REGULARITE EN CALCUL DES VARIATIONS

La théorie de De Giorgi

Même si les résultats obtenus dans cette thèse ne s’inscrivent pas dans cette théorie, celle-ci a fait émerger des idées et des techniques abondamment utilisées dans les Chapitres 2 et 3. De plus, les premiers articles apparaissant après-guerre et appartenant la théorie Hilbert-Haar sont redevables plusieurs résultats dus De Giorgi et aux nombreux auteurs qui ont amélioré et généralisé ses résultats (notamment Ladyzhenskaya et Ural’tseva, Moser, Morrey, etc…). Dans la deuxième moitié des années cinquante, De Giorgi [30] et Nash [74] font paraˆıtre presque simultanément deux théorèmes semblables. Les travaux du premier auteur auront des répercussions importantes dans de nombreux articles sur la régularité en calcul des variations. On en verra plusieurs exemples dans la suite. A l’exception de la méthode directe de régularité en calcul des variations dont les principaux inspirateurs sont Giaquinta et Giusti, la grande majorité des résultats obtenus dans le cadre de la théorie de De Giorgi sont des conséquences de théorèmes de régularité pour les équations elliptiques linéaires ou quasilinéaires. C’est déj`a le cas dans l’article originel de De Giorgi : le problème est de minimiser : I : u 7→ Z Ω F(∇u) sur W1,2 (Ω). (Lorsque le lagrangien ne dépend que de la variable κ, on notera F(κ) = L(x, z, κ)). On suppose que F est C 2 (R n) et qu’il existe 0 < µ < C tel que µ|ξ| 2 ≤ h∇2F(κ)ξ, ξi ≤ C|ξ| 2 , κ ∈ R n , ξ ∈ R n . (1) Dans la suite de cette introduction, on dira que (1) constitue une hypothèse de croissance sur F, la fois minorante (c’est l’inégalité de gauche) et majorante (c’est l’inégalité de droite). 16 Introduction Le théorème de De Giorgi affirme que si u est un minimiseur local, i.e. I(u) ≤ I(u + θ) ∀θ ∈ C ∞ c (Ω), alors la restriction de u tout compact contenu dans Ω est C 1,α pour un certain α ∈ (0, 1) qui ne dépend pas du compact. Sous les hypothèses (1), un minimiseur local u est solution de l’équation d’Euler sous forme faible : Z Ω h∇F(∇u(x)), ∇θ(x)i dx = 0 ∀θ ∈ C ∞ c (Ω). (2) Réciproquement, supposons que F est convexe, que u est solution de (2) et appartient W1,2 (Ω). Alors u est un minimiseur local (cela résulte du fait qu’un point annulant la dérivée d’ une fonction convexe est un minimiseur global de cette fonction). La méthode de De Giorgi est une méthode indirecte, puisqu’elle passe par l’équation d’Euler-Lagrange pour obtenir de la régularité. C’est une méthode locale au sens ou` la régularité sera toujours démontrée au voisinage d’un point et en recouvrant Ω¯ par de tels voisinages. Le théorème originel de De Giorgi a été amélioré dans plusieurs directions. D’abord, une preuve plus simple a été proposée par Moser. Néanmoins, les ensembles fonctionnels introduits par De Giorgi ont eu une belle postérité (on les retrouve par exemple dans [37]). Ensuite, le théorème a été étendu des lagrangiens dépendant de x et z, avec des hypothèses de croissance très variées. On pourra se reporter aux livres [71], [36] et [53]. On ne sait pas démontrer en général qu’une solution d’un problème variationnel est solution de l’équation d’Euler correspondante. La difficulté consiste vérifier les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral. Ces hypothèses sont satisfaites dans deux cas principaux. Le premier est celui ou` on dispose d’hypothèses de croissance (majorantes et minorantes) du lagrangien, comme dans (1). Le second cas est celui ou` on sait a priori que u est lipschitzien, ce qui implique que les hypothèses de croissance précédentes sur le lagrangien évalué en u sont automatiquement satisfaites. (Sur ce sujet, on pourra consulter le cas particulier envisagé dans [25]) . Pour obtenir de la régularité sur un problème non linéaire (problème de minimisation d’une fonctionnelle ), De Giorgi le transforme en un problème linéaire (équation elliptique linéaire forme divergentielle et sans second membre). Le cout ˆ de ce procédé est de devoir supposer des hypothèses de croissance (minorantes et majorantes) sur le lagrangien pour pouvoir obtenir une borne L∞ sur les coefficients de l’équation linéaire. Cette transformation résulte de l’application de la méthode des quotients différentiels l’équation d’Euler sous forme faible. L’objectif principal de la méthode des quotients différentiels est d’obtenir des informations sur les dérivés secondes d’une solution (par exemple montrer que cette solution est dans W 2,2 loc ). Comme on ne sait pas a priori si ces dérivés existent, on remplace la dérivée dans une direction par une dérivée discrète. Ainsi, si u est solution et qu’on s’intéresse ∂∇u ∂x1 , on introduira ∆t,1∇u(x) := ∇u(x + te1) − ∇u(x) t . 0.2 La théorie de De Giorgi 17 La méthode des quotients différentiels est aussi bien utilisée dans la théorie des équations elliptiques (voir [36], [16]) que dans celle de la régularité en calcul des variations (voir [71], [37] et aussi [58] ou` elle est utilisée de manière particulièrement astucieuse). D’un point de vue technique, dans la théorie de De Giorgi, on s’efforce en général d’estimer la mesure de Lebesgue d’ensembles de niveau d’une solution u : |{x ∈ Ω : u(x) ≥ k}| ou de f(u) pour une fonction f bien choisie (souvent une fonction puissance, ou une fonction “troncature” max(u, k)). Cette estimation a souvent lieu en termes de normes de ∇u, notamment ||∇u||Lp . L’inégalité de Sobolev y joue un rˆole fondamental. Rappelons ici cette inégalité. Pour tout u ∈ W 1,p 0 (Ω), p < n, on a ||u||Lp? (Ω) ≤ C||∇u||Lp(Ω) , ( 1 p ? = 1 p − 1 n ). L’inégalité de Sobolev permet en particulier un gain d’intégrabilité sur la fonction lorsqu’on peut contrˆoler son gradient. Elle est l’origine de la méthode d’itération de Moser (voir [72], et aussi [36], [59]). La manière principale de trouver des propriétés d’une solution d’un problème de calcul des variations est de comparer cette solution avec d’autres fonctions admissibles construites partir de la solution elle-même. De même, pour établir des propriétés de solution d’équations elliptiques écrites sous forme faible (i.e. ou` les dérivées d’ordre le plus élevé sont reportées sur les fonctions test), la voie principale consiste choisir de bonnes fonctions test, construites partir de ces solutions. Par exemple, la fonction max(u − k, 0)η 2 ou` η est une fonction cutt off et k ∈ Z, n’est pas loin d’apparaˆıtre dans chacun des articles cités dans cette section. Elle sert notamment majorer u. Une idée proche consiste se demander quelles sont les propriétés vérifiées par f(u) lorsque u est solution d’une équation ou d’un problème variationnel. Par exemple, l’outil principal dans la simplification par Moser [72] de la preuve du théorème originel de De Giorgi est de considérer des fonctions de la forme f(u) lorsque u est solution, et f une fonction positive convexe. Au début des années 80, des avancées notables ont été accomplies dans l’affaiblissement des hypothèses de différentiabilité sur le Lagrangien. Ainsi, la démonstration de De Giorgi a inspiré la méthode directe en régularité de Giaquinta et Giusti. Par exemple, dans l’article [33], les auteurs montrent la continuité h¨olderienne locale des solutions de problèmes variationnels. Le fait remarquable et nouveau dans cet article est qu’on ne suppose aucune hypothèse de différentiabilité sur L, car on n’utilise pas l’équation d’Euler (c’est ce qui justifie l’appellation méthode directe en régularité). On ne suppose pas non plus L convexe. En revanche, dans cet article (comme dans tous les travaux évoqués dans ce paragraphe), des hypothèses de croissance sont imposées L, en l’occurence : 

