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MÉTHODE DE DÉCONVOLUTION POUR L’OBTENTION DE L’INTENSITÉ

tient compte de tous les objets qui ont germé dans son voisinage. Supposons que la proportion dans un point est faible et que les proportions autour de ce point sont plus importantes. Pour respecter les proportions fortes, il sera nécessaire d’implanter beaucoup d’objets dans ces points (intensité fortement positive), mais cela se traduira par un «excès» de proportion en . Pour compenser cet effet, il faudra éliminer des objets :
la valeur de l’intensité en sera négative. Cet effet est d’autant plus marqué que les objets sont grands et la proportion variable, puisque le domaine d’influence des objets est très important et qu’ils ne peuvent pas reproduire la variabilité de la proportion. On dira alors que l’objet n’est pas «adapté» aux proportions, et l’intensité présentera des valeurs négatives importantes.
La figure 5.6(a) montre l’évolution, en fonction de la taille moyenne de l’objet, de la présence des valeurs négatives, exprimée en pourcentage sur le nombre total de points. Ce pourcentage augmente, pour les deux familles d’objets, avec la taille moyenne du grain. Cette augmentation est assez rapide : elle peut passer de pour un segment de m de taille moyenne à pour un segment de m de taille moyenne. Si la taille de l’objet se réduit à 0 m, i.e. l’objet est réduit à un point, l’intensité mathématique résultante sera identique à la proportion initiale, donc sans points négatifs. Dans notre application, cependant, les objets auront toujours une certaine taille parfois assez importante.
Ce résultat est général pour toute courbe de proportion initiale. D’autres tests avec une proportion initiale très variable à petite échelle ont montré que le nombre de valeurs négatives dans le résultat de la déconvolution augmente rapidement avec la taille des grains.
La valeur moyenne de ces valeurs négatives (fig. 5.6(b)) tend à diminuer avec la taille des objets. Ceci veut dire que quand la taille des grains augmente, ceux-ci sont donc de moins en moins adaptés à la proportion initiale et l’intensité mathématique non seulement présente de plus en plus de valeurs négatives mais ces valeurs sont plus importantes en valeur absolue. Cet effet est moins marqué dans le cas où les grains sont de taille variable. La valeur moyenne expérimentale de l’intensité diminue avec la taille de l’objet (fig. 5.6(c)). En d’autres termes, pour une proportion donnée, il faut peu d’objets dans la simulation quand ceux-ci sont grands. Pour finir, la différence moyenne, en valeur absolue, entre la proportion initiale et la proportion estimée est représentée à la figure 5.6(d). Pour le cas où les objets sont de taille constante, il apparaît que la proportion estimée avec l’intensité mathématique s’éloigne d’autant plus de la proportion initiale que les objets
sont grands. Cependant, cette différence est minime, de l’ordre de , et est due principalement aux effets de bords (voir fig. 5.4). Dans le cas où la taille des objets suit une loi uniforme, la différence moyenne entre les deux proportions est pratiquement nulle. Ce test a montré que, pour un couple proportion – objet quelconque, nous pouvons calculer une intensité  mathématique qui nous permet de reconstruire la proportion initiale presque exactement. Cependant l’intensité présente le plus souvent des valeurs négatives qui peuvent être très importantes, notamment quand les objets ne sont pas «adaptés» à la proportion initiale. Ces valeurs ne sont pas acceptables comme intensité de Poisson qui est, par définition, strictement positive ou nulle.

