Théorie des jeux

Notions de base

Section 1 : Définitions préalables

Distinction entre jeux coopératifs et jeux non coopératifs. Aujourd’hui, il y a deux branches distinctes en théorie des jeux.

Jeux coopératifs Jeux non coopératifs

Unité d’analyse : coalition (groupes de joueurs agents individuels). La coopération résulte du fait que les agents sont tenus de signer des accords contraignant sur les stratégies mises en œuvre. La coalition forme un but commun. Les firmes forment un cartel dans le but de maximiser leurs produits joints pratiquent un jeu coopératif. Unité d’analyse : l’agent individuel recherche à maximiser son intérêt, respect règles du jeu. Si il y a compétition entre agents, le jeu ne peut avoir lieu que si les intérêts les meilleurs de chaque individu pris séparément sont en œuvre. Les firmes en situation de monopole à la Cournot sont dans un jeu non coopératif.

Distinction entre jeux à information complète et jeux à information incomplète.

Il faut introduire l’idée de structure du jeu. C’est le nombre de joueurs, les actions ou stratégies possibles, les règles et les gains. Si il y a une information pour chacun des joueurs sur l’ensemble de la structure du jeu, on est dans un jeu à information complète. Si au moins un joueur n’a pas d’informations sur un élément de la structure du jeu, on est dans un jeu à informations incomplètes. Ici, on examine que des jeux d’information complète.

 Distinction entre jeux à information parfaite et jeux à information imparfaite.

La distinction repose sur un seul élément de la structure du jeu, l’information sur les décisions prises par les autres joueurs. Si chaque joueur au moment de jouer connaît les décisions que l’autre joueur a prises antérieurement, on est dans un jeu à information parfaite. Si, au contraire, au moins un joueur n’a pas d’information sur ce qu’a joué l’autre joueur, on est dans un jeu à information imparfaite. Dans les jeux où il y a des décisions simultanées, on est dans des jeux à information imparfaite.

Distinction entre jeux dynamiques et jeux statiques.

Les jeux dynamiques sont les jeux dans lesquels l’information des joueurs évolue au cours du jeu (jeux séquentiels). Au contraire, les jeux dits statiques sont des jeux pour lesquels il n’y a aucune évolution de l’information des joueurs au cours du temps.

Présentation des jeux sous forme normale (stratégique).

Définition initiale

Un jeu sous forme normale ou stratégique est une présentation du jeu telle qu’on suppose que les joueurs jouent simultanément et disposent de la même information au moment où ils jouent. Ce sont donc des jeux à information imparfaite car les joueurs au moment où ils jouent ne savent pas où ils sont dans l’arbre de décision. C’est donc la caractéristique d’information qui est importante ici.

Définition stricte

Un jeu sous forme normale ou stratégique est défini par les éléments suivants :
= { N, S, }
Le jeu va être défini par un ensemble de joueurs dont les noms sont énumérés dans l’ensemble I.
I = { 1, 2, …, N }
Chaque joueur i, avec i N dispose d’un ensemble de stratégies . est l’ensemble de toutes les stratégies disponibles de i. Si indique une stratégie particulière choisie par je joueur i. Alors, l’ensemble des stratégies du joueur i va être la liste de toutes les stratégies disponibles pour ce joueur.
= { }
où ni est le nombre de stratégies disponibles pour le joueur i.
On pose s = ( )
La liste des stratégies choisies par chaque joueur. Cette liste est appelée profil de stratégies. Chaque joueur a une fonction de paiement, , qui assigne à chaque profil de stratégies un nombre réel (s). Chaque fonction de paiement correspond à un vecteur à N dimensions.
S = ( ) Et lui assigne un nombre réel (s)

Précisions

Bien distinguer l’ensemble des stratégies qui est l’ensemble des stratégies disponibles pour un joueur particulier i ; et un profil de stratégies s qui est une liste des stratégies particulières choisies par tous les joueurs. Normalement, on assure que chaque joueur a un nombre fini de stratégies mais cette hypothèse peut être levée, par exemple en économie industrielle quand on suppose que la firme a un choix de prix infini (non négatif). La notation { } indique un ensemble dans lequel l’ordre des éléments n’a aucune importance. La notation ( ) indique un ensemble où un vecteur dans lequel l’ordre des éléments importe. Dans un vecteur qui établira la liste des stratégies, la première stratégie sur la liste sera celle du joueur 1, puis du joueur 2, … On peut introduire dans le jeu un joueur qu’on peut appeler nature et qui sera un pseudo-joueur qui jouera aléatoirement (par exemple monopole). Dans la théorie des jeux sous forme normale ou autre, les joueurs sont rationnels, c’est-à-dire respectent l’axiomatique de la microéconomie en univers certain ou incertain. Les préférences des joueurs ont des propriétés qui permettent de traduire les issues, les solutions d’un jeu en terme numérique. Un peut désigner un nombre appelé utilité à chaque solution du jeu.