Modélisation de la Dynamique de la Garniture

Modèle Dynamique

Comme on l’a montré dans le chapitre précédent, le modèle dynamique de la garniture de forage devrait permettre de calculer le comportement de la garniture dans le régime transitoire en prenant en compte le couplage entre les différents modes de vibrations. Dans ce chapitre seront développées les équations qui régissent le mouvement de la garniture. 2.1.1. Présentation et Hypothèses On considère une garniture de forage de longueur donnée, dont les rayons extérieur et intérieur peuvent varier avec la profondeur. Dans la partie inférieure de la garniture, on y trouve des masse-tiges et des stabilisateurs alors que la partie supérieure est constituée exclusivement de tiges creuses. La garniture est introduite dans un trou cylindrique de rayon Rp et incliné d’un angleα par rapport à la verticale (Figure 2.1). La garniture est entrainée en rotation autour de son axe à une vitesse angulaireω qui dépend du temps. Une force de compression, le poids sur l’outil, agit sur la partie inférieure de la garniture alors que l’outil est soumis à un couple nécessaire au forage de la roche. La garniture, étant creuse, achemine le fluide de forage de la surface vers l’outil à travers les buses. Le fluide remonte, chargé de déblais de roche, dans l’espace annulaire laissé entre la tige et la paroi du puits foré. Ce fluide, généralement de la boue, est de masse volumique ρ f et soumis à une certaine pression. Pour établir les équations de mouvement de la tige, on définit deux repères (Figure 2.1) : – un repère global fixe dont l’origine est à la surface du puits (centre de la table de rotation) ; – un repère lié à la tige ; il dépend de l’abscisse curviligne s et du temps t . La rotation de la garniture génère une force d’inertie à cause de l’excentricité, cette force d’inertie est responsable du déplacement latéral de la garniture c’est-à-dire dans un plan orthogonal à l’axe du forage pour une profondeur donnée. Le déplacement latéral de la tige peut être amplifié par la force de compression due au poids sur l’outil (phénomène de flambage). Cependant, ce déplacement ne peut pas dépasser le jeu garniture-formation. Quand la tige arrive en contact avec la formation ou le tubage, une force de contact se crée, la force s’annule quand le contact est rompu. Pendant son déplacement, la tige est en interaction avec le fluide de forage, cette interaction engendre des forces hydrodynamiques. Pour étudier la dynamique d’une garniture de forage, nous l’assimilons à une structure élancée de type poutre. Nous établissons les équations de mouvement d’une poutre dans un cas général. Ensuite nous calculons les efforts extérieurs que subit la garniture pour les injecter dans les équations de mouvement de la poutre, ce qui permet d’obtenir les équations de mouvement de la garniture.

Dynamique d’une Poutre

On considère une poutre de longueur L , de rayons extérieur Re et intérieur Ri ( R r i ≤ ≤ Re ). Le centre d’une section donnée de la poutre, dans un état relâché, est situé sur le segment { }s L [ ] 0, sk ∈  où s est l’abscisse curviligne. La section a une surface ( ) 2 2 e i S R R = − π et un moment d’inertie polaire 0 J I = 2 tel que ( ) 4 4 4 e i I R R π = − . Quand la poutre est déformée, le centre d’abscisse s occupe la position x s t ( , )  . Les points { } k sk ξ ξ ⊥ +     de la section droite se retrouvent à l’instantt sur une surface de centre d’inertie x s t ( , )  et de vecteur normal unitaire n s t ( , )  conformément à la Figure 2.2. Compte tenu du fort rapport entre la longueur de la tige et son diamètre, nous avons adopté la théorie de Bernoulli dans laquelle toute section droite non seulement reste plane (mouvement caractérisé par deux vecteurs : une translation et une rotation) mais aussi reste droite (relation cinématique entre les deux vecteurs). Cette hypothèse signifie que l’on néglige l’effet de l’effort tranchant et donc du phénomène de gauchissement. Comme le montre la Figure 2.2 on a : – à l’état relâché : une poutre droite dont la longueur est décrite par la variable s L ∈[0, ] et dont toutes les sections droites ont comme normale k  ; – à l’état déformé : les centres d’inertie sont sur x s t ( , )  , la normale à la section droite est n s t ( , )  et l’abscisse curviligne de l’arc estσ (s t, ) .

Méthodologie

Pour résoudre l’équation du mouvement latéral (équation 13), on doit disposer de l’effort axialT , du couple de torsion M et de la vitesse de rotationθ  . Par conséquent, il faut résoudre l’équation du mouvement de torsion (équation 11) et l’équation du mouvement axial (équation 12) avant de déterminer le mouvement latéral. Pour résumer, on a quatre degrés de liberté : – la rotation θ autour de k  ; – le déplacement w dans la direction de k  ; – les deux déplacements latéraux 1 u et 2 u dans le plan latéral (orthDans la section suivante, on va calculer la résultante des efforts extérieurs f s t ( , )  et la résultante des moments extérieurs m s t ( , )  . En effet, la force f s t ( , )  regroupe le poids, la force d’inertie, les forces hydrodynamiques et les forces de contact. En revanche, on considère que le moment m s t ( , )  provient uniquement du contact puisque l’on a supposé que m 0 ⊥ =   . 

Forces Extérieures 

Nous venons de voir que la mise en équation du problème compte tenu des diverses hypothèses s’effectue de manière naturelle dans le repère local lié à la poutre droite dans son état relâché (repère ( x y z , , )    où z est l’axe k  de la poutre). Toutes les autres données du problème pratique à résoudre se définissent simplement dans ce repère hormis la gravité. Nous introduisons alors comme donnée l’inclinaisonα de la poutre par rapport à la gravité et nous posons donc : ( ) * g g k k = + cos( ) sin( ) α α    où * k  est un vecteur orthogonal à k  arbitraire que l’on peut caractériser par son angle azimutal par rapport à l’axe x  qui a été choisi.