Résultats connus contrôlabilité et méthodes de planification existantes

Contrôlabilité

Nous utilisons L(X) et L(x) pour désigner respectivement l’algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs X1, . . . , Xm et son évaluation en un point x ∈ Ω (cf. [19]). Définition 2.1 (Condition du rang). Les champs de vecteurs de X1 . . . , Xm vérifient la condition du rang si, pour tout x ∈ Ω, on a L(x) = R n . Résultats connus contrôlabilité et méthodes de planification existantes  Théorème 2.1 (Chow). Si les champs de vecteurs X1, . . . , Xm vérifient la condition du rang et que U contient un voisinage de l’origine dans R m, alors le système (2.1) est contrôlable. Remarque 2.1. Le théorème 2.1 est connu sous le nom de théorème de Chow. Le lecteur est invité à consulter par exemple [30], [11], [55, Chapter 2], [2, Chapter 5] ou [73, Section 2.4] pour une preuve de ce théorème. Il donne une condition suffisante de contrôlabilité pour les systèmes non-holonomes. Si on suppose de plus que les champs de vecteurs X1, . . . , Xm sont analytiques, alors les hypothèses du théorème (2.1) sont aussi nécessaires (cf. [2, Section 5.5]). Une conséquence du théorème 2.1 est le résultat suivant. Corollaire 2.2. Sous les hypothèses du théorème 2.1, pour tout ouvert connexe M ⊂ Ω, deux points quelconques de M peuvent être joints par une trajectoire du système qui reste dans M. Le corollaire 2.2 nous garantit que la présence des contraintes (obstacles) dans l’espace d’états Ω ne change pas fondamentalement la propriété de contrôlabilité à condition que la connexité de Ω soit préservée. Ce résultat, dit de contrôlabilité locale, est particulièrement important en robotique. En effet, imaginons un robot évoluant au milieu d’obstacles. On se demande à quelle condition sur les obstacles le système reste contrôlable et, le cas échéant, comment trouver une trajectoire admissible reliant deux états donnés. On commence d’abord par représenter les obstacles comme des zones interdites de l’espace d’états, c’est-à-dire par un fermé F ⊂ Ω. Grâce au corollaire 2.2, il suffit que Ω\F soit connexe pour que deux points quelconques de Ω \ F soient joignables sans que le robot entre en collision avec un obstacle. Trouver une trajectoire admissible s’effectue en deux étapes : (i) trouver une courbe reliant le point initial et le point final (ce n’est en général pas une trajectoire du système non-holonome) ; (ii) approximer cette courbe par une trajectoire du système, c’est-à-dire trouver une trajectoire restant dans un voisinage tubulaire de la courbe et reliant le point initial et le point final. Cette stratégie est possible : l’étape (i) est réalisable dès que Ω \ F est connexe. Pour l’étape (ii), comme Ω \ F est ouvert, il existe un voisinage connexe M de la courbe contenu dans Ω \ F et le corollaire 2.2 garantit l’existence d’une trajectoire joignant le point initial et le point final. Par conséquent, nous supposons dans les chapitres 2, 3 et 4 que (A) la condition du rang est toujours satisfaite ; (B) les systèmes évoluent dans un environnement sans obstacles. 

Méthodes basées sur les crochets de Lie

Nous présentons dans cette section les méthodes basées sur les crochets de Lie. L’idée est d’utiliser les crochets de Lie pour engendrer toutes les directions dans l’espace tangent à Ω en chaque point. Le calcul suivant en montre le principe. Soit p ∈ R n et X1, X2 deux champs de vecteurs sur R n . Considérons la courbe γ(t) définie par γ(t) := e −tX2 ◦ e −tX1 ◦ e tX2 ◦ e tX1 (p), pour t suffisamment petit, où e tXi désigne le flot du champ Xi à l’instant t. Il est bien connu que γ(t) = p + t 2 [X1, X2](p) + o(t 2 ) (2.2) (cf. par exemple [75, pages 323-324] ou [16, page 30]). On crée la direction engendrée par le crochet [X1, X2] grâce à la commutation de flots. Les trois méthodes décrites dans cette section utilisent des techniques différentes pour reproduire ce phénomène. 2.2. Méthodes basées sur les crochets de Lie 9 2.2.1 Méthode exacte de Murray-Sastry pour les systèmes chainés Nous présentons dans cette section une méthode exacte de planification, due à R. M. Murray et S. S. Sastry [76], valide pour une classe particulière de systèmes non holonomes, appelés systèmes chainés. Cette méthode utilise des commandes sinusoïdales de fréquences entières vérifiant des conditions d’annulation particulières. Signalons au passage que l’idée d’utiliser cette famille de commandes trouve son origine dans l’article de Brockett [20]. Afin de ne pas alourdir les notations, nous avons choisi de présenter la méthode pour m = 2, c’est à dire pour les systèmes de la forme x˙ = u1X1(x) + u2X2(x), avec x ∈ R n et u ∈ R 2 . (2.3) L’idée est de contrôler d’abord une forme canonique pour les systèmes du type (2.3) et de trouver ensuite une transformation adéquate qui permet de mettre les systèmes généraux sous la forme canonique. Une forme particulièrement adaptée au problème de planification a été proposée par Grayson et Grossman dans [41]. Cette forme canonique jourera un rôle important dans la méthode générale de planification que nous présentons dans le chapitre 3 et qui fera l’objet d’un exposé plus détaillé au paragraphe 3.3.2.

Méthode par approximation nilpotente de Lafferriere-Sussmann

Nous présentons dans ce paragraphe une méthode générale de planification développée par G. Lafferriere et H. J. Sussmann dans [63]. Cette méthode est exacte pour les systèmes nilpotents. Elle fournit une solution approchée 4 dans le cas général. Cas nilpotent Rappelons qu’une algèbre de Lie engendrée par des champs de vecteurs est dite nilpotente d’ordre k si tous les crochets de Lie de longueur supérieure ou égale à k + 1 sont nuls et que ceux de longueurs k ne sont pas tous nuls. Nous supposons dans ce paragraphe que L(X) est nilpotente d’ordre k et que {X1, . . . , Xr} sont les éléments de la base Hall engendrée par {X1, . . . , Xm} 5 . Dans ce cas, on peut montrer qu’il existe r fonctions h u 1 , . . . , hu r définies sur [0, T] telles que S u (t) le flot du système (2.1) associé à la commande u s’écrit sous la forme S u (t) = e h u r (t)Xr ◦ · · · ◦ e h u 1 (t)X1 , (2.9) où e hiXi désigne le flot du champ Xi à l’instant hi . Le r-uplet (h1(·), . . . , hr(·)) est appelé coordonnées de Hall ou coordonnées exponentielles de deuxième espèce.