La théorie de Hilbert-Haar

Enoncé classique

Dans l’énoncé classique du théorème de Hilbert-Haar, tel qu’il est formulé au milieu des années 60, on considère un lagrangien de la forme L(x, u, κ) = F(κ), convexe sur R n. On suppose que la condition au bord φ : Γ → R vérifie une condition de pente bornée (qu’on définira ultérieurement). Alors le théorème affirme qu’il existe une fonction lipschitzienne u qui minimise I sur l’ensemble des fonctions lipschitziennes qui valent φ au bord. Ainsi énoncé, le théorème de Hilbert-Haar apparaˆıt la fois comme un théorème d’existence et de régularité. En effet, les résultats d’existence obtenus par la méthode directe assertent l’existence d’une solution dans un ensemble de fonctions de type Sobolev. Ici, on obtient une solution dans un espace de fonctions beaucoup plus régulières. Non seulement les fonctions lipschitziennes sont dérivables presque partout, ce qui donne un sens fort ∇u dans l’écriture de la fonctionnelle I, mais surtout, un minimiseur lipschitzien vérifie l’équation d’Euler-Lagrange (2), pour peu que le lagrangien F soit différentiable. C’est une première différence essentielle par rapport la méthode de De Giorgi, qui exigeait des hypotèses de croissance sur le lagrangien pour obtenir l’équation d’Euler-Lagrange. En revanche, une fois l’équation d’Euler-Lagrange établie, la méthode de De Giorgi prend le relais de la théorie Hilbert-Haar pour établir la régularité h¨olderienne, voire analytique, d’un minimiseur. La complémentarité des deux méthodes est notamment explicite dans le livre [65]. Contrairement la méthode de De Giorgi, le minimiseur obtenu ici est global (c’est-`a-dire que I(u) ≤ I(u+θ) pour tout θ lipschitzien valant 0 au bord et pas seulement pour tout θ ∈ C∞ c (Ω)). Cela est duˆ l’hypothèse essentielle qu’on s’est donnée : φ vérifie la condition de pente bornée. D’une certaine manière, la régularité qu’on impose au minimiseur la frontière se propage l’intérieur de l’ouvert. Cette propriété contraste fortement avec la notion de régularité locale qui apparaˆıt dans la méthode de De Giorgi et la théorie des équations elliptiques (voir par exemple [16], Remarque IX.26). 0.3 La théorie de Hilbert-Haar 19 0.3.2 Bref historique Le théorème de Hilbert-Haar, tel qu’on l’a énoncé dans la section précédente, est le produit de très nombreuses contributions. Le seul énoncé dont on disposait avant guerre, comme on peut le lire dans le livre de Morrey [71], concerne le cas n = 2 et un lagrangien qui ne dépend que de κ. Il affirme qu’il existe une unique fonction minimisante définie sur un domaine strictement convexe sous la condition des trois points. Cette condition est l’existence d’une constante K bornant la pente de tout plan défini par la donnée de trois points de la forme (x, φ(x)) avec x ∈ Γ. Il est équivalent la condition de pente bornée (définie dans la section suivante) pour n = 2. Il semble que ce soit l’article de De Giorgi [30] qui ait inspiré les premières versions du théorème de Hilbert-Haar en dimension finie quelconque. A ma connaissance, la première de ces versions apparaˆıt dans l’article de Stampacchia [84] qui utilise explicitement le théorème de De Giorgi et certaines de ses généralisations. Mais Stampacchia impose F d’être de classe C 2 et elliptique (au sens ou` les valeurs propres de sa hessienne sont > 0 en tout point) et il suppose de plus que Ω est de classe C 1,1 et que φ satisfait la condition de pente bornée et est la trace d’une fonction de W 2,p(Ω), p > n. Dans