Théorie de jauge de Poincaré

Une théorie de la gravitation

Une théorie de jauge est une théorie quantique des champs basée sur les propriétés de symétries et d’invariances des équations sous certaines transformations d’un groupe locale appelé « groupe de jauge ». Les théories de jauges produisent automatiquement des quantités conservées comme le courant, l’énergie-impulsion…etc. La construction des théories des champs en interaction peut ‘tre guidée par un principe de dynamique relié ‡ l’exigence de l’invariance de jauge locale. Dans ce chapitre, nous allons présenter une formulation « théorie de jauge » pour la gravitation sur la base du groupe de Poincaré. Nous commenÁons d’abord par un rappel sur les groupes o˘ nous introduisons la notion de groupe, le groupe de Lorentz et le groupe de Poincaré. Ensuite, nous montrons succinctement, comment reformuler l’électrodynamique comme une théorie de jauge du groupe U (1). Finalement, nous considérons la théorie de jauge du groupe de Poincaré.

Rappel sur les groupes

 Le groupe est une structure algébrique qui sert ‡ étudier les symétries et les invariances des lois physiques, et on dit qu’un groupe de transformations est un groupe de symétrie s’il laisse l’action invariante et donc laisse les lois physiques qui découlent de cette action invariantes. -En général [gi ; gk] 6= 0; si nous avons un groupe dont [gi ; gk] = 0 ce groupe est dit abélien. -Notons que le nombre des éléments d’un groupe peut ‘tre Öni ou inÖni. -L’ensemble de nn matrices réelles qui sont non singulières forment un groupe sous l’opération de multiplication matricielle. -Généralement ce groupe est noté par Gl(n; r) dans le cas des matrices réelles, l’extension complexe de ce groupe est notée par Gl(n; c): -Le sous-ensemble de Gl(n; r) contient des matrices avec det = +1 forme un autre groupe noté Sl(n; r) et son extension complexe est désignée par Sl(n; c): -Nous déÖnissons un autre groupe qui s’appel le groupe unitaire U (n) qui est constitué de n  n matrices unitaires (pour la vériÖcation en tenant en compte que le produit des matrices unitaires est unitaire), de m’me le groupe spéciale unitaire est un sous ensemble composé des matrices unitaires de det = 1:Principaux groupes de Lie -O (n) est le groupe multiplicatif des nn matrices réelles orthogonales sur R vériÖant MTM = In (groupe orthogonal) -SO (n) est le groupe multiplicatif des n  n matrices réelles orthogonales sur R vériÖant MTM = In et det M = 1 (groupe spécial orthogonal) -U (n) est le groupe multiplicatif des nn matrices complexes unitaires sur C vériÖant MM = In (groupe uni-SU (n) est le groupe multiplicatif des n  n matrices complexes unitaires sur C vériÖant MM = In et det M = 1 (groupe spécial unitaire) 

Groupe de Lorentz 

Le groupe de Lorentz est un groupe de transformations linéaires des coordonnées qui laisse l’invariance des lois de la physique et surtout la loi de propagation de la lumière dans le vide et donc l’invariance de la métrique, il inclut deux types de symétries ; -Les transformations spéciales de Lorentz. -Les rotations statiques de l’espace. DéÖnition mathématique La propriété qui caractérise le groupe de Lorentz est 8 2 L; 8(x; y) 2 M2 (x) T (y) = x T y o˘  sont 4  4 matrices réelles de Lorentz qui vériÖent  T  =   = diag(+1; 

Théorie de jauge de Poincaré

 Il est bien évident que le principe d’équivalence implique que la RG d’Einstein est invariante sous les transformations locales de Poincaré [39]. Cependant, pour construire une théorie de jauge pour la gravitation, nous procédons conformément ‡ la philosophie habituelle des théories de jauge en tenant compte que, comme montré par plusieurs expériences, en l’absence du champ gravitationnel, le groupe symétrie des interactions fondamentales est le groupe de Poincaré global. Ainsi, au lieu de considérer la symétrie de Poincaré locale comme une conséquence du principe d’équivalence, nous considérons d’abord une théorie physique invariante sous le groupe de Poincaré global et nous supposons, ensuite, que les paramètres du groupe soient des fonctions de coordonnées de l’espace-temps, pour avoir un groupe de Poincaré local. Pour rendre la théorie invariante 23 sous les transformations de Poincaré locales, nous devons introduire de nouveaux champs compensateurs. Ces nouveaux champs représentent l’interaction gravitationnelle. Dans ce paragraphe, nous nous proposons de montrer comment la transition de la symétrie globale ‡ la symétrie locale nous conduit ‡ la théorie de jauge de Poincaré de la gravitation qui contient la RG comme un cas particulier. Nous suivons la référence .