MODELISATION ET SIMULATION NUMERIQUE DU COMPORTEMENT VIBRATOIRE DES MACHINES TOURNANTES

Modélisation du comportement dynamique des engrenages

Au cours des dernières décennies, de nombreux auteurs ont tenté de mettre au point des modèles mathématiques et numériques visant à simuler le comportement dynamique des engrenages. Les formulations mathématiques vont des modèles à un degré de liberté (1ddl) aux éléments à trois dimensions (3D) à éléments finis. Tandis que sur le plan numérique, plusieurs travaux se sont concentrés sur la modélisation numérique du comportement  dynamique d’engrenages, se sont orientés vers des modélisations masses ressorts dans les années 1950 où masses ressorts amortissements, dans lesquels les engrenages sont assimilés à deux cylindres rigides. La liaison élastique entre le couple d’engrenage est modélisée par une série de raideurs. Toutefois, la liaison par contact entre roues dentées liées à l’ensemble des degrés de liberté et introduit en particulier des couplages entre les vibrations de flexion et de torsion de l’arbre. Bartelmus [7] a développé des modèles d’engrenages à 1ddl à un seul étage en considérant seulement les vibrations torsionnelles et un modèle masse-ressort-amortisseur à 8ddl (figure I.1), et qui comporte les vibrations horizontales, verticales et torsionnelles. Figure I.1 : Modèle d’engrenages à 8 ddl [7] Lida et al. [8] ont utilisé un modèle masse-ressort à 1ddl afin d’étudier l’effet de frottement entre les dents en considérant la flexibilité des arbres. Omar et al. [9] ont développé un modèle masse-ressort-amortisseur d’un seul étage à 6 ddl d’engrenages droits (figure I.2). Figure I.2 : Modèle d’engrenages à 6 ddl [9] Yan et Lin [10] ont proposé un modèle rotationnel masse – ressort – amortisseur en considérant le fléchissement, la compression axiale et le frottement de Coulomb des dents. Une méthode d’énergie potentielle a été utilisée pour obtenir les forces élastiques. Il existe trois types d’énergie (énergie hertzienne, énergie de fléchissement et énergie de compression axiale) qui composent l’énergie totale emmagasinée dans un système d’engrenage. Parmi ces énergies potentielles, l’énergie de fléchissement qui est beaucoup plus élevée par rapport à l’énergie hertzienne (environ 4 à 11 fois plus supérieure). Par contre, l’énergie de compression, est trop faible par rapport aux autres énergies (seulement environ 2 à 3 % de l’énergie de fléchissement). Par ce modèle, ils ont étudié les réponses du système sous un couple d’excitation nulle (vibration libre), un couple d’entrée constante et un couple d’entrée sinusoïdal, respectivement. La méthode de Runge-Kutta a été appliquée pour résoudre numériquement les équations de la dynamique. En plus, les méthodes de calcul ont également été données pour deux catégories de dissipation d’énergie causée par l’effet d’amortissement hertzien et l’effet de frottement des dents engagées, respectivement. Selon leur étude, la perte d’énergie due à l’effet d’amortissement hertzien est généralement plus grande que celle de l’effet de friction. Lalonde et al. [11] ont effectué une étude comparative entre les réponses vibratoires de plusieurs modèles d’engrenages à 2 ddl, 6 ddl, 8 ddl et 20 ddl (voir figures I.3, I.4 et I.5). Pour les solutions numériques des équations des modèles, ils ont utilisé les méthodes de Runge- 10 Kutta de 4 èmeordre et celle de Newmark qui est beaucoup plus rapide. Il apparaît que tous les modèles ont été comparables sur la base de l’amplitude de la réponse. Cependant, des différences significatives ont été observées dans la forme de la réponse. Des modèles plus détaillés (8 et 20 ddl) montrent clairement l’effet des autres composants du système sur la dynamique des engrenages. Figure I.3 : Modèle d’engrenages : a) 2 ddl, b) 6 ddl [11]. Figure I.4 : Modèle d’engrenages à 8 ddl [11] 11 Figure I.5 : Modèle d’engrenages à 20 ddl [11]. Omar, 2015 [12] a étudié sur un réducteur à un étage. Ce réducteur a été modélisé en utilisant trois modèles dynamiques différents à 6 ddl (figure I.3 (b)), 8 ddl (figure I.4), 8 ddl réduits à 6 ddl, ainsi que le modèle développé (avec 12 ddl) figure I.6, qui est appelé le quatrième modèle pour simuler la réponse dynamique d’engrenages droits. Les résultats du premier modèle montrent une différence nettement visible par rapport à ceux des autres modèles étudiés, qui ont été rendus plus réalistes en incluant deux ddl supplémentaires pour décrire le moteur et la charge. Les deux cas discaux symétriques et asymétriques ont été étudiés en utilisant le quatrième modèle. Dans le cas de la symétrie discale, les résultats de la réponse obtenue sont proches de ceux obtenus à partir des deuxième et troisième modèles. De plus, le second modèle a montré une légère influence de la friction inter-dent, et donc le troisième modèle est adéquat pour simuler le déplacement y du pignon dans le cas du disque symétrique. Dans le cas du disque asymétrique, les résultats s’écartent de ceux obtenus dans le cas symétrique. Par conséquent, pour simuler le déplacement y du pignon, le quatrième modèle peut être considéré pour une modélisation plus précise dans le cas du disque asymétrique. 12 Figure I.6 : Modèle dynamique d’un réducteur à 12 ddl [12]. I.2.1 Comportement dynamique de transmission par engrenage: Le comportement dynamique de transmission par engrenages est indispensable pour réduire le bruit et les vibrations. Par conséquent, de nombreux travaux ont été proposés pour décrire la dynamique du système d’engrenage. Singh et al. [13] ont développé plusieurs modèles mathématiques non linéaires et linéaires de système physique générique pour comprendre, quantifier et contrôler la vibration et le bruit d’une transmission manuelle à cinq vitesses, et ils ont proposé des critères de hochet et ont démontré leur application. Bonori et Pellicano [14] ont présenté une méthode d’analyse des vibrations non linéaires des engrenages cylindriques avec des erreurs de fabrication pour montrer l’effet des erreurs de profil et de sa variance sur la vibration de l’engrenage. Gill-Jeong [15] a décrit une analyse du comportement linéaire des paires d’engrenages selon le modèle de déformation élastique par contact direct et a trouvé que la viscosité avait un effet important sur le comportement des systèmes à engrenages. Plusieurs travaux ont été effectués sur le comportement vibratoire des engrenages sans et en présence des défauts. 13 El Badaoui [16] a proposé deux nouveaux indicateurs pour le diagnostic des réducteurs complexes à engrenages. Ces indicateurs sont obtenus à partir du cepstre d’énergie des signaux accélérométriques prélevés sur ces réducteurs. Ces indicateurs ont été validés sur des signaux issus de simulations numériques et sur des signaux réels. Les simulations ont été obtenues à partir d’un modèle mécanique déjà disponible, elles ont permis de réaliser une étude paramétrique des défauts de type écaillage en dentures droites et hélicoïdales et aussi d’en révéler la signature temporelle. Palais et al. [17] ont développé un modèle numérique permettant de simuler l’effet de défauts sur une denture sur les vibrations résultantes. Les défauts traités sont de deux types : des fissures et des défauts de surface. Les fissures modifient la rigidité de la dent. Une première étude montre l’influence de la taille de la fissure sur la rigidité. Les défauts de surface ne brisent qu’en à eux le film d’huile modifiant ainsi l’effort de frottement subi par la dent. Une deuxième étude s’attache à évaluer le pourcentage de surface concernée par ce phénomène. Ainsi, une fois les défauts pris en compte dans le modèle numérique, la réponse dynamique obtenue peut être analysée. Ville et Velex [18] présentent un modèle du comportement dynamique de trains d’engrenages incluant les effets du frottement sur les dentures. Les résultats de ce modèle confrontés aux mesures obtenues sur un banc d’essai montrent un très bon accord. Des simulations ont été réalisées sur de larges plages de vitesses de rotation pour différentes corrections de denture afin d’analyser les contributions spécifiques du frottement. Chaari et al. [19] ont simulé un type de défaut localisé sur une ou plusieurs dents ou bien réparti sur toutes les dents de façon à décrire approximativement un début de fissure, un écaillage. L’analyse de la réponse dynamique a permis alors de déterminer qualitativement l’influence de ce défaut. Des méthodes de détection appropriées au type de défaut sont utilisées. Il s’est avéré que pour les défauts localisés, la méthode du cepstre est très utile tandis que la méthode spectrale reste valable pour les défauts répartis. Parey et al. [20] ont composé leur travail en deux parties: dans la première partie, un modèle dynamique à engrenages de 6 degrés de liberté comprenant un défaut de dent localisé a été développé. Le modèle se compose d’une paire d’engrenages droits, de deux arbres, de deux inerties représentant la charge et la force motrice et les paliers. Le modèle incorpore les effets de la rigidité et de l’amortissement variant dans le temps, le jeu, l’excitation due aux erreurs de vitesse et aux modifications de profil. La seconde partie consiste en un traitement de signaux simulés et expérimentaux. 14 Divandari et al. [21] ont utilisé un modèle dynamique non linéaire à 6 ddl, comprenant différentes erreurs et défauts de vitesse, qui est développé pour étudier les effets des défauts localisés sur les dents et les modifications de profil sur la dynamique globale des engrenages. Les interactions entre les modifications des dents et l’erreur de profil sont étudiées et le rôle de la modification de profil dans la réponse dynamique lorsqu’un défaut localisé encouru par une dent est montré. Il est indiqué que bien que les modifications de profil et les erreurs de profil soient micro-géométriques, elles ont des effets considérables sur les vibrations de la paire d’engrenages. Particulièrement, c’est le cas des dents à racines atténuées qui se sont avérées plus efficaces pour réduire les vibrations en présence d’une dent localisée. Enfin, les résultats de la simulation sont comparés aux résultats de la littérature et le modèle est vérifié. Les vibrations sont toujours causées par des excitations internes, liées aux processus d’engrènements tels que la raideur d’engrènement et l’erreur de transmission dynamique. La première excitation décrit les caractéristiques élastiques instantanées du couplage entre les roues, la seconde constitue une source d’excitation solidienne de type déplacement si elle est exprimée suivant la ligne d’action. Dans notre travail, nous intéressons à la rigidité d’engrènement et sur l’erreur de transmission dynamique, ainsi qu’à d’autres phénomènes peuvent perturber la dynamique du système telle que le rapport de contact. Il y’aura plus de détails concernant ces trois phénomènes dans le chapitre II. I.2.1.1 Rigidité d’engrènement : Comme nous avons indiqué, au paragraphe précédent, que la raideur d’engrènement constitue également une source d’excitation interne. Au cours du fonctionnement d’un engrenage, la raideur qui résulte du contact entre les différents couples de dents en prise. Elles génèrent des surcharges dynamiques sur les dentures qui sont transmises aux lignes d’arbres .

