Paramétrisation du problème de calage d’historique

La méthode proposée est fondée sur les principes des méthodes de déformation graduelle locale  et de déformation de domaines  . La déformation graduelle locale consiste à combiner plusieurs réalisations de modèle à l’intérieur de zones préalablement définies sur le réservoir tandis que la déformation de domaines revient à choisir une réalisation de modèle à l’intérieur de ces zones, une autre à l’extérieur et à modifier la réalisation de modèle en faisant varier la forme des zones. Notre méthode combine les avantages des deux méthodes en permettant de modifier la forme des zones dans lesquelles la déformation graduelle locale est effectuée. Le fait de pouvoir faire varier la forme des zones supprime l’un des facteurs limitant principaux de la méthode de déformation graduelle locale : la réalisation de modèle obtenue en fin d’optimisation avec notre méthode n’est plus que marginalement dépendante de la forme des zones initialement définies. De plus, la flexibilité apportée par notre méthode dans le choix des zones nous a permis de développer une méthodologie d’initialisation de type “patchwork” qui nous permet de garantir le choix d’un bon point initial. On présente en section 1.1 un état de l’art des méthodes de paramétrisation existantes ainsi qu’une description plus précise des méthodes de déformation graduelle et de déformation de domaines. La nouvelle méthode de paramétrisation est ensuite décrite en section 1.2 tandis que la méthodologie développée pour l’initialiser est présentée en section 1.3. Enfin, une première validation numérique des méthodes proposées sur un cas simple de réservoir est donnée en section 1.4.

 État de l’art 

Paramétrisation

Un réservoir pétrolier dans son ensemble comprend de nombreuses hétérogénéités dues à des phénomènes physiques ou géologiques variés et ce, à différentes échelles. Les phénomènes d’accrétion et de sédimentation peuvent être par exemple responsables de l’apparition de grosses structures géologiques à l’intérieur du réservoir comme des chenaux qui, à leur tour, contiennent des hétérogénéités à une échelle plus petite. Rendre compte précisément d’une telle complexité dans un modèle contenant des millions de mailles nécessite l’ajustement d’un très grand nombre de paramètres. Ceci est généralement infaisable dans la pratique du fait du faible nombre d’observations à disposition. Il est donc nécessaire de s’appuyer sur des techniques de paramétrisation permettant de réduire le nombre de paramètres tout en conservant l’intégrité du modèle. On peut distinguer trois grandes familles de paramétrisation : — une famille contenant les méthodes apparentées à des techniques d’expansion — une famille dont les méthodes sont fondées sur une représentation de la variabilité spatiale par blocs — une famille basée sur des concepts géostatistiques. La première famille d’approches comprend trois méthodes principales : la méthode d’expansion de Karhunen-Loève [45, 77, 93] ou analyse linéaire en composante principale [97, 59], la transformée en cosinus discrète [56] et la transformée en ondelette [94, 95]. Ces trois méthodes ont pour but de réduire le nombre de paramètres total en travaillant sur des espaces de dimension plus faible que celui du problème général. La méthode de Karhunen-Loève consiste à identifier les valeurs propres de la matrice de covariance du modèle géostatistique et à négliger le sous-espace généré par les vecteurs propres associés aux plus faibles valeurs propres. Il est alors possible de travailler sur un espace de dimension plus faible tout en conservant la majeure partie de l’information sur les variabilités spatiales du réservoir. Dans la méthode utilisant la transformée en cosinus discrète, les propriétés du réservoir sont modélisées à l’aide d’une transformée en cosinus discrète, c’est-à-dire comme une série de fonctions cosinus. Cette somme est ensuite ordonnée suivant les coefficients de la transformée et les termes correspondant à des valeurs trop faibles sont négligés. La dimension de l’espace sur lequel les calculs sont réalisés est donc réduite et le nombre de paramètres s’en trouve limité. Enfin, la dernière méthode consiste à effectuer une transformée en ondelette des propriétés pétrophysiques du réservoir puis à sélectionner les termes souhaités en fonction de leur sensibilité aux données de production. Le modèle résultant est à nouveau de dimension réduite et permet donc de diminuer le nombre total de paramètres. Dans chacune de ces méthodes, on réduit la dimension de l’espace de travail en identifiant puis en négligeant un sous-espace moins influent. Il est donc possible de détériorer fortement les propriétés pétrophysiques du modèle de réservoir si on néglige une partie trop importante de l’espace. La deuxième famille de méthodes consiste à regrouper les mailles de domaines en blocs et à faire varier les moyennes des propriétés pétrophysiques dans chaque bloc. La méthode de zonation [55, 104] a souvent été utilisée pour le calage d’historique. Dans cette méthode, les perméabilités et porosités des mailles sont considérées constantes dans chacun des blocs préalablement définis. Cette méthode permet bien une diminution du nombre total de paramètres mais ne rend pas correctement compte de la variabilité spatiale des propriétés du réservoir. La méthode de gradzone [10] est une amélioration de la méthode de zonation dans le sens où elle permet des modifications à l’intérieur des blocs pendant le processus de calage. Cependant, elle ne permet pas non plus de conserver les informations statiques de variabilité spatiale. Les travaux réalisés au cours de la thèse portent principalement sur la dernière famille de méthodes dont l’avantage est de permettre la conservation de la structure et de la variabilité géologique du modèle. Quelques méthodes sont à citer dans cette famille : la méthode des points pilotes [67, 88], la méthode de déformation graduelle [53, 54, 92], la méthode de déformation de domaines (Ding et Roggero [37]) et la méthode de la perturbation des probabilités (Hoffman et Caers [52]). Le fait que ces méthodes soient fondées sur des propriétés géostatistiques fait qu’elles partagent plusieurs propriétés importantes. Elles modifient en effet toutes les propriétés pétrophysiques du modèle de façon globale ou locale tout en conservant les propriétés de variabilité spatiale intactes. De plus, elles permettent aussi de réduire de façon importante le nombre de paramètres à prendre en compte dans le calage d’historique. La méthode des points pilotes par exemple consiste à sélectionner quelques points dans le modèle de réservoir et à ajuster les propriétés pétrophysiques qui leur sont attribuées pour réduire la fonction objectif. Les valeurs en tous les autres points du réservoir sont alors modifiées afin de conserver les propriétés de variabilité spatiale du modèle. Les méthodes de déformation graduelle et de domaines reviennent quant à elles à considérer des combinaisons linéaires de plusieurs réalisations du modèle géostatistique et à définir en tant que paramètres les coefficients de ces combinaisons. Ce sont ces deux méthodes que l’on a tenté de généraliser, elles seront donc décrites plus en détail dans la section suivante. 

 Initialisation 

Un autre aspect du problème de calage d’historique qui peut influencer fortement le résultat de l’optimisation est son initialisation. L’une des difficultés des méthodes de paramétrisation géostatistiques locales est la définition des zones dans lesquelles elles agissent : si ces zones d’influence ne sont pas choisies de façon pertinente, la diminution de la fonction objectif ne pourra être que très limitée. D’un autre côté, le choix du vecteur initial de paramètres, selon son éloignement par rapport au point initial, peut jouer énormément sur le nombre d’évaluations de la fonction objectif nécessaires pour arriver à convergence de l’algorithme d’optimisation utilisé. On a donc besoin d’une méthode efficace et pertinente pour initialiser le problème. On peut trouver dans la littérature une méthode dite de patchwork [90] consistant à diviser le modèle de réservoir en zones délimitées par des mailles puis à sélectionner pour chacune de ces zones une réalisation de modèle. Cette méthode peut donner de bons résultats sur la valeur de la fonction objectif mais n’offre aucune garantie : il est tout à fait possible d’obtenir un point initial moins bon avec cette méthode. Par conséquent, il est courant de débuter l’optimisation de calage d’historique avec la meilleur réalisation de modèle générée initialement [11, 18]. Dans ce chapitre, on s’intéresse plus spécifiquement aux méthodes de déformation graduelle et de déformation de domaines. Une revue rapide de ces deux méthodes est présentée en section 1.1.2. La méthode de paramétrisation que nous avons développée généralise la méthode de déformation graduelle locale et est décrite en section 1.2. Elle permet généralement une plus grande souplesse dans le choix des zones et des paramètres associés comparativement aux méthodes existantes. La section 1.3.2 se focalise quant à elle sur l’initialisation de cette méthode de paramétrisation. Enfin, la section 1.4 montre un premier résultat numérique simple permettant de valider nos méthodes. 

Méthodes de déformation graduelle et de déformation de domaine 

Le principe des méthodes de déformation graduelle et de déformation de domaines est fondé sur la façon dont sont générés les modèles géostatistiques. Le peu de données disponibles implique que les modèles se doivent d’extrapoler dans les parties inconnues du réservoir. Les méthodes de génération de modèle proposent ainsi des modèles qui vérifient des propriétés de variabilité spatiale statistiques. Certaines méthodes comme FFT-MA (Fast Fourier Transform Moving Average) [89] permettent de générer des informations structurelles (moyenne, variance, longueur de corrélation, etc.) sur des bruits blancs décorrélés. On génère d’abord un bruit blanc Gaussien qui est ensuite manipulé pour faire en sorte qu’il vérifie les propriétés statistiques souhaitées. Une réalisation d’un modèle est alors liée à ce tirage aléatoire de bruit blanc Gaussien par une fonction G telle que M = G(Z) Où M est la réalisation du modèle associée au bruit blanc Gaussien Z. 

 Méthode de déformation de domaines 

La méthode de déformation de domaines présente des similarités avec la méthode de déformation graduelle locale. Le modèle de réservoir est divisé en différentes zones auxquelles sont associées un bruit blanc Gaussien standard unique. La réalisation du modèle est alors modifiée à travers la déformation de la forme des zones. La Figure 1.4 présente un exemple de modèle de réservoir dans lequel une zone a été créée. Sur cet exemple, la réalisation de modèle est construite 15 Figure 1.3 – Combinaison locale de deux bruits blancs Gaussiens par déformation graduelle. avec le bruit blanc Gaussien Z1 à l’intérieur du domaine R1 et le bruit blanc Gaussien Z0 à l’extérieur. Il est clair sur cette figure que la réalisation de modèle construite est largement dépendante de la forme de la zone R1 et qu’une paramétrisation de cette forme est bien une paramétrisation du modèle. Cependant, la valeur aléatoire utilisée pour construire la réalisation