X ) = U (X )+A∼ 1 (x ) : U ⊗∇X+ 2A≈ 2(x ) . . . U ⊗∇X⊗∇X+ 3A≈ 3(x ) :: U ⊗∇X⊗∇X⊗∇X+… (4.4) o`u les tenseurs Ai sont les tenseurs de localisation calculés en résolvant les problèmes auxiliaires avec des conditions aux limites adaptées. Ils sont des fonctions périodiques des coordonnées locales. L’application de la loi élastique linéaire comme la loi de comportement locale `a l’intérieur de la cellule élémentaire et le calcul des contraintes de Cauchy classiques délivrent les modules élastiques d’ordre supérieur du milieu du second gradient au niveau global. Cette méthode d’expansion asymptotique fournit la loi constitutive liant les contraintes τ∼ aux gradients de premier, second et troisième ordre du champ de macro–déplacement, comme il se doit. En effet, si σ∼ et M∼ sont linéairement liés aux premiers et seconds gradients de déplacement, le tenseur de contraintes τ∼ doit dépendre également du gradient de troisième ordre du déplacement d’après la définition dans (4.2). Ce fait a été peu noté dans la littérature. 4.1.2 Les exigences pour l’homogénéisation au second ordre Dans le contexte de la théorie d’homogénéisation classique, par exemple suivant la méthode multi–échelle asymptotique, les degrés de liberté de déplacement au point matériel   X sont définis comme la valeur moyenne du champ local de déplacement dans une cellule élémentaire V (X ) : U (X ) =< u(x ) >V (X )= 1 V Z V (X ) u(x ) dV = 1 V Z V∞ u(x )HV (x − X ) dV (4.5) o`u HV , la fonction indicatrice associée au domaine V (0 ), prend la valeur 1 pour les points `a l’intérieur de V (0 ) et 0 pour les autres points. En conséquence, en supposant une régularité suffisante du champ local de déplacement, on a : U ⊗∇X = ∂U ∂X = 1 V Z V∞ u(x )⊗ ∂HV ∂X (x −X ) dV = 1 V Z ∂V (X ) u(x )⊗n dV = 1 V Z V (X ) ∂u ∂x dV (4.6) o`u n est le vecteur normal extérieur au bord du domaine V (X ), consultez (Mei et al., 1996) pour une discussion plus détaillée de tels théorèmes. On obtient le résultat : U ⊗ ∇X =< u ⊗ ∇x >V (X ) (4.7) De la mˆeme fa¸con, en supposant `a nouveau la régularité suffisante du champ local de déplacement, on a : U ⊗ ∇X ⊗ ∇X =< u(x ) ⊗ ∇x ⊗ ∇x > (4.8) Un matériau hétérogène peut ˆetre remplacé par un modèle homogène du second gradient dans la mesure o`u il existe une équivalence énergétique entre les deux milieux, sur le plan du travail des forces internes associées `a chaque milieu : < σ∼ : ε∼ >V (X )= Σ∼ (X ) : E∼ (X ) + M∼ (X ) . . . K∼ (X ) (4.9) Cette formulation représente une extension de la condition Hill–Mandel, très bien connue dans la théorie d’homogénéisation classique (Rodin, 2007). Les conditions (4.7),(4.8),(4.9) sont les seules exigences qu’il faut remplir par une procédure d’homogénéisation au second ordre. En particulier, la prescription des conditions aux limites généralisées sur la cellule élémentaire ne doit pas contredire les relations (4.7,4.8) entre les champs local et global des gradients. Les définitions explicites doivent aussi ˆetre compatibles avec la condition (4.9). 4.1.3 Polynˆome quadratique proposé Le polynˆome quadratique a été proposé initialement dans (Gologanu et al., 1997; Forest, 1998; Kruch and Forest, 1998; Forest and Sab, 1998a; Enakoutsa and Leblond, 2009) en élargissant les conditions affines usuelles de chargement d’un volume élémentaire afin d’intégrer l’effet de second gradient dans le procédé d’homogénéisation. Un tel développement polynˆomial représente une alternative aux méthodes de développements asymptotiques multi– échelle dans le but de déduire des propriétés d’ordre supérieur, son advantage est d’utiliser une manière simple, sans compter du comportement local linéaire ou non–linéaire du matériau composite. Considérons au début un champ de déplacement quadratique prescrit `a tout un volume élémentaire V : u ∗ (x ) = E∼ · x + 1 2 D∼ : (x ⊗ x ), u∗ i = Eijxj + 1 2 Dijkxjxk, ∀x ∈ V (X ) (4.10) o`u E∼ est un tenseur constant d’ordre deux et D∼ , ayant les propriétés de symétrie Dijk = Dikj , est un tenseur constant d’ordre trois. Quand X est pris comme le centre géométrique de V (X ), on calcule successivement : < u ∗ (x ) ⊗ ∇x >V (X )= E∼ + D∼ · X , < u ∗ (x ) ⊗ ∇x ⊗ ∇x >V (X )= D∼ (4.11)   La prescription du champ complet de déplacement (4.10) peut ˆetre utilisée comme une extension du modèle d’homogénéisation de Voigt et Taylor, pour lequel seuls les déformations sont supposées homogènes, afin d’estimer les propriétés effectives du second gradient. Néanmoins, comme dans le cas classique, les propriétés obtenues sont trop rigides en général. Par conséquent, les conditions quadratiques peuvent ˆetre limitées au bord ∂V (X ) de la cellule élémentaire : u(x ) = u ∗ (x ) = E∼ · x + 1 2 D∼ : (x ⊗ x ), ∀x ∈ ∂V (X ) (4.12) Cette prescription détermine entièrement les déformations moyennes engendrées dans la cellule élémentaire, en vertu du théorème de Gauss : < u(x ) ⊗ ∇x >V (X ) = 1 V Z ∂V (X ) u(x ) ⊗ n dS = 1 V Z ∂V (X ) u ∗ (x ) ⊗ n dS = 1 V Z V (X ) u ∗ (x ) ⊗ ∇xdV = 1 V Z V (X ) (E∼ + D∼ · x )dV = E∼ + D∼ · X (4.13) Cependant, on ne peut rien dire en général sur la valeur moyenne du second gradient du déplacement dans le volume élémentaire matériel < u(x ) ⊗ ∇x ⊗ ∇x >V (X )= 1 V Z ∂V (u ⊗ ∇x) ⊗ n dS (4.14) car le gradient du champ de déplacement n’est a priori ni contrˆolé ni connu sur la frontière de la cellule, `a partir des seules conditions de Dirichlet. En fait, l’usage des conditions aux limites quadratiques de Dirichlet permet le contrˆole des déformations moyennes mais ne donne qu’une information partielle sur les valeurs de leurs gradients (u ⊗ ∇x)(x ) sur le bord. Par conséquent, aucune information ne peut ˆetre obtenue sur les valeurs de la moyenne de second gradient et cette moyenne ne peut donc pas ˆetre directement contrˆolée par les coefficients du polynˆome quadratique. Pour cette raison, la condition < u ⊗ ∇x ⊗ ∇x >V = D∼ doit ˆetre considérée comme une restriction supplémentaire `a imposer `a la solution du problème aux limites sur le volume élémentaire. Jusqu’`a présent, aucun schéma numérique rigoureux n’a été proposé pour imposer cette restriction supplémentaire de manière correcte. Cela sera discuté plus dans la section 4.1.5.