son livre [71], Morrey présente une amélioration du résultat de Stampacchia et livre un énoncé semblable celui qu’on a donné au début de la section 0.3.1, ceci près que Ω est supposé strictement convexe (cela dit, on n’a pas su voir dans la preuve ou` cette hypothèse était déterminante). La référence la théorie de De Giorgi reste évidente. Il semble que Morrey n’ait pas eu connaissance de l’article de Miranda [69] qui, le premier, donne son autonomie la théorie de Hilbert-Haar par rapport la théorie de De Giorgi. Pour la première fois également, on s’aper¸coit que la convexité de l’ouvert n’a pas besoin d’être une hypothèse explicite. Cela dit, Miranda suppose encore son lagrangien C 2 et strictement convexe, même si ces hyptohèses ne sont pas incontournables dans sa preuve. (En fait, Miranda s’intéresse particulièrement au cas du lagrangien F(κ) := p 1 + |κ| 2 qui ne peut être traité par le théorème de De Giorgi, et qui est évidemment C 2 et strictement convexe). La démonstration de Miranda est fondée sur une idée utilisée avant guerre, qui est une forme de principe du maximum sur le gradient. On y reviendra en détails dans la section 0.3.6.3. Hartman et Stampacchia [47] s’inspirent de cette même idée pour obtenir des théorèmes d’existence dans l’ensemble des fonctions lipschitziennes pour des équations elliptiques. Il propose aussi la version finale du théorème de HilbertHaar (i.e. celle du début de la section 0.3.1). L’histoire du théorème de Hilbert-Haar paraˆıt s’assoupir pendant plus de vingt-cinq ans. Cependant, au début des années 2000, un article de Cellina [24] introduit le théorème de Hilbert-Haar dans un contexte différent et en modifie la philosophie. De théorème d’existence dans l’ensemble des fonctions lipschitziennes, le problème devient une question de régularité pure : quand un minimiseur dans l’ensemble des fonctions de type Sobolev est-il lipschitzien ? De plus, le cas de lagrangiens valeurs éventuellement +∞ est envisagé pour la première fois. L’irruption des espaces de Sobolev dans la théorie est consacrée ensuite par trois articles de Mariconda et Treu [62], [61], [63] (voir aussi [85]). L’article [61] répond la question de Cellina tandis que [62] réécrit le premier Chapitre de [37] dans le cadre des espaces de Sobolev, en utilisant un langage très éclairant pour signifier les inégalités vérifiées presque partout la frontière 20 Introduction par des fonctions de type Sobolev. Ce langage apparaˆıt déj`a chez [84] et de manière plus importante encore dans le livre [36]. Enfin, la contribution la plus récente dans la théorie Hilbert-Haar apparaˆıt dans l’article de Clarke [28]. Tout en utilisant les développements récents, elle insuffle plusieurs idées nouvelles qui ont largement inspiré les Chapitres 2 et 3 de cette thèse. Pour comprendre l’intérêt de cette contribution, et celui de ces deux chapitres, il importe de faire deux reproches au théorème de Hilbert-Haar traditionnel. D’abord, la condition de pente bornée peut être très restrictive, comme on le verra dans la section suivante. Ensuite, la forme du lagrangien (qui ne dépend que de la variable κ) est également très restrictive. On y reviendra dans la section 0.3.4. 