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Angles d’Euler

On définit aussi le groupe 𝑆𝑂(3), ou groupe spécial orthogonal, par : 𝑆𝑂(3) = {𝑀 ∈ 𝑂 3×3 ||𝑀𝑇𝑀 = 𝐼𝑛 et det(𝑀) = 1} On définit le groupe 𝑠𝑂(3), ou groupe des matrices antisymétriques, par : 𝑠𝑂(3) = {𝑀 ∈ 𝑂 3×3 |𝑀𝑇 = −𝑀} On décrit une rotation dans l’espace à trois dimensions en utilisant les angles d’Euler (𝜓, 𝜃,𝜑) par le passage d’un système de coordonnées 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) à un sytème de coordonées 𝐵(𝑋 ′ , 𝑌 ′ , 𝑍 ′ ) effectuant trois rotations successives comme le montre la figure 2.08 :  La précession qui est le changement graduel d’orientation de l’axe de rotation d’un objet est la rotation de l’angle 𝜓 ;  La nutation qui est un balancement périodique de l’axe de rotation est la rotation de l’angle 𝜃 ;  La rotation est la rotation propre de l’angle 𝜑 autour de l’axe 𝑂𝑍 ′ . Angles d’Euler

Position et orientation de l’hélicoptère

Le principal inconvénient sur l’utilisation d’un cadre de référence du corps fixe 𝐶𝑥𝑦𝑧 attaché à l’hélicoptère montre l’incapacité d’exprimer la position et l’orientation de l’hélicoptère par rapport à ce cadre du corps fixe. La position et l’orientation des corps rigides sont définies par rapport aux cadres de référence inertielle fixe. 57 Par conséquent, les équations de position et l’orientation de l’hélicoptère seront les dérivées relatives au cadre de référence de la terre inertielle fixe. Le système cartésien droitier 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′ est le premier défini comme le cadre de référence de la Terre-fixe. Dans des temps spécifiques, la direction de l’hélicoptère est décrite par l’orientation du cadre du corps fixe relative au cadre de référence de la Terre-fixe. L’origine de ces cadres est le CG de l’hélicoptère. A l’instant 𝑡 = 0 le CG de l’hélicoptère coïncide par l’origine du 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′. La position initiale de l’hélicoptère est décrite par le châssis 𝐶𝑥1𝑦1𝑧1 qui est alignée avec 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′. L’orientation finale de l’hélicoptère au moment 𝑡 est décrite par le châssis du corps fixe 𝐶𝑥𝑦𝑧. La figure 2.09 montre les schémas de la dérivation de l’orientation de l’hélicoptère. Orientation de l’hélicoptère 58 A tout instant, l’orientation de l’hélicoptère peut être obtenue en effectuant les trois rotations consécutives relatives au châssis terrestre fixe ; les rotations sont effectuées dans une commande précise, elles ne peuvent pas être considérées comme vecteurs, et ne sont pas commutatives. Par conséquent, le sens de rotation est important pour la qualité, comme suit :  rotation inverse d’un angle Ψ autour de l’axe 𝐶𝑧1 (angle du lacet avec – 𝜋 ≤ 𝜓 ≤ 𝜋). Cette rotation conduit l’hélicoptère avec la position décrite par 𝐶𝑥2𝑦2𝑧2, en portant 𝐶𝑥2 parallèle au plan 𝐶𝑥𝑧2 [2.05].  rotation inverse d’un angle 𝜃 autour de l’axe 𝐶𝑦2 (angle du tangage avec − 𝜋 2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 ). Cette rotation fait bouger l’hélicoptère avec la position décrite sur 𝐶𝑥3𝑦3𝑧3, en alignant 𝐶𝑥3 avec l’axe 𝐶𝑥.  rotation inverse d’un angle Θ de l’axe 𝐶𝑥3 portant les axes pour leur direction finale 𝐶𝑥𝑦𝑧 (angle du roulis avec −𝜋 ≤ 𝜓 ≤ 𝜋).

Matrices de rotation

Définition 2.05 : Le mouvement d’un système de coordonnées 𝐵 par rapport à un système de coordonnées 𝐸 est appelé rotation simple de 𝐵 vers 𝐸 s’il existe une droite 𝐿𝑎𝑟, appelée axe de rotation, dont l’orientation par rapport à 𝐵 et 𝐸 reste inchangée entre le début et la fin du mouvement. La position de l’hélicoptère peut être calculée en dérivant la vitesse des composantes en même temps. Soit 𝐼 ̂,𝐽̂,𝐾̂ désignent les vecteurs unitaires des 𝐶𝑥𝑦𝑧, 𝐼′ ̂,𝐽′ ̂, 𝐾̂′ vecteurs unitaires de 𝑂𝑥′𝑦′𝑧′ , et 𝐼 ̂,𝐽̂, 𝐾̂, vecteurs unitaires des cadres 𝐶𝑥 𝑦 𝑧 , quand 𝑖 = 1, 2, 3. La vitesse linéaire de l’hélicoptère relative au châssis 𝐶𝑥𝑦𝑧 et relative au châssis de la Terre-fixe est respectivement [2.06] : 𝑣 𝑙 = 𝑢𝐼 ̂ + 𝑣𝐽̂ + 𝑤𝐾̂ (2.16) (a) 𝑣𝑙 ⃗⃗ = 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡 𝐼′ ̂ + 𝑑𝑦′ 𝑑𝑡 𝐽′ ̂ + 𝑑𝑧′ 𝑑𝑡 𝐾̂′ (b) 59  L’unité des vecteurs du cadre de référence du corps fixe 𝐶𝑥𝑦𝑧 est écrite relative au cadre 𝐶𝑥3𝑦3𝑧3 comme [2.07]: 𝐼 ̂ = 𝐼 ̂ 3 𝐽̂ = cos ∅ 𝐽̂ 3 + sin ∅𝐾̂3 𝐾̂ = − sin ∅ 𝐽̂ 3 + cos ∅𝐾̂3 (2.17) Ainsi, la matrice de rotation autour de l’axe de roulis est exprimée par l’équation : 𝑅𝑥,∅ = ( 1 0 0 0 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑖𝑛∅ 0 −𝑠𝑖𝑛∅ 𝑠𝑖𝑛∅ ) (2.18)  L’unité des vecteurs du cadre 𝐶𝑥3𝑦3𝑧3 est exprimée relative au cadre 𝐶𝑥2𝑦2𝑧2 comme : 𝐼 ̂ 3 = cos 𝜃 𝐼 ̂ 3 − sin 𝜃 𝐾̂2 𝐽̂ 3 = 𝐽̂ 2 𝐾̂3 = sin 𝜃 𝐼 ̂ 2 + cos 𝜃 𝐾̂2 (2.19) Ainsi, la matrice de rotation autour de l’axe de tangage est exprimée par l’équation : 𝑅𝑦,𝜃 = ( 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃 0 1 0 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 ) (2.20)  Enfin, l’unité des vecteurs du cadre relatif 𝐶𝑥2𝑦2𝑧2 au 𝐶𝑥1𝑦1𝑧1 est exprimée comme suit : 𝐼 ̂ 2 = cos ᴪ𝐼 ̂ 1 + sin ᴪ 𝐽̂ 1 𝐽̂ 2 = sin ᴪ𝐼 ̂ 1 + cos ᴪ 𝐽̂ 1 𝐾̂2 = 𝐾̂1 (2.21) Ainsi, la matrice de rotation autour de l’axe du lacet est exprimée par l’équation : 𝑅𝑧,𝜓 = ( 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑖𝑛𝜓 0 −𝑠𝑖𝑛𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜓 0 0 0 1 ) (2.22) 60 En substituant (2.17) à (2.21) à (2.16a) et en assimilant avec (2.16b), les équations algébriques suivantes sont obtenues pour la vitesse des composantes de l’hélicoptère relatives au châssis terrestres fixes : 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡 =∪ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜓 + 𝑉 (𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑜𝑠𝛷 𝑠𝑖𝑛𝜓 ) + 𝑊(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑠𝑖𝑛 𝛷𝑠𝑖𝑛𝜓) 𝑑𝑦′ 𝑑𝑡 = 𝑈𝑐𝑜𝑠𝜃 𝛩𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑣 (𝑠𝑖𝑛𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑐𝑜𝑠𝛷 𝑐𝑜𝑠𝜓) + 𝑊(𝑐𝑜𝑠𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑠𝑖𝑛 𝛷𝑐𝑜𝑠𝜓) 𝑑𝑧 ′ 𝑑𝑡 = − ∪ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑉 𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑊 𝑐𝑜𝑠 𝛷 𝑐𝑜𝑠𝜃 (2.23) En conséquence, la matrice de rotation 𝑅 qui décrit le passage du système de coordonnées 𝐸 au système de coordonnées 𝐵 devient : 𝑅 = 𝑅𝑥,∅𝑅𝑦,𝜃𝑅𝑧,𝜓 𝑅 = ( 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅ 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛∅ + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠∅𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠∅ + 𝑠𝑖𝑛∅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 −𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛∅ + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠∅ −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠∅ ) Cette matrice de rotation appartient donc au groupe des matrices spécial orthogonal car on a : 𝑂(3) = {𝑅 ∈ 𝑅 3𝑥3 |𝑅 𝑇𝑅 = 𝐼3 𝑒𝑡 det(𝑅) = 1} La matrice transposée 𝑅 𝑇 représente la matrice de passage du référentiel 𝐸 au référentiel 𝐵. Par conséquent, les coordonnées de la position du CG de l’hélicoptère sont obtenues en intégrant (2.23). Dues à la complexité d’intégration, les équations (2.23) sont souvent linéarisées pour des simples résultats.

Cinématique de translation de l’hélicoptère

La cinématique de translation exprime la relation entre le vecteur de la position du CG notée : 𝑝(𝑡) = [𝑥 𝑦 𝑧] 𝑇 et le vecteur de la vitesse linéaire du CG noté : 𝜈(𝑡) = [𝑢 𝑣 𝑤] 𝑇 . Ainsi, l’équation matricielle de la cinématique de translation de l’hélicoptère s’écrit [3.07]: 𝑝̇(𝑡) = 𝑅 𝜈(𝑡) 61 Soit ( 𝑥̇ 𝑦̇ 𝑧̇ ) = 𝑅 ( 𝑢 𝑣 𝑤 )

Cinématique de rotation de l’hélicoptère

La cinématique de rotation exprime la relation entre les angles d’Euler noté : 𝜂(𝑡) = [𝜙 𝜃 𝜓] 𝑇 et les composantes du vecteur vitesse noté : 𝜔(𝑡) = [𝑝 𝑞 𝑟] 𝑇 . 2.6.5.7 Orientation de l’hélicoptère par rapport à la vitesse angulaire L’orientation de l’hélicoptère est exprimée par rapport à la vitesse angulaire notée [2.08]: 𝜔(𝑡) = [𝑝 𝑞 𝑟] 𝑇 du cadre de référence du corps fixe entre 𝐸 et 𝐵 et exprimé dans 𝐵. On suppose que l’intervalle du temps infinitésimal de l’hélicoptère est soumis à trois rotations infinitésimales dᴪ, dΘ et dΦ résultant dans une position définie par les angles d’Euler ᴪ + d ᴪ, Θ + d Θ et Φ + dΦ. Les rotations finies ne pouvant pas être traitées comme des vecteurs, alors les rotations infinitésimales sont considérées comme des vecteurs. Le vecteur qui représente la rotation infinitésimale est exprimé par la relation : 𝑛̂ = dΦ Î + d𝜃 J ̂ 3 + dᴪK̂2 (2.24) La vitesse angulaire est : 𝜔⃗ = 𝑑𝑛⃗ 𝑑𝑡 = 𝛷Î ̇ + 𝜃̇𝐽̂ 3 + ᴪ̇𝐾̂2 (2.25) L’unité des vecteurs du cadre 𝐶𝑥3𝑦3𝑧3 est exprimée par rapport à l’unité des vecteurs du cadre de référence 𝐶𝑥𝑦𝑧 , alors il vient : 𝐼 ̂ 3 = 𝐼 ̂ 𝐽̂ 3 = cos Φ 𝐽̂ − sin Φ 𝐾̂ 𝐾̂3 = sin Φ 𝐽̂ + cos Φ 𝐾̂ (2.26) L’unité des vecteurs du cadre 𝐶𝑥2𝑦2𝑧2 est exprimée par rapport à l’unité des vecteurs du cadre de référence 𝐶𝑥3𝑦3𝑧3 comme suit : 𝐼 ̂ 2 = cos𝜃I ̂ 3 + sin𝜃K̂3 𝐽̂ 3 = 𝐽̂ 2 𝐾̂2 = sin𝜃I ̂ 3 + cos𝜃K̂3 .