Sensibilité au paramètre

Nous allons étudier ici l’influence sur le processus de déconvolution de la valeur choisie pour le paramètre . Les tests seront effectués sur les deux courbes de proportion utilisées précedemment, l’une peu variable et l’autre très variable à petite échelle. Seules des familles d’objets à taille constante seront utilisées. Quatre cas sont analysés :
– Cas 1 : La proportion est peu variable et l’objet est de taille constante égale à 2.5 m.
– Cas 2 : La proportion est peu variable et l’objet est de taille constante égale à 5.0 m.
– Cas 3 : La proportion est très variable et l’objet est de taille constante égale à 2.5 m.
– Cas 4 : La proportion est très variable et l’objet est de taille constante égale à 1.5 m.
Les figures 5.7 à 5.10 montrent ces exemples pour différentes valeurs du paramètre . Dans chacune de ces figures sont représentées la proportion de départ, i.e. les données, et la probabilité associée à l’objet (figure indecée (a)). Les figures (b) à (f) montrent, pour des valeurs différentes de , l’intensité mathématique obtenue et la proportion estimée correspondante (lignes de traits verts).
De façon générale, pour une proportion et un objet donnés, l’augmentation de la valeur de se traduit par l’obtention d’une intensité de plus en plus lisse, avec une plus faible présence de valeurs négatives. Le fait de prendre des valeurs fortes de , donc du rapport bruit sur signal, implique, selon notre hypothèse, qu’une partie importante de l’information contenue dans la proportion initiale est due au bruit et elle est, en conséquence, filtrée dans le processus de déconvolution. Pour cette raison, quand augmente, la proportion estimée sera de plus en plus éloignée des données de départ. Puisque pour le moment nous nous intéressons à respecter autant que possible les données de départ, la valeur de doit alors être la plus petite possible mais, dans quelle fourchette de valeurs ? Nous avons testé différentes valeurs de , choisies arbitrairement, pour avoir une idée de l’ordre de grandeur de ce paramètre. Une proportion peu variable (cas 1, fig. 5.7, et cas 2, fig. 5.8) nous permet d’utiliser des valeurs de dans une fourchette relativement large, entre 0.005 et 1, tout en respectant la proportion initiale (la différence moyenne entre la proportion initiale et la proportion estimée est de moins de 0.01). Dans le cas d’une proportion très variable à petite échelle (cas 3 et 4, fig. 5.9 et 5.10 respectivement) la fourchette des valeurs est plus restreinte, entre 0.005 et 0.1, la différence entre les proportions initiale et estimée augmentant rapidement.
Les objets interviennent aussi dans la détermination de la fourchette des valeurs de appropriées. Dans le cas d’objets de petite taille (cas 1 et 4), la différence entre la proportion initiale et la proportion estimée augmente très rapidement avec : dans le cas 1, cette différence passe de moins de 0.008 pour à 0.055 pour ; dans le cas 4, la différence passe de 0.02 à 0.085 pour la même fourchette de valeurs de . Par contre, les cas avec des objets de grande taille (cas 2 et 3) se montrent plus stables par rapport aux changements de : si celui-ci varie entre 1 et 10, par exemple, la différence entre les proportions initiale et estimée augmente de 0.004 à moins de 0.02 pour le cas 2 et de 0.043 à 0.062 pour le cas 3. Dans tous les cas, si prend des valeurs inférieures à 1 cette différence est toujours plus faible.
Il faut signaler que le fait de considérer un objet comme grand ou petit dépend de la proportion à laquelle
il est associé : si la taille de l’objet est plus grande que l’échelle de variabilité de la proportion, alors il est considéré comme grand et inversement s’il est plus petit. Ainsi le segment de longueur m est grand quand la proportion est très variable (cas 3) et petit quand la proportion est très lisse (cas 2).
Les graphiques de la figure 5.11 résument les résultats de ce test. Dans les quatre cas étudiés, le pourcentage
des valeurs négatives tend à diminuer avec (fig. 5.11(a)). Cette diminution est plus évidente pour
les cas 3 et 4, correspondant à la proportion très variable. Pour une proportion donnée, à fixé faible
le pourcentage de valeurs négatives est plus élevé si les objets sont grands. Quand est grand ( ), le
pourcentage de valeurs négatives dans tous les cas tend à se stabiliser autour de .
La valeur moyenne des valeurs négatives de l’intensité (fig. 5.11(b)) se rapproche de quand augmente, c’est-à-dire que les valeurs négatives tendent non seulement à diminuer en nombre mais aussi en valeur. Cet effet est aussi plus visible pour les cas 3 et 4 (proportion très variable). À faible ( ), les valeurs négatives sont très importantes dans ces deux cas, avec une moyenne qui peut être plus petite que , donc très importante par rapport à la valeur moyenne globale de l’intensité mathématique, qui est de l’ordre de . Dans les cas 1 et 2 (proportion peu variable), la moyenne des valeurs négatives reste assez stable et très proche de . Quand , la moyenne des valeurs négatives est pratiquement nulle, montrant.

Table des matières

Introduction
I Introduction à la théorie des ensembles aléatoires. Modèle booléen
1 Ensembles aléatoires
1.1 Ensembles fermés aléatoires (EFA)
1.2 Fonction de répartition d’un ensemble fermé aléatoire
1.2.1 Quelques propriétés des ensembles fermés aléatoires
1.2.2 Translation, dilatation, erosion
1.2.3 Mesures et transformations sur les ensembles fermés aléatoires
1.3 Ensembles fermés aléatoires stationnaires et isotropes
2 Processus de Poisson
2.1 Processus ponctuels
2.1.1 Ensemble fermé aléatoire versus mesure de comptage
2.1.2 Moments et mesures des moments
2.1.3 Stationnarité et isotropie
2.1.4 Ergodicité
2.2 Processus de Poisson
2.2.1 Processus de Poisson stationnaire
2.2.2 Processus de Poisson général : non stationnaire ou régionalisé
3 Modèle booléen
3.1 Définition du modèle booléen
3.1.1 Stationnarité, isotropie et ergodicité
3.1.2 Propriétés de stabilité
3.2 Capacité de Choquet du modèle booléen
3.2.1 Une propriété fondamentale du modèle booléen
3.2.2 Applications de la propriété fondamentale : cas stationnaire
3.3 Simulation d’un modèle booléen
II Inférence des paramètres du modèle
4 Description des variables expérimentales
4.1 Proportions
4.1.1 Proportion expérimentale d’un faciès
4.1.2 Probabilité ponctuelle associée au modèle booléen : capacité de Choquet ponctuelle
4.2 Probabilité ponctuelle associée à l’objet
4.2.1 Deux cas élémentaires : parallélépipède et demi-ellipse
4.3 Conclusions
5 Inférence de l’intensité de Poisson
5.1 Méthode de déconvolution pour l’obtention de l’intensité
5.1.1 Filtre de déconvolution : filtre de Wiener
5.1.2 Interprétation du bruit – Paramètre
5.1.3 Étude de sensibilité
5.2 Aspects pratiques
5.2.1 Traitement des valeurs négatives de l’intensité
5.2.2 Calcul du nombre d’objets à simuler
5.2.3 Définition du domaine de calcul
5.3 Conclusions. Avantages et limitations de la méthode
6 Information sur les objets
6.1 Cas stationnaire
6.1.1 Étude des variogrammes verticaux du modèle
6.1.2 Étude des variogrammes verticaux expérimentaux : indicatrices des simulations indicatrices aux puits
6.1.3 Conclