Th¶Th¶eorie des processus stochastiqueseorie des processus stochastiques

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Calcul stochastique

Le mouvement Brownien

Le mouvement Brownien est une description du mouvement al¶eatoire de particules qui ne sont soumises µa aucune autre interaction que les chocs. En 1827, le biologiste Robert Brown d¶ecrit pour la premiµere fois ce ph¶enom¶ene en observant le mouvement de pollens °ottant sur l’eau. Sa description est la suivante :
† la trajectoire d’une particule entre deux chocs est une ligne droite avec une vitesse constante ;
† lorsqu’une particule rencontre une autre ou une paroi, elle est acc¶el¶er¶ee. Ceci a entrain¶ des progrµes consid¶erables dans la th¶eorie cin¶etique des gaz. La di–cult¶e r¶eside dans le fait que le mouvement est al¶eatoire et que sta-tistiquement, le mouvement est nul, il n’ya pas de mouvement d’ensemble (contrairement µa un vent ou un courant) :
† µa un instant donn¶e, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s’annule i.e. il n’ya pas de mouvement d’ensemble ;
† au cours du temps, si l’on suit une particule donn¶ee, le barycentre de sa trajectoire est son point de d¶epart.
On voit donc la di–cult¶e de caract¶eriser un tel mouvement.
En 1905 Albert Einstein donna la solution.
Il d¶emontra que ce qui caract¶erise le mouvement, ce n’est pas lapmoyenne arithm¶etique des positions < X > mais la moyenne quadratique < X2 >. Si x(t) est la position de la particule µa l’instant t, alors
< X2 >= 1 Z ¿ x2(t)dt: ¿ 0
On peut utiliser le m^eme mod¶ele lorsque le mouvement se fait par sauts discrets entre positions d¶eflnis. Ce qui se justifle par le fait qu’entre deux 12 <X2> ¿
positions on a des mouvements en ligne droite, comme par exemple la difiu- sion dans les solides. Si les xi sont les positions succ¶essives d’une particule, p 1 Xi alors < X2 >= n xi2. On peut aussi d¶eflnir la vitesse quadratique par n =1
v = ouµ ¿ est la dur¶ee sur laquelle on a evalu¶ < X2 >, qui est une caract¶eristique du mouvement, et d¶epend de l’agitation des particules (temp¶erature) et de leur mobilit¶e (coe–cient de difiusion, frottement, at-traction entre particules …). D¶eflnition 3.1.1 Un mouvement Brownien ou processus de Wiener est un processus stochastique Xt, t ‚ 0, v¶eriflant :
{ Xt0 = 0 { pour tous t0 = 0 < t1 < t2 < ¢ ¢ ¢ < tn(n 2 IN?) les variables al¶eatoires Xtk ¡ Xtk¡1 (1 • k • n) sont ind¶ependantes
{ si 0 • s • t; Xt ¡ Xs est normalement distribu¶ee avec IE(Xt ¡ Xs) = 0 et IEf(Xt ¡ Xs)2g = (t ¡ s)¾2 oµu ¾2 est la variance. Quelques propri¶et¶es du mouvement Brownien :
Prori¶et¶es 3.1.2 Soit X = (Xt)t‚0 un mouvement brownien (m.b) µa valeurs dans IRd, issu de z¶ero i.e. X0 = 0 p.s alors, pour tout x 2 IRd; Xtx = x + Xt, t ‚ 0 est un m.b issu de x .
Plus g¶en¶eralement, si H est une v.a. de loi „ sur IRd, ind¶ependante du pro-cessus X = (Xt)t‚0, alors XtH = H + Xt; t ‚ 0 est m.b de loi initiale „:
Prori¶et¶es 3.1.3 Soit X = (Xt1; Xt2; : : : ; Xtd) t ‚ 0 issu de z¶ero, alors X est un m.b si et seulement si : pour tout i 2 f1; 2; : : : ; dg; Xti est m.b r¶eel issu de z¶ero et les processus X = (Xti)t‚0 sont ind¶ependants. Une deuxiµeme d¶eflnition du m.b tr¶es utilis¶ee en calcul stochastique est la suivante : D¶eflnition 3.1.4 On dit qu’un processus continu X = (Xt)t‚0 aµ valeurs IRd est un Ft mouvement Brownien s’il est (Ft) adapt¶e et si pour tout 0 • s < t < 1 et tout u 2 IRd, IE[expfihu; Xt¡Xsig=Fs] = expf¡(t¡s)ju2j2 g: Donnons maintenant deux propositions importantes
Proposition 3.1.5 Soit X = (Xt1; Xt2; : : : ; Xtd)t‚0 un Ft mouvement Brow-nien µa valeurs IRd. Alors, pour tout 0 • s < t on a ‡ · { IEfXti ¡ Xsi=Fsg = 0 p.s i 2 f1; 2; : : : ; dg ‡i; j 2 f1; 2; : : : ; dg·
{ IE n (Xti ¡ Xsi)(Xtj ¡ Xsj)=Fso = (t ¡ s)–(i;j) p.s
Preuve :
{ On sait que IEfIE(Xti ¡ Xsi=Fs)g = IE(Xti ¡ Xsi) car Fs ‰ Ft or IE(Xt ¡ Xs) = 0 car le m.b est d’esp¶erance nulle. Donc IE(Xti ¡ Xsi)=Fs = 0. D’oµu le r¶esultat. n o { Si i = j, calculons IE (Xti ¡ Xsi)2=Fs . Du fait que Xt ¡ Xs est ind¶ependant de Fs, n o n o IE (Xi ¡ Xi)2=F = IE (Xi ¡ Xi)2
t s s t s = (t ¡ s)2 { Si i 6=j, Xti ¡ Xsi et Xtj ¡ Xsj sont ind¶ependants donc n(Xti ¡ Xsi)(Xtj ¡ Xsj)=Fs o = 0: IE Ce qui veut dire flnalement que n o IE (Xti ¡ Xsi)(Xtj ¡ Xsj)=Fs = (t ¡ s)–(i;j)p:s
Proposition 3.1.6 Soit X = (Xt)t‚0 un processus continu, µa valeurs IRd issu de z¶ero. Alors X est un Ft mouvement Brownien ssi, pour tout ‚ 2 IRd, le processus M‚t = expfh‚; Xti ¡ 12 jj ‚ jj2 tg(t ‚ 0) est une (Ft) martingale. Preuve :
Suposons que X est un m.b . ‚2
Alors IEfexph‚; Xt ¡ Xsi=Fsg = expf¡(t ¡ s) g2 . 2 2
Donc IEfexph‚; Xti=Fsg expfh¡‚; Xsig = exp( t‚ ) exp(¡ s‚ ). 2 2 g
f ‡ h tit‚2Fsg 2 fh s‚2 i ¡ 2 Ce qui donne IE exp ‚; X = exp( ¡t‚2 ) = exp ‚; Xs s‚2 . Ou encoreIEf exph‚; Xti ¡ =Fsg = expfh‚; Xsi ¡ g. 2 2
C’est µa dire IE M‚= = M‚ : ‡ · f t F‚sg s Donc le processus Mt est une Ft- martingale. En faisant le calcul inverse, on v¶erifle ais¶ement que X est un Ft mouvement Brownien.

Table des matières

1 Introduction
2 Th¶eorie des processus stochastiques
2.1 G¶en¶eralit¶es sur les processus
2.2 Notions de temps d’arr^et
2.3 Martingales
2.4 In¶egalit¶e de Doob
2.5 Th¶eor¶eme de d¶ecomposition de Doob-Meyer
2.6 Processus de Markov et semi-groupe
3 Calcul stochastique
3.1 Le mouvement Brownien
3.2 Int¶egrales stochastiques
3.2.1 Int¶egrale stochastique des fonctions ¶etag¶ees
3.2.2 Int¶egrales stochastiques relativement aux martingales
3.3 Formule d’It^o
3.4 Equations Di®¶erentielles Stochastiques
3.5 Le th¶eorµeme de Girsanov
3.6 Formule de Feynman-Kac
4 Les bases de l’homog¶eneisation
4.1 Mesure invariante
4.2 Le Trou Spectral
4.3 Le Th¶eorµeme ergodique
4.4 Equation de Poisson
5 Homog¶en¶eisation des EDP paraboliques lin¶eaires
6 Conclucion