Modélisation de la machine asynchrone en présence des défauts statoriques 

La modélisation en présence des défauts est indispensable pour mener les recherches en diagnostic de la machine asynchrone sur les défauts essentiellement électriques (court-circuit au niveau de stator de la machine) ou mécanique (vibrations provoqué par un défaut dans les roulements). En pratique certains défauts sont quasiment impossibles à réaliser et souvent aussi difficile de les reproduire en simulation nécessitant un temps de développement très important. Pendant les dernières années plusieurs recherches [39], [42], [43] ont été réalisées sur la modélisation et la simulation des machines asynchrones pour trouver le modèle le plus proche au comportement de la machine réel et aussi un modèle qui peut simuler l’état de bon fonctionnement (cas sain) et l’état de dysfonctionnement (cas avec défaut). Parmi les modèles utilisés on peut citer le modèle de Park, les modèles fins, le modèle de Schaeffer et le modèle en abc. Le modèle utilisé dans ce travail, est le modèle de X-CHANG [8], [9] et [51], c’est un modèle triphasé équivalent qui a pour but d’éliminer les inconvénients des modèles citer précédemment, ce modèle a des avantages tel que:  Tous les paramètres du ce modèle sont calculables en ligne ;  Ce modèle est issu directement du modèle triphasé équivalent, aucune hypothèse supplémentaire n’est nécessaire ;  Les inductances mutuelles ne dépendant plus de la position relative entre le stator et le rotor, dont la valeur de cette position est inconnue en pratique ;  Ce modèle est vérifié par la comparaison des résultats de simulation aux résultats obtenus par les essais expérimentaux (LAII de Poitiers dans le domaine temporal). III.2 Modèle triphasé équivalent d’une machine asynchrone déséquilibrée au stator La modélisation classique d’une machine asynchrone triphasée au stator et au rotor repose sur les hypothèses classiques suivantes [8] [9]: 1. L’angle entre deux phases du stator (rotor) est égale à 2𝜋 3 ; 2. La distribution du flux magnétique est sinusoïdale dans l’entrefer ; 3. Les tensions et les courants sont sinusoïdaux ; 4. Les influences des encoches et des dents sont négligeables ; 5. L’effet de peaux est négligé ; 6. Tous les flux magnétiques mutuels parcourent le même circuit magnétique ; 7. La machine ne fonctionne pas en saturation.  Le modèle de la machine en présence de défaut de court-circuit [8], [9] est obtenu à partir les équations électrique et magnétique de la machine asynchrone (les équations (III.01), (III.02), (III.03) et (III.04)). Xianrong Chang et al, proposent une matrice de transformation T pour transformer les variables du rotor en nouvelles variables ayant la même pulsation du stator. [𝑈𝑠 ] = [𝑅𝑠 ][𝐼𝑠 ] + [𝑃𝜓𝑠 ] (III.01) [0] = [𝑅𝑟 ][𝐼𝑟 ] + 𝑃[𝜓𝑟 ] (III.02) [𝜓𝑠 ] = [𝑀𝑠 ][𝐼𝑠 ] + [𝑀𝑠𝑟][𝐼𝑟 ] (III.03) [𝜓𝑟 ] = [𝑀𝑟𝑠][𝐼𝑠 ] + [𝑀𝑟 ][𝐼𝑟 ] (III.04) Avec : P : désigne l’opérateur différentiel 𝑑 𝑑𝑡 – Les variables du stator : [𝑈𝑠 ] = [𝑢𝑠𝑎 𝑢𝑠𝑏 𝑢𝑠𝑐] 𝑇 (III.05) [𝐼𝑠 ] = [𝐼𝑠𝑎 𝐼𝑠𝑏 𝐼𝑠𝑐] 𝑇 (III.06) [𝜓𝑠 ] = [𝜓𝑠𝑎 𝜓𝑠𝑏 𝜓𝑠𝑐] 𝑇 (III.07) – Les variables du rotor : [𝐼𝑟 ] = [𝐼𝑟𝑎 𝐼𝑟𝑏 𝐼𝑟𝑐] 𝑇 (III.08) [𝜓𝑟 ] = [𝜓𝑟𝑎 𝜓𝑟𝑏 𝜓𝑟𝑐] 𝑇 (III.09) – [Msr] et [Mrs]: Représentent les matrices d’inductance mutuelle entre stator et rotor (rotor et stator) ; [𝑀𝑠𝑟] = [Mrs]T(III.10) – [Ms] et [Mr] : Sont