Validation du modèle de ruissellement

 Comparaison avec la solution analytique de l’approximation de l’onde cinématique

Deux approximations des équations de Saint Venant complètes sont couramment utilisées pour modéliser les écoulements de surface : les approximations de l’onde cinématique et de l’onde diffusive (cf partie 2, paragraphe 1.2.2). Le modèle implémenté dans Cast3M utilise l’approximation de l’onde diffusive. Malheureusement, cette équation ne présente pas de solution analytique. En revanche, l’équation de l’onde cinématique a une solution analytique dans un cas simple monodimensionnel [Eagleson, 1970]. Pour évaluer notre modèle de ruissellement, les résultats de notre modèle sont comparés à cette solution analytique. On simule la réponse d’une surface imperméable monodimensionelle (type surface goudronnée) à un événement pluvieux de durée finie. Le domaine considéré a une longueur de 183 mètres, une pente de 0.0016 et un coefficient de Manning de 0.025 sm−1/3 . Une pluie d’intensité 1.4 × 105ms−1 et d’une durée de 30 minutes est imposée à la surface du domaine. L’influence des discrétisations spatiale et temporelle est étudiée. La figure 2.1 compare la solution analytique de l’onde cinématique et deux hydrogrammes simulés avec deux pas de temps différents (1 seconde et 10 secondes) et un nombre de mailles fixe (10 mailles). La figure 2.2 présente cette même solution analytique et deux hydrogrammes simulés avec le même pas de temps (1 seconde) mais deux discrétisations spatiales différentes (10 et 100 mailles). Ces figures montrent que l’accord entre les hydrogrammes simulés et la solution analytique de l’onde cinématique est bon. Les parties montantes et descendantes de l’hydrogramme sont très bien représentées par notre modèle de ruissellement. En revanche, le pic de ruissellement n’est pas très bien décrit. Comme prévu, notre approche de modélisation approche de façon plus douce le pic de ruissellement que l’approximation de l’onde cinématique. Ceci est lié au fait que l’on introduit un terme diffusif à l’équation de l’onde cinématique pour obtenir l’équation de l’onde diffusive. Ruissellement bidimensionnel sur une surface de type « livre ouvert »’ 1000 m 800 m Axe de symétrie Canal Pente = 0.05 Pente = 0.02 20 m Fig. 2.3 – Représentation schématique de la géométrie de type « livre ouvert » de [Di Giammarco et al, 1996]

Description du cas test

Le problème considéré dans cette partie est un problème de ruissellement pur bidimensionnel généré par une pluie sur une surface de type « livre ouvert », comme présenté Fig 2.3. 82 Chapitre 2. Validation du modèle de ruissellement Ce cas test a été présenté la première fois par di Giammarco et al [Di Giammarco et al, 1996] et fait aujourd’hui figure de cas test de référence pour la validation des modèles de ruissellement (e.g. [Kollet et Maxwell, 2005], [Vanderkwaak, 1999] ou [Panday et Huyakorn, 2004]). Dans son article, di Giammarco développe un modèle de ruissellement basé sur l’équation de l’onde diffusive et l’équation de Manning. Il résout cette équation par la méthode numérique dite des éléments finis avec volumes de contrôle et compare ses résultats aux résultats obtenus par le module de ruissellement du modèle SHE de Abbott et al [Abbott et al, 1986a] [Abbott et al, 1986b]. Les modèles comparés dans [Di Giammarco et al, 1996] couplent de façon externe les écoulements de surface et les écoulements dans les canaux. Dans leur domaine de calcul, le canal se situe 1 mètre sous le niveau des pentes et les écoulements d’eau du canal vers les pentes ne peuvent donc pas être modélisés. Notre approche de modélisation, plus générale, utilise la même équation pour modéliser les processus de ruissellement et d’écoulements dans les canaux. Il y a donc continuité entre le canal et les pentes.

 Résultats

La figure 2.4 montre que le flux simulé avec notre approche de modélisation est en accord avec ceux simulés par les deux autres modèles. Cela signifie qu’à la fois notre modèle de ruissellement mais aussi notre condition à la limite permet de représenter de façon correcte le processus de ruissellement. De plus, ces résultats confirme que l’on peut utiliser le même formalisme mathématique pour décrire les écoulements de surface (ruissellement) et les écoulements dans les canaux. Cette approche intégrée permet d’éliminer les couplages externes employé dans les modèles de di Giammarco et al ou dans le modèle 84 Chapitre 2. Validation du modèle de ruissellement SHE. La figure 2.5 montre qu’il y a continuité des hauteurs de lame d’eau entre les pentes et le canal. Ces hauteurs de lame d’eau ne sont pas représentées dans l’article de Di Giammarco. En revanche, elles le sont dans les travaux de VanderKwaak [Vanderkwaak, 1999]. Les hauteurs de lame d’eau simulées avec notre outil sont légèrement supérieures à celle simulées par le modèle INHM de VanderKwaak. Elles restent néanmoins dans le même ordre de grandeur. Les équations utilisées par VanderKwaak sont les mêmes que celle que l’on utilise mais l’implémentation numérique (notamment de la condition à la limite en sortie) et les outils de résolution sont différents. L’ensemble de ces différences dans les modèles peut expliquer la légère différence dans les résultats.