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Minimisation des fonctions convexe

L’objectif de cette partie est d’amener peu à peu les lecteurs dans le  » vif du sujet » de la théorie de la commande optimale. On traitera essentiellement les outils de base qui nous permetteront d’étudier les conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité dans un cadre abstrait.
Définition 1.3.1. Une suite fungn dans un espace de Hilbert H est dite faiblement conver-gente vers u dans H si lim (un; v)H = (u; v)H pour tout v dans H. Il est clair que la limite faible u de la suite fungn est unique. De la même maniére, on dit que la suite fungn est faiblement bornée si j(un; v)H j est bornée pour tout v dans H.
Théorème 1.3.1. Soit H un espace de Hilbert et soit D un sous ensemble de H dense et dénombrable. Si fungn est une suite bornée dans H, alors elle est faiblement convergente.
Tout espace muni d’une semi norme et qui admet un sous ensemble dénombrable et dense est dit séparable. Le théorème 1.3.1 montre que tout ensemble borné dans un espace de Hilbert séparable est séquentiellement relativement faiblement compact. Ce résultat existe dans tout espace de Banach reflexive, mais tout les espaces de fonctions qu’on va considérer ici sont des espaces de Hilbert séparables, donc le théorème 1.3.1 est suffisant pour la suite.
A partir de maintenant, on désigne par H un espace de Hilbert et par U un sous ensemble non vide de H et par J (¢) une fonction définie de U dans R. On rappelle que l’espace H est faiblement (sequentiellement) compact. Il vaut mieux considérer des sous ensembles de U qui posséde cette propriété. Donc, U est dit faiblement (sequentiellement) fermé si la limite de toute suite dans U converge faiblement dans U. Il est bien de savoir que la convergence forte (en norme) implique la convergence faible et qu’un ensemble faiblement fermé est necessairement fermé.
Définition 1.3.2. Un ensemble U dans un espace vectoriel H est dit convexe, si pour tout u, v dans U et pour tout ¿ compris entre 0 et 1, on a ¿ u + (1 ¡ ¿)v est dans U, i.e si toute paire de vecteurs est dans U, alors le segment qui les relie l’est aussi.
Lemme 1.3.1. Si U est fermé et convexe, alors il est faiblement fermé.
Le Lemme 1.3.1 et le Théorème 1.3.1 montrent que chaque sous ensemble fermé est faiblement séquentiellement compact. Il faut savoir que parfois on est ramené à considérer des cas où U n’est pas borné ; par suite les notions suivante sont parfois necessaires.
Définition 1.3.3. Une fonction J (¢) définie sur U à valeurs réelles est faiblement semi-continue- inférieurement en u dans U, si pour toute suite fungn dans U qui converge faiblemnt vers u dans U, on a J (u) • lim inf J (un).
Définition 1.3.4. On dit que la fonction J (¢) a la propriété de croissance en u dans U, si pour r strictement positif et pour tout v dans U tels que kv ¡ uk ‚ r, on a J (v) > J (u) : (1.3.1)
Théorème 1.3.2. Soit U un convexe fermé et soit J (¢) une fonction définie sur U à valeurs réelles et faiblement semi-continue-inférieurement pour tout u dans U, soit si (a.) U est borné soit si (b.) J (¢) vérifie la propriété de croissance dans U, alors il existe un u0 dans U tel que J (u0) • J (u) pour tout u dans U ; donc J (¢) atteint son minimum sur U.
Démonstration. Soient d = inf fJ (u) : u 2 Ug et fungn une suite dans U, tel que d = lim J (un) si (a.) est vérifiée, alors par la faible compacité séquentielle il existe une sous suite de la suite fung noté par funk g qui converge faiblement vers u0 dans H ; le lemme 1.3.1 montre que u0 est dans U. La faible continuité inférieure de J (¢) montre que J (u) • lim inf J (unk ) = d, d’où, J (u0) = d d’où le résultat. Pour le cas (b.), suposons que J (¢) a la propriété de croissance en v qui appartient à U et soit r un réel strictement positif tel que J (u) > J (v) dés que on a kv ¡ uk ‚ r et u dans U. On pose B = fu 2 V : ku ¡ v k • rg et en applique (a.) pour l’ensemble B \ U qui est un ensemble fermé, convexe et borné, d’où le résultat d’aprés l’obsevation que inf fJ (u) : u 2 Ug = inf fJ (u) : u 2 B \ Kg.
On note que si U est borné alors J (¢) à la propriété de croissance en tout les points de U ; donc le cas (b.) du théorème 1.3.2 inclus le cas (b.) comme un cas particulier.
Lemme 1.3.2. Si U est un convexe fermé, alors il est faiblement fermé.
La condition qu’une fonction soit faiblement semi-continue-inférieurement est difficile à vérifier. Cependant pour certaines fonctions qui sont convexes la semi-continuité-inférieure est la même pour la notion faible et forte, et celà peut être démontré directement d’aprés le Lemme 1.3.1.
Définition 1.3.5. Une fonction J (¢) définie sur U à valeurs réelles est dite convexe si U est convexe et si pour tout u et v dans U et ¿ compris entre 0 et 1 on a J (¿ u + (1 ¡ ¿) v) • ¿ J (u) + (1 ¡ ¿) J (v) ; (1.3.2) et si on remplace l’inégalité large par une inégalité stricte, on dit que la fonction J (¢) est strictement convexe.
Définition 1.3.6. Une fonction J (¢) définie sur U à valeurs réelles est dite différentiable au sens de Gâteaux en u qui appartenant à U, si U est convexe et si on a J0 (¢) appartient à H0 tels que lim 1 [J (u + ¿ (v ¡ u)) ¡ J (u)] = J0 (u) (v ¡ u) ; ¿!0+ ¿ pour tout v appartenant à U. Dans ce cas, J0 (¢) est appelée la differentielle au sens de Gâteaux de J (¢) au point u. Si en plus J (¢) Gâteaux différentiable on tous les points de U, alors J0 défini de U dans H0 est le gradient de J (¢) dans U. La différentielle J0 (¢) au sens de Gâteaux de J (¢) est plus précisément la dérivée directionelle de J (¢) au point u suivant la direction v.
Ce qui va suivre nous indiquera comment caractériser la convexité de J (¢).
Définition 1.3.7. Soit D un sous ensemble non vide de U, et soit J (¢) une fonction définie sur D à valeur dans V 0 (le dual de V ), on dit que J (¢) est monotone si (J (u) ¡ J (v)) (u ¡ v) ‚ 0; 8u; v 2 D; et strictement monotone si l’égualité est stricte.
Théorème 1.3.4. Soit U un sous ensemble non vide convexe et fermé d’un espace de Hilbert séparable, et soit une fonction J (¢) définie sur U à valeurs réelles et Gâteau dif-férentiable dans U, on suppose que son gradient J0 (¢) est monotone et que l’une des propriétés suivantes est satisfaite (a.) U est borné, ou (b.) J0 (¢) est coercive.
Alors l’ensemble M = fu 2 U : J (u) • J (v) pour tout v dans Ug est non vide, fermé et convexe, et u est dans M si et seulement si u 2 U : J0 (u) (v ¡ u) ‚ 0; 8v 2 U: (1.3.5)
Démonstration. D’aprés les Théorèmes 1.3.2 et 1.3.3, le Corallaire 1.3.1 et le Lemme 1.3.3, on déduit que l’ensemble M est non vide. Chaque ensemble Mv = fu 2 U : J (u) • J (v)g est fermé et convexe ainsi que leur intersection M. Si u est dans M alors (1.3.5) se déduit d’aprés la définition de J0 (u), reciproquement (1.3.3) montre que (1.3.5) implique que u est dans M.
On termine cette partie avec une condition suffusante sur l’unicité du minimum.
Théorème 1.3.5. Une fonction J (¢) définie sur U à valeurs réelles qui est strictement convexe admet au plus un minimum.
Démonstration. Soient u1 et u2 dans U tels que u1 est distinct de u2 avec J (u1) = J (u2) = inf fJ (u) : v 2 Ug :
Comme 12 (u1 + u2) est dans U, la stricte convexité de J (¢) donne ¡ ¢ J 12 (u1 + u2) < 12 (J (u1) + J (u2)) = inf fJ (v) : v 2 Ug ; qui est une contradiction.
La troisiéme partie de la démonstration du théorème 1.3.3 nous permet de donner le théorème suivant
Théorème 1.3.6. Soit J (¢) Gâteaux différentiable dans U. Si le gradient J0 (¢) est stric-tement monotone, alors J (¢) est strictement convexe.