respectivement les matrices propres du stator et rotor ; On a: [Ms] = [Lsσ] + [Mss] (III.11) [𝑀𝑟 ]= [Lrσ] + [𝑀𝑟𝑟] (III.12) Où : [Lsσ] et [Lrσ] : Sont respectivement les matrices d’inductance cyclique du stator et rotor ; Chapitre III Modélisation de la machine asynchrone en présence des défauts statoriques Page 42 [Mss] et [Mrr] : Sont respectivement les matrices d’inductance mutuelle entre les trois enroulements du stator et rotor. Remarque – Les matrices [Rs], [Rr], [Lsσ], [Lrσ], [Mss] et [Mrr] sont des matrices constantes. Les valeurs des paramètres dépendent du nombre de spires des bobinages considérés ; – Par contre les matrices[𝑀𝑠𝑟]𝑒𝑡[𝑀𝑟𝑠] sont des matrices à coefficients variant dans le temps. Les coefficients sont en fonctions de la position relative θ entre le stator et le rotor. Cette position est définie de la manière suivante : Soit θ l’angle entre la phase A du stator et la phase A du rotor, on a : { 𝜃 ≜ ∫Ω ′𝑑𝑡 Ω ′ ≜ (1 − 𝑔)Ω 𝑔 ≜ (Ω − Ω ′ )/Ω g: Le coefficient de glissement, Ω : La vitesse du champ tournant, Ω’ : La vitesse mécanique du Rotor. – Si le rotor est équilibré, on a : [𝑅𝑟 ] = [ 𝑟𝑟 0 0 0 𝑟𝑟 0 0 0 𝑟𝑟 ] (III.13) [𝐿𝑟𝜎] = [ 𝐿𝑟𝜎 0 0 0 𝐿𝑟𝜎 0 0 0 𝐿𝑟𝜎 ] (III.14) [𝑀𝑟𝑟] = [ 𝑀𝑟 −𝑀𝑟 2 −𝑀𝑟 2 −𝑀𝑟 2 𝑀𝑟 −𝑀𝑟 2 −𝑀𝑟 2 −𝑀𝑟 2 𝑀𝑟] (III.15) Soit :fsa , fsbet fsc les pourcentages de réduction du nombre de spires aux trois phases a, b et c du stator. Soit les coefficients : 𝑓𝑠𝑎 ∗ ≜ 1 − 𝑓𝑠𝑎,𝑓𝑠𝑏 ∗ ≜ 1 − 𝑓𝑠𝑏 et𝑓𝑠𝑐 ∗ ≜ 1 − 𝑓𝑠𝑐. – Les matrices [Rs], [Lsσ], [Mss], [Msr] et [Mrs] dépendent des trois coefficients 𝑓𝑠𝑎 ∗ , 𝑓𝑠𝑏 ∗ 𝑒𝑡𝑓𝑠𝑐 ∗ : [𝑅𝑠 ] = Rs [ 𝑓𝑠𝑎 ∗ 0 0 0 𝑓𝑠𝑏 ∗ 0 0 0 𝑓𝑠𝑐 ∗ ] (III.16) Chapitre III Modélisation de la machine asynchrone en présence des défauts statoriques Page 43 [𝐿𝑠𝜎] = [ 𝑓sa ∗ 2 𝐿𝑠𝜎 𝐿0 𝐿0 𝐿0 𝑓sb ∗ 2 𝐿𝑠𝜎 𝐿0 𝐿0 𝐿0𝑓sc ∗ 2 𝐿𝑠𝜎] (III.17) [𝑀𝑠𝑠] = Ms [ 𝑓sa ∗ 2 −𝑓𝑠𝑎 ∗ 𝑓𝑠𝑏 ∗ 2 −𝑓𝑠𝑎 ∗ 𝑓𝑠𝑐 ∗ 2 −𝑓𝑠𝑎 ∗ 𝑓𝑠𝑏 ∗ 2 𝑓sb ∗ 2 −𝑓𝑠𝑏 ∗ 𝑓𝑠𝑐 ∗ 2 −𝑓𝑠𝑎 ∗ 𝑓𝑠𝑐 ∗ 2 −𝑓𝑠𝑏 ∗ 𝑓𝑠𝑐 ∗ 2 𝑓sc ∗ 2 ] (III.18) [𝑀𝑠𝑟] = M [ 𝑓𝑠𝑎 ∗ cos(𝜃) 𝑓𝑠𝑎 ∗ cos(𝜃 + 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑎 ∗ cos(𝜃 − 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑏 ∗ cos (𝜃 − 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑏 ∗ cos(𝜃) 𝑓𝑠𝑏 ∗ cos(𝜃 + 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑐 ∗ cos (𝜃 + 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑐 ∗ cos (𝜃 − 2𝜋 3 ) 𝑓𝑠𝑐 ∗ cos(𝜃) ] (III.19) Avec : [𝑀𝑠𝑟] = [𝑀𝑟𝑠] 𝑇 (III.20) .

La matrice de transformation T

Les paramètres du modèle triphasé ne sont pas tous calculables en ligne car les équations du modèle (III.01, III.02, III.03, et III.04) sont exprimées dans deux systèmes de coordonnées différents. Les variables IR etψR sont exprimées dans un référentiel lié au rotor tandis que les variables Is Us et ψS sont exprimées dans un référentiel lié au stator. Le champ magnétique créé par le courant circulant dans le rotor à la même pulsation que celui crée par le courant circulant dans le stator. Ainsi, le champ magnétique au rotor peut être vu comme un champ magnétique crée par un courant statorique fictif. La relation entre ce courant fictif du stator et le courant rotorique est donnée par une transformation mathématique. L’utilisation de cette transformation sur l’ensemble des variables du rotor (flux et courants) peut être changée en nouvelles variables ayant la même pulsation que les variables du stator.