0.3.3 La condition de pente bornée On dit que φ vérifie la condition de pente bornée de constante Q > 0 si pour tout y ∈ Γ, il existe ζ ± y ∈ Rn, |ζ ± y | ≤ Q tels que : φ(y) + hζ − y , x − yi ≤ φ(x) ≤ φ(y) + hζ + y , x − yi ∀x ∈ Γ. Ainsi, la condition de pente bornée signifie qu’on peut encadrer la fonction φ sur Γ par deux familles de fonctions affines, dont chaque élément co¨ıncide avec φ en un point de Γ. Historiquement, il semble que cette condition apparaisse avant guerre dans le cas n = 2 dans les travaux de Rado, puis seulement après guerre, en dimension finie quelconque dans un article d’Hartman et Niremberg [46]. La terminologie suivante y est employée. On considère R n × R muni des coordonnées (x1, .., xn; z) et on appelle l’axe des z l’axe vertical. On dit qu’un sous-ensemble A1 de R n × R est au-dessus d’un sous-ensemble A2 si pout tout couple (x; z1) ∈ A1, (x; z2) ∈ A2, ayant la même “abscisse” x ∈ R n, on a l’inégalité z1 ≥ z2. On définit symétriquement la notion “être au-dessous”. La pente d’une hypersurface de R n×R est la valeur absolue de la tangente de l’angle entre sa normale et l’axe vertical. Pour donner une expression analytique de cette pente, on peut considérer une hypersurface d’équation z = z(x), x ∈ D ou` D est un ouvert de R n et z est une fonction C 1 . Une normale unitaire cette hypersurface en (x, z(x)) est ( ∇z p 1 + |∇z| 2 , −1 p 1 + |∇z| 2 ). Si θ désigne l’angle entre la normale et l’axe vertical, on a | cos θ| = 1/ p 1 + |∇z| 2 et la pente est donc par définition |tan θ| = √ 1 − cos2 θ/| cos θ| = |∇z|. Dans l’article d’Hartman et Niremberg [46], on considère un ouvert convexe borné Ω de R n et une fonction continue z sur Ω¯. Cette fonction z définit l’hypersurface S d’équation z = z(x), x ∈ Ω¯ et S 0 sa frontière. On introduit l’hypothèse suivante : il existe Q > 0 tel que par tout point de S 0 , il passe deux hyperplans de pente Q tel que S 0 est au-dessous de l’un et au-dessus de l’autre. Explicitons cette propriété : soit y ∈ Γ = ∂Ω. Alors (y, z(y)) ∈ S 0 . Il existe deux hyperplans H± y d’équation z = z ±(x), avec |∇z ±| ≤ Q qui co¨ıncident avec S 0 en (y, z(y)) et qui encadrent S 0 au sens z −(x) ≤ z(x) ≤ z +(x) ∀x ∈ Γ. 0.3 La théorie de Hilbert-Haar 21 Ceci est exactement la condition de pente bornée (même si cette appellation n’apparaˆıt pas dans l’article). Ainsi, en des termes géométriques, la condition de pente bornée signifie que la ‘courbe’ {(x, φ(x)) ∈ R n × R : x ∈ Γ} est située entre deux familles d’hyperplans (H± y ) de R n ×R dont on peut borner la pente uniformément. Le théorème d’Hartman et Niremberg ne s’inscrit pas dans un contexte de calcul des variations (il affirme que si z est C 2 sur Ω et C 1 sur Ω, ¯ si la hessienne de z possède des valeurs propres positives et négatives en tout point de Ω et a un déterminant qui ne change pas de signe sur Ω, alors sous l’hypothèse précédente sur φ, on a |∇z| ≤ Q sur Ω). L’expression bounded slope condition apparaˆıt pour la première fois dans [84]. Le premier résultat sur la bounded slope condition est affirmé par Gilbarg [35] et démontré par Miranda [69]. Il s’énonce ainsi : la restriction d’une fonction C 2 la frontière d’un ouvert uniformément convexe vérifie une condition de pente bornée. Un ouvert (qui n’est pas nécessairement de classe C 2 ) est dit uniformément convexe s’il existe  > 0 tel que pour tout x ∈ Γ, il existe un vecteur unitaire nx tel que pour tout y ∈ Ω, hnx, y − xi ≥ |y − x| 2 . (3) Il semble qu’il faille attendre les travaux d’Hartman pour qu’on prenne conscience que la convexité de l’ouvert Ω est une hypothèse déj`a contenue dans la condition de pente bornée. Plus précisément, si la fonction φ n’est pas affine et vérifie la condition de pente bornée, alors l’ouvert Ω est convexe. Les deux articles d’Hartman [43] et [45] contiennent toutes les propriétés connues des fonctions vérifiant une condition de pente bornée. Dans l’article On the bounded slope condition de 1966 [43], trois résultats importants sont avancés. Le premier relie une propriété vérifiée par φ sur le bord Γ de Ω une propriété de convexité pour des fonctions φ ± définie sur R n. Etant donné x¯ ∈ Ω et t > 0, on définit pour x ∈ R n φ ±(x) = ±θt + (1 − θ)φ(y