Non-linéarités d’ordre trois

Modifications de la polarisation dans un milieu non linéaire

Dans les chapitres suivants, nous allons étudier alternativement les modifications subies par la polarisation d’une onde se propageant dans des milieux dont la susceptibilité non linéaire d’ordre trois est isotrope ou anisotrope, dans le cas d’une polarisation initiale linéaire ou elliptique. Ce paragraphe établit un modèle théorique complet, valable pour chacun de ces cas.

Hypothèses

Nous négligerons toujours dans les phénomènes non linéaires considérés l’absorption à deux photons, seule la partie réelle du tenseur (3) χ est prise en compte. Enfin, seuls des phénomènes électroniques non résonnants, c’est-à-dire à réponse instantanée, sont considérés. Nous traitons le cas de milieux naturellement non biréfringents. Le champ électromagnétique vectoriel incident monochromatique s’écrit : Chapitre 2 : Non-linéarités d’ordre trois 36 Ẽ(t) = E(ω) cos (ω t) (2.1) Les unités employées sont celles du système MKS. Le champ électromagnétique est donc exprimé en Vm-1, l’intensité I associée en Wm-2 : 2 0 0 2 E c n I ε = , avec 12 1 0 85.8 10− − ε = × Fm . (2.2) Le champ E est décrit par ses composantes orthogonales A et B dans un repère (abz) (fig. 2.1). Figure 2.1 : Repère (abz) dans le cas d’un champ incident polarisé linéairement (a) ou elliptiquement (b). Nous voulons connaître l’évolution des champs A et B lors de la propagation dans le milieu non linéaire. Les calculs suivants sont effectués pour des ondes planes, dans le cadre de l’approximation de l’enveloppe lentement variable. 1.2. Modifications de la polarisation dans un milieu isotrope Le tenseur (3) χ comprend 81 termes. Pour les matériaux à haut niveau de symétrie, la plupart de ces termes sont nuls. Si nous considérons un milieu isotrope caractérisé par un repère (xyz), les relations suivantes entre les termes non nuls du tenseur (3) χ sont vérifiées [2.1] :  Le développement de la polarisation non linéaire du troisième ordre à la même fréquence que le champ incident dans le repère (xyz) s’exprime par :Dans le cadre de l’approximation de l’enveloppe lentement variable, l’évolution des champs Ex et Ey lors de la propagation est liée à la polarisation non linéaire : Le coefficient δ est nommé coefficient de biréfringence induite. Il vaut 3 1 pour un milieu isotrope [2.2]. Ce terme quantifie les transferts d’énergie de A vers B. Les termes en A 2 A ( B B 2 ) correspondent à l’automodulation de phase, et les termes en B 2 A ( A B 2 ) à la modulation de phase croisée. Nous remarquons qu’une polarisation linéaire se conserve : si B est nul, A subit uniquement de l’automodulation de phase et aucun transfert d’énergie de A vers B n’a lieu. Une polarisation circulaire se conserve également. Par exemple B = iA conduit à dB dz = i dA dz . Seule une polarisation elliptique subit des modifications dans un milieu isotrope. Il s’agit de la rotation de polarisation elliptique par biréfringence induite (NER : Nonlinear Elliptic polarization Rotation). Dans ce cas, la biréfringence induite par effet Kerr a pour conséquence la rotation du grand axe de l’ellipse (fig. 2.2) [2.1]. Figure 2.2 : Polarisation elliptique incidente (a) et après propagation (b) Ce phénomène est étudié expérimentalement et appliqué au filtrage temporel dans le chapitre 3. 

Modifications de la polarisation dans un milieu cristallin anisotrope

Dans le cas d’un matériau cristallin cubique (m3m) ou tétragonal (4/mmm), les relations (2.3) sont valides, mais la relation d’isotropie (2.5) n’est plus vérifiée. Les quatre termes )3( χ x x x x , )3( χ x x y y , )3( χ x y x y , et )3( χ x y y x sont indépendants. Le coefficient d’anisotropie du tenseur (3) χ , noté σ, quantifie l’écart par rapport à la situation d’isotropie : θ y x’ y’ y x (a) x (b) Chapitre 2 : Non-linéarités d’ordre trois 39 )3( )3( )3( )3( )3( x x x x x x x x x x y y x y x y x y y x χ χ χ χ χ σ − − − = (2.12) Si on conserve l’ordre des champs défini dans (2.6), une relation supplémentaire est vérifiée [2.2] : )3( )3( χ x y x y = χ x y y x (2.13) L’anisotropie du tenseur (3) χ s’écrit finalement : )3( )3( )3( )3( 2 x x x x x x x x x x y y x y y x χ χ χ χ σ − − = (2.14) Nous pouvons exprimer (3) Px et (3) Py d’après (2.7) et (2.13) :  Le repère (xyz) correspond aux axes cristallins du matériau. Soit β l’angle entre l’axe x et la direction a de la composante A du champ incident (fig. 2.3). Figure 2.3 : Repères (xyz) et (abz), angle β. Nous cherchons à exprimer dz dA et dz dB en fonction de A et B. A a z β x y b B Chapitre 2 : Non-linéarités d’ordre trois 40 Nous avons : Ex = cos β A− sin β B (2.17(a)) Ey = sin β A + cos β B (2.17(b)) Et également : dz dE dz dE dz dA x y = cos β + sin β (2.18(a)) dz dE dz dE dz dB x y = − sin β +cos β (2.18(b)) dz dEx s’exprime en fonction de A et B d’après (2.16) et (2.17) : [ ] )3( 3 )3( 2 )3( 1 0 2 8 6 x x x x x x y y x y y x x n i dz dE χ χ χ λ π = × Σ +Σ + Σ (2.19(a)) 2 2 * 2 3 2 2 2 2 * 2 2 2 3 1 2sin cos sin cos sin cos 2cos sin sin cos A B B B B A A A B A A B β β β β β β β β β β − − + Σ = + − (2.19(b)) 3 2 * 2 2 2 2 3 2 * 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos cos cos sin 2cos sin sin  En remplaçant dz dEx et dz dEy par ces expressions dans les équations (2.18), nous remarquons que dans l’expression de dz dA apparaît un terme en B B 2 . Ce terme correspond à un transfert d’énergie du champ B vers le champ A polarisé orthogonalement. Le coefficient γ de ce terme de génération de polarisation orthogonale vaut d’après Il est important de noter que ce terme de génération de polarisation orthogonale n’apparaît pas dans les équations (2.16). Pour le mettre en évidence, il faut considérer un champ incident qui n’est pas polarisé suivant l’un des axes cristallins ( 0 β ≠ ). Le calcul des autres coefficients est effectué en annexe (p. 179). Chapitre 2 : Non-linéarités d’ordre trois 42 L’expression de l’équation d’évolution du champ A finalement obtenue est : automodulation de phase iautomodulation de phase.génération de polarisation croisée i ( ) Les équations 2.25 (a) et (b) sont totalement symétriques, A et B étant interchangeables (la différence de signe devant les deuxième, quatrième et cinquième termes provient de la définition de l’angle β).