Vilebrequin

Modèle de référence Le système thermique que nous abordons ici est un vilebrequin d’un moteur automobile. Ce système a été déjà étudié par Flament [28] pour appliquer la technique de la synthèse modale. A travers cet exemple, nous voulons montrer la possibilité d’appliquer la méthode de réduction proposée en géométrie tridimensionnelle. La forme et les dimensions du vilebrequin sont données dans la figure 7.1. Le métal constitutif de la structure est l’acier trempé dont les caractéristiques thermo physiques sont données dans le tableau 7.1. Acier trempé Conductivité 45 [Wm-lK-1 ] masse volumique 7800 [kgm-3 ] L/r, 460 [Jkg-lK-1 ] Tableau 7.1: Propriétés thermo physiques du vilebrequin. Pour modéliser ce système, nous avons retenu des conditions aux limites de type Dirichlet sur les faces (externes) du vilebrequin ers contact avec l’environnement extérieur. Avant d’appliquer la réduction par amalgame modal, il faut d’abord disposer d’un modèle   modal pour le vilebrequin. On a alors construit un modèle modal de dimension 50, c’est à dire reposant sur 50 modes propres. Le nombre de nœuds de la discrétisation spatiale est de 4015 (2165 nœuds libres et 1850 nœuds de surface).

Le nombre de modes est relativement faible2 mais n’influe pas sur l’application de la méthode de réduction. En revanche, la simulation du système ne peut être précise qu’à partir de trois à quatre fois la dernière constante de temps calculée. On donne dans le tableau 7.2 les 50 constantes de temps du vilebrequin (dans l’ordre décroissant de leurs valeurs).

Elles sont de l’ordre de la seconde. On obtient ici des groupements de constantes de temps multiples comme (6,7), (20,21), etc. A l’heure actuelle, nous ne connaissons pas de justification théorique de ce résultat. La multiplicité des valeurs propres obtenues dans l’exemple ID du bâtiment bizone (voir §5) a été démontrée [48] et vérifiée dans d’autres travaux [13] On peut penser que la multiplicité des valeurs propres obtenues sur cet exemple est liée aux plans de symétrie du vilebrequin.

Amalgame modal

On veut réduire ici le modèle détaillé construit ci-dessus par amalgame modal. On impose simplement la dimension du modèle réduit égale à 8. A cet ordre (n=8), les valeurs de M et JÄ sont respectivement 0.01979J°Cs et 0.00029°C.Les sous-espaces d’amalgame sont donnés dans le tableau 7.3. Les modes principaux sont encadrés ¡T] et les valeurs (.) représentent les coefficients de décomposition associés aux modes. On constate que les modes principaux d’amalgame sont répartis selon toutes les dynamiques. En particulier les premier et dernier modes (V\{M) et VSQ(M)) appartiennent à l’espace des modes principaux. De plus, la répartition des modes mineurs est ici facile à interpréter: globalement chaque mode mineur est affecté au mode principal qui lui est le plus proche temporellement. On peut penser logiquement que cette partition aboutit à un bon modèle réduit et nous allons le vérifier ci-dessous avec des simulations. Les partitions obtenues lors des exemples traités précédemment (milieux homogènes par morceaux) sont moins évidentes à interpréter. 

Simulation de l’évolution thermique

Nous allons effectuer une simulation d’un cas de trempe en milieu froid du vilebrquin. E ne s’agit pas d’un problème réel de trempe en raison des fortes non-linéarités (variations de À, p, Cp et phénomènes complexes liés au changements de phases), et dans ce cas le formalisme d’état modal donné au §1 ne s’applique pas. Toutefois, à partir d’un certain instant, les gradients thermiques deviennent relativement faibles et l’hypothèse de linéarité peut être admise. C’est dans cette dernière situation que nous nous plaçons dans cette section. Les résultats qui suivent sont obtenus pour les conditions de trempe suivantes: • la température initiale du vilebrequin est 800° C (sortie du four) • la température du bain de trempe est 140° C. La dernière constante de temps T$Q étant de 1.38s, nous montrons les résultats aux deux instants suivants: • fi = 5s • t2 = 8s On donne dans les figures 7.10 et 7.11 les champs de température du vilebrequin (suivant le plan de symétrie A2B2 de la figure 7.1). Les figures 7.12 et 7.13 représentent les champs écarts (en valetir absolue) entre les modèles de référence et amalgamé. L’écart maximal observé est de VC Cet écart n’est pas grand par rapport, aux valeurs des températures à l’instant t\ qui atteignent 700°C. A l’instant t2, ces erreurs sont bien atténuées. Ces résultats montrent la faisabilité d’appliquer la méthode d’amalgame modal pour réduire un modèle thermique de grande dimension en géométrie tridimensionnelle. Ceci était prévisible car la formulation modale est standard: un modèle modal a strictement la même forme mathématique et les mêmes propriétés quelle que soit la géométrie (ID, 2D, 3D). Un outil informatique pour la visualisation de champs tridimensionnels (modes, température, champs écart, etc) serait sans doute d’une grande utilité.