Analyse des post – tests (proposés aux élèves)

Dans ce qui suit, et dans l’objectif d’évaluer1 notre ingénierie didactique qui représente l’objet principal de notre recherche, nous menons une étude à travers un test proposé à des élèves de troisième année (sections sciences expérimentales et mathématique). Le premier échantillon considéré est un groupe d’élèves d’une classe ordinaire. Le deuxième est celui de la classe de troisième Math de l’enseignante « M » qui a profité des deux séances d’apprentissage de deux heures sur l’introduction de la notion de continuité avec les TIC que nous avons déjà filmées. I. Analyse a priori du test 1) Conception et conformité avec le domaine de travail associé au niveau de conception visé Le test2 est composé de six questions dont l’objectif est d’évaluer chez les élèves : Les différentes registres de représentations (langagières, graphiques, formelles …) du concept de continuité, La présence des aspects « local » et « global » de ce concept, L’usage (implicite et/ou explicite) du caractère « outil » de la notion de continuité, La mobilisation des connaissances des élèves sur la notion de continuité. Dans la conception des différentes tâches proposées dans ce test, nous avons tenu compte du niveau de conceptualisation visé et du domaine de travail associé dont nous avons parlé au chapitre IV (relief sur la notion de continuité) : la disponibilité de la définition formelle de la continuité (question 1), la flexibilité entre les différents registres de travail de cette notion, l’aspect local de la continuité, la disponibilité de la définition formelle comme outil (questions 5 et 6), le type de raisonnement (entrée dans le raisonnement par condition suffisante caractéristique de l’analyse infinitésimale).

Objectifs et réponses attendues

(1) Pour la question 1 : « Ce qu’est une fonction continue. Donner si c’est possible plusieurs définitions » C’est une question de restitution simple de connaissances. La notion de continuité a été introduite en classe de troisième à la manière proposée par le manuel scolaire à travers un scénario basé sur les quelques activités en essayant d’approcher la définition formelle en partant d’un exemple simple d’une fonction affine par intervalles et en articulant les cadres graphique, algébrique …, et faisant appel à différents registres de représentation sémiotique (symbolique, langue naturelle, …) Donc, les réponses attendues sont des différentes formulations de la définition de la continuité : – La définition formalisée quantifiée en β et α, – La définition formelle quantifiée avec les voisinages (ou les intervalles ouverts centrés) du type « … pour tout J, il existe I tel que 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 … » – Une caractérisation graphique (tracé continu, pas de rupture, …) – Appel aux théorèmes reliant les concepts de « limite » et « continuité » (la limite égale à l’image, continue à gauche et à droite …) (2) la question 2 : « Vrai » ou « Faux » avec justification demandée, elle porte sur la continuité en 0 de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = √𝑥² − 1 𝑠𝑖 𝑥 ∈] − ∞, −1[∪]1, +∞[ 𝑒𝑡 𝑓(0) = 2 L’appartenance d’un réel 𝑥0 au domaine de définition d’une fonction f est une condition insuffisante pour évoquer la question de continuité de f, l’élève doit comprendre que f doit être définie dans un intervalle ouvert contenant 𝑥0 pour aborder la continuité qui présente un aspect local (requiert que x0 appartienne à l’adhérence de Df ). Ce qui attendu des élèves est de remarquer que la fonction f proposée n’est pas définie dans un voisinage de 0 en se basant sur son domaine de définition. Une représentation à l’aide d’un dessin de 𝐷𝑓 facilite la réalisation de cette tâche.

 Analyse des tests proposés à un groupe d’élèves qui ont profités d’un apprentissage dans l’environnement TIC

vers une évaluation cognitive de notre ingénierie Comme nous l’avons dit au début, une des étapes de notre ingénierie didactique proposée dans cette recherche est la réalisation et l’enregistrement de séances d’enseignement et apprentissage sur l’introduction du concept de continuité pour des groupes d’élèves de troisièmes années sections sciences expérimentales et mathématiques, et dans l’intention de faire le suivi et l’évaluation de notre ingénierie, nous estimons qu’un test proposé à ces élèves qui ont profité de telles séances basées sur le logiciel « TIC_Analyse », nous permettra de voir (chez eux) les définitions retenues, la représentation et coordination dans différents registres (en particulier algébrique, graphique, numérique, formel) et dans différents paradigmes de l’analyse standard (calculatoire – « théorème généraux », Analyse réelle « définition formalisée »). Ce test nommé « questionnaire aux élèves de 3ème année secondaire (sections scientifiques) » est le même qui a été proposé à un groupe d’élèves de classes ordinaires en vue d’une étude comparée faisant partie de l’évaluation externe de notre ingénierie. La passation de ce test a été faite la première semaine du mois de décembre 2016 où les élèves ont déjà terminé les deux chapitres intitulés « continuité » et « limites et continuité » (ils se préparent déjà aux devoirs de synthèse). Dans ce qui suit, nous allons essayer de présenter les résultats de ce test accompagnés d’une analyse peu détaillée des éléments de réponses ainsi relevées. Le groupe d’élèves considéré comme échantillon sur lequel porte cette étude est la classe de l’enseignante « M » et, ainsi le nombre de tests récupérés est 14. La durée du test était d’une heure. (1) Pour la question 1 : « Ce qu’est une fonction continue. Donner si c’est possible plusieurs définitions » Nous avons relevé les différentes variétés3 de réponses suivantes : Définition formelle (donnée par dix (10) questionnés)