Erreur de transmission

Une erreur de transmission est considérée comme un mécanisme d’excitation important pour le bruit et la vibration des engrenages, elle est due : 1. Aux erreurs de géométrie de dent: erreur de profil, erreur de pas et erreurs de sortie du processus de fabrication.  2. A la déformation élastique: déformation de contact local au niveau de chaque paire de dents en prise et déflexions des dents dans les organes d’engrenage en raison de la charge transmise à travers et transversalement à l’axe de rotation de l’engrenage. 3. Montage imparfait: erreurs géométriques d’alignement, qui peuvent être introduites par des déformations élastiques statiques et dynamiques dans les paliers et les arbres porteurs. Nous distinguons durant le régime de fonctionnement trois erreurs de transmissions telles que : – L’erreur transmission dynamique (ETD): prend en compte les phénomènes dynamiques du système de fonctionnement qui ne sont plus négligeables lorsque les vitesses de rotation sont plus élevées. Dans ces conditions, les caractéristiques inertielles de la transmission ne peuvent plus être négligées. L’erreur dynamique de transmission constitue la réponse dynamique de la transmission à l’excitation induite par l’erreur statique de transmission en l’absence de sources d’excitation externes. Elle donne lieu à des surcharges dynamiques sur les dentures [23]. – L’erreur de transmission statique sans charge : dite aussi erreur cinématique qui représente les défauts géométriques des dentures dus aux défauts de profil qui ne seront pas parfaitement conjuguais. Ces défauts résultent soit de la fabrication (erreur de pas, de distorsion, de profil). Cette erreur est donc d’origine purement géométrique et traduit des défauts sous la forme de déplacement angulaire. Elle est remarquable en régime quasistatique (vitesses presque nulles), lorsque le couple statique appliqué est quasi-nul de sorte que les dents restent en contact sans déformation. – L’erreur de transmission statique sous charge : est due à l’erreur précédente, en plus, elle prend en compte les déformations de denture, un certain nombre de défauts de géométrie ou de corrections de forme, il se déforme sous l’effet de la transmission d’un un couple moteur. Cette erreur modifie la situation des roues en prise. I.2.2 Sources de vibrations : Nous distinguons, dans la littérature, de multiples sources d’excitation vibratoire d’une transmission d’engrenages [23–24]. En effet, il y a deux types de sources : sources internes associées au fonctionnement de la transmission et sources externes. 