Commande optimale d’une équation elliptique li-néaire

Introduction

Dans cette partie, on va modéliser un problème de commande optimale en introduisant une équation aux dérivées partielles de type elliptique qui est l’équation d’état du système qui admet une solution y qui est la fonction état du système, ensuite on introduit également une fonction de contrôle u, grâce à laquelle on va pouvoir agir sur le système (le contrôler ou le commander). On va justement montrer comment contrôler ce système via l’équation d’état. L’action ne doit pas se faire n’importe comment mais de manière optimale par rapport à un certain critère J (¢) (ou coût) donné, et ce qui justifie la terminologie de contôle optimal ou commande optimale. Nous allons, à présent modéliser ceci et en donnant une traduction mathématiques précise.
On commence par introduire, le problème variationnel abstrait suivant
Trouver u 2 V tel que : (Ea)
a (u; v) = hf; viV 0;V ; 8v 2 V;
où, V est un espace vectoriel de fonctions définies sur › associé à son dual V 0 et h¢; ¢i désigne le crochet de dualité entre V et son dual V 0. Ces fonctions peuvent être à valeurs scalaires (comme pour le cas du Laplacien ou vectorielles (comme pour le cas du problème de Stokes [17]). Nous nous placerons toujours dans le cas où V est un espace de Hilbert, muni de la norme k¢kV , où V est contenu dans H avec injection continue et dense ; on identifie l’espace pivot H avec son dual de telle façon à avoir V ,!H,!V0; a (u; v) est une forme bilinéaire sur V £ V , où la linéarité de a (¢; ¢) en v résulte de l’approche par des fonctions tests alors que la linéarité de a (¢; ¢) en u provient du fait que le problème de départ est linéaire et nous supposerons que f est continue sur V .
On dit que la forme bilinéaire a (¢; ¢) est continue sur V si elle satisfait la condition de continuité suivante 9 C > 0; 8u; v 2 V; ja (u; v)j • C kukV kvkV : (1.4.1) où C sera appellée constante de continuité de la forme a (¢; ¢).
On dit que la forme bilinéaire a (¢; ¢) est coercive sur V si elle satisfait la condition de coercivité suivante 9 c > 0; 8u 2 V; a (u; u) ‚ c kukV2 : (1.4.2) où c sera appellée la constante de coercivité de la forme a (¢; ¢) et on associe à la forme bilinéaire a (¢; ¢) l’opérateur A (par exemple l’opérateur elliptique), tel que que A est dans L (V; V 0) et défini comme suit a (u; v) = hAu; viV 0;V ; 8u; v 2 V; (1.4.3) où A est une bijection continue qui admet un inverse A¡1 continue.
Lemme 1.4.1 (Théorème de Lax-Milgram). Soit V un espace de Hilbert séparable muni de la norme k ¢ kV . Soit a (¢; ¢) une forme bilinéaire qui vérifie la condition de continuité (1.4.1) et la condition de coercivité (1.4.2), par suite pour tout f dans V 0 (l’espace dual de V ), le problème (Ea) est bien posé et il existe un unique y dans V telle qu’on a l’estimation suivante a (u; v) = hf; viV;V 0 ; 8v 2 V; et 8f 2 V 0; kukV • 1c kfkV 0 .

Formulation du problème de commande optimale

Pour définir le problème de commande optimale qu’on veut étudier, on doit spécifier en plus de l’espace de l’état V et de l’espace des données V 0, un espace de Hilbert U qui est l’espace de toutes les commandes et un opérateur B (dans notre cas linéaire) dans L (U; V 0), tels que pour chaque contrôle u dans U, on lui fait correspondre l’état y = y (u) solution de l’équation d’état Ay ¡ Bu = f: (1.4.4)
L’équation (1.4.4), peut s’écrire aussi sous la forme variationnelle suivante : y; v V;V 0 ¡ ( B u; v) = h f; v V;V 0; 8 v 2 V: ( e) hA i i E
Lemme 1.4.2. Pour un certain u dans U, le problème variationnel (Ee) est bien posé,i.e pour un certain u dans U, il existe une unique solution y qui vérifie l’équation variation-nelle (Ee) et qui dépend de u et de f.
Démonstration. Puisque la forme bilinéaire a (¢; ¢) est continue et coercive, d’aprés le Théo-rème de Lax-Milgram, pour un certain u dans U, il existe une unique solution de (Ee), telque kykV • C (kfkV 0 + kukV ) :
On définit également l’espace de Hilber W , comme étant l’espace des observations et l’opérateur C dans L (V; W ), tels que pour chaque état y dans V , on lui fait correspendre l’état observable Cy dans W , qu’on cherche à ramener le plus proche possible d’une obser-vation donnée et connue à l’avance yd dans W , le côut d’appliquer la commande u dans U est donné par (N u; u)U , où N est dans L (U; V 0) qui est un opérateur Hermitien (coercif) défini positif, (N u; u)U ‚ c kukU2 ; (1.4.5) où, c est une constante positive.
Par suite, on définit la fonction objectif J (¢), par l’addition d’une erreur au coût (N u; u)U , comme suit J (u) = kCy (u) ¡ ydk2V + fi (N u; u)U ; (J ) où fi est une constante positive.
On introduit maintenant Uad le domaine des commandes admissibles qui est un sous ensemble fermé convexe et non vide de U. Dans ce cas, on définit le problème de commande optimale (P) : il s’agit de minmiser la fonctionnelle (J ) sur l’ensemble Uad, soumis à l’équation d’état (Ee). de maniére équivalente le problème de commande optimale (P) est défini par u 2 Uad : J (u) • J (v) ; 8v 2 Uad: (1.4.6)
Notre objectif principal est de trouver les conditions suffisantes d’existence et si pos-sible d’unicité de la commande optimale u solution du problème (P). Il est utile de carac-tériser ces conditions sous une forme simple, qui peut fournir par la suite plus d’informa-tions. Pour atteindre notre but, on fait appel au théorème 1.3.4, afin de pouvoir calculer la differentielle de Gâteaux de J (¢), et grâce à la relation (1.4.20a).

Table des matières

Introduction 
1 Quelques notions d’analyse fonctionnelle 
1.1 Espaces de Sobolev
1.2 Théorème de représentation de Riesz
1.2.1 Notions sur les opérateurs adjoints
1.3 Minimisation des fonctions convexe
1.4 Commande optimale d’une équation elliptique linéaire
1.4.1 Introduction
1.4.2 Formulation du problème de commande optimale
2 Méthodes d’approximations spectrale 
2.1 Introduction
2.1.1 Polynômes orthogonaux
2.1.2 Polynômes de Legendre
2.2 Techniques de détermination des coefficients d’approximation
2.3 Méthode d’approximation de Galerkin
2.4 Erreur d’approximation polynomiale en dimension une
2.5 Erreur D’approximation polynomiale en dimension deux
2.6 Formules de quadrature
3 Estimations de l’erreur dans un cadre abstrait 
3.1 Introduction
3.2 Approximation de Galerkin dans un cadre abstrait
3.2.1 Analyse a priori de l’erreur
3.2.2 Analyse a posteriori de l’erreur
3.2.3 Indicateur par résidu
3.3 Représentation graphique de l’erreurs
4 Analyse numérique du probléme de commande optimale (P) 
4.1 Introduction
4.2 Approximation du problème de commande optimale (P)
4.2.1 Approximation numérique de l’équation d’état
4.2.2 Approximation numérique de la fonction objectif
Résultats numériques
4.3 Estimation d’Erreur a Posteriori
4.3.1 Estimation d’Erreur sur l’état et la commande
4.3.2 Estimation d’Erreur sur l’état, le contrôle, la fonction objectif
4.3.3 Evaluations des estimateurs d’erreurs
Résultats numériques
4.4 Conclusion et perspectives
A Autres techniques pour le calcul des conditions d’optimalité
A.1 Lagrangien et multiplicateur de Lagrange
A.2 Principe du maximum de Pontryagin
B Calcul matriciel des noeuds »j
B.1 Calcul des noeuds »j
C Estimation de l’erreur a posteriori par dualité
C.1 Introduction
C.1.1 Estimation d’erreur a posteriori dans un context général abstrait

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