Source d’excitation interne

Elles sont associées aux fluctuations des forces de frottement au niveau des dentures, aux forces de contact engendrées par des chocs autorisés par la présence des jeux fonctionnels et l’impact à l’engrènement. a) forces de frottement : Lors du processus d’engrènement, les deux surfaces actives appartenant à un couple de dents en prise roulent et glissent l’une par rapport à l’autre. La vitesse de glissement, tangente au profil pour un engrenage parfait infiniment rigide, est nulle au niveau du point primitif et varie de façon linéaire avec la position du point de contact sur la ligne d’action. L’ensemble de ces phénomènes physiques est à l’origine des forces de frottement. La variation, au cours de l’engrènement, des forces de frottement induit nécessairement une fluctuation du couple transmis qui excite le carter, via les lignes d’arbres et les roulements.b) Chocs entre dents : Certaines conditions de fonctionnement des engrenages peuvent conduire à des pertes de contact entre les dents en prise. Le rétablissement du contact, soit sur le flanc actif de la dent conjuguée, soit sur le flanc opposé de la dent suivante, se traduit par un choc. Ces phénomènes de chocs sont décrits, sous le nom de cliquetis (rattling noise ») pour des engrenages non chargés [13] et sous le nom de martèlement (« hammering noise ») pour des engrenages chargés [25]. Ils sont induits par l’entraînement de pignons fous (pignons très peu chargés), par des fluctuations importantes du couple moteur ou bien par des résonances non linéaires qui apparaissent au voisinage des vitesses critiques de fonctionnement et qui résultent de l’excitation interne induite par le processus d’engrènement [26]. Les chocs entre dents constituent une préoccupation importante dans le domaine des transports terrestres, car, dans certaines conditions de fonctionnement très particulières, ils sont à l’origine des nuisances acoustiques importantes. Aussi, ils font l’objet de différentes études. Le contact entre les dents en prise est représenté par une raideur non linéaire qui devient nulle lorsque le contact est rompu. c) l’impact à l’engrènement : Les déformations élastiques à l’application du couple moteur et les défauts de géométrie des dents provoquent un déplacement angulaire des roues correspondant à la déformée, ce qui 17 risque de générer des interférences (de l’entrée des dents dans la zone de contact). Les forces générées par ces impacts sont transmises au carter via les roues dentées, les arbres et les roulements et peuvent conduire à un bruit important à la fréquence d’engrènement [27]. Toutefois, cette source d’excitation peut facilement être éliminée en effectuant des corrections de denture appropriées.

Source d’excitation externe

Les principales sources d’excitation externe peuvent être associées aux fluctuations du couple moteur, les fluctuations du couple de charge, les variations de l’inertie de charge, et enfin par les vibrations transmises via les points de fixation sur la structure externe. a) Fluctuations du couple moteur : L’actionneur peut engendrer des fluctuations de couple de son mode de fonctionnement. Il est clair que ces fluctuations dépendent étroitement du type de l’organe employé. On peut noter que les fluctuations des couples extérieurs peuvent produire des modulations d’amplitudes et de fréquence, donnant naissance à un bruit à bandes latérales autour de la fréquence d’engrènement et de ses harmoniques. b) Fluctuations du couple de charge : Tout comme le moteur, l’organe récepteur peut engendrer des fluctuations de couple. Ces fluctuations peuvent être de même nature que celles du moteur (par exemple, utilisation d’un moteur électrique comme frein sur un banc d’essai). On peut noter également que l’organe récepteur peut être à l’origine des perturbations aléatoires large bande de grandes amplitudes (frein à garnitures de friction, pompe…) [28]. c) Variations de l’inertie de charge : Les variations de l’inertie de charge peuvent influencer le comportement vibratoire ou acoustique de la transmission [28]. d) Structure d’accueil : Les vibrations de la structure d’implantation peuvent participer à l’excitation vibratoire du carter. Dans la plupart des cas d’analyse de transmission, le montage de la boîte de transmission sur la structure d’accueil n’est pas pris en compte du fait de sa complexité. 18 I.2.3 Sources d’amortissement : Les sources d’amortissement sont différentes et définies principalement en fonction de la nature des phénomènes mis en jeux et de leur modélisation, nous pouvons citer :  l’amortissement visqueux qui correspond à une dissipation d’énergie par écoulement laminaire d’un fluide dans un amortisseur, et qui donne lieu à une force d’amortissement proportionnelle à la vitesse ;  l’amortissement hystérétique dit structurel qui correspond à une dissipation d’énergie par divers mécanismes de frottement interne entre les matériaux. En régime harmonique, la force de dissipation est proportionnelle et en quadrature avec la force élastique et donc avec les déplacements relatifs ;  l’amortissement de Coulomb qui correspond à une dissipation de l’énergie par frottement sec entre deux surfaces et qui donne lieu à une force de dissipation non linéaire. Ce type d’amortissement convient pour représenter les propriétés dissipatives de certaines liaisons mais, il est impossible à prédire sur plan ;  la dissipation d’énergie au niveau des contacts hertziens entre les dentures et dans les roulements ;  la dissipation d’énergie liée dans les matériaux. I.3 Considérations technologiques sur les défauts d’engrenages : Les statistiques concernant les causes de défaillances et la localisation des défauts dans les transmissions de puissance par engrenages permettent de conclure que les organes les plus sensibles sont les dents dans un premier lieu puis les roulements dans un second lieu. Les causes d’avarie sont multiples à savoir les défauts de fabrication et de montage ainsi que les défauts de fonctionnement (voir paragraphe I.5). Ces défauts expriment une erreur de transmission et entraînent une défaillance dans le fonctionnement du mécanisme à engrenages. La détection de ces défauts est faite grâce à la maintenance préventive qui contrôle le système lors de son fonctionnement. Il a été démontré par des récents travaux qu’un défaut d’excentricité introduit une modulation d’amplitude :  A la fréquence de rotation de la roue défectueuse ;  De la réponse marquée par la variation de la raideur d’engrènement. Cela se traduit dans le domaine fréquentiel par l’apparition de raies latérales autour de la fréquence d’engrènement et de ses harmoniques. 

Défaut de fabrication

Les défauts de fabrication, appelés aussi écarts de forme, sont liés principalement à la génération de dentures [29], [30]. Walha et al. [31] ont étudié l’effet des défauts de fabrication sur le comportement dynamique d’une transmission par engrenage à deux étages à denture hélicoïdale. Chaari et al. [32] ont modélisé les erreurs de fabrication sur un train épicycloïdal. Les principaux défauts de fabrication sont les suivants : – Erreur de profil : L’erreur du profil en développante de cercle, elle est définie comme étant l’écart entre le profil réel et le profil idéal (figure I.7). Elle est généralement liée au processus de taillage. L’erreur peut être générée lors de la fabrication ou au cours du fonctionnement par l’usure et la détérioration des profils. Figure I.7 : Erreur de profil Walha et al. [33] ont étudié l’effet de l’erreur de profil sur le comportement dynamique non linéaire d’un mécanisme à came. Bard [34] illustre l’impact de l’erreur de profil sur le comportement dynamique de l’engrènement. Notamment l’apparition de « raies fantômes » autour de la fréquence d’engrènement peut atteindre des niveaux supérieurs à ceux de la fondamentale d’engrènement. Rémond [35] montre que l’état de surface des dentures permet une réduction du bruit pouvant atteindre 5 dB entre un taillage normal et une rectification précise. – Erreur de distorsion : Il y a distorsion [36] d’un flanc lorsque celui-ci n’est pas parallèle à l’axe de rotation, dans le cas d’une denture droite, ou lorsqu’il présente une erreur dans son inclinaison dans le cas d’une denture hélicoïdale (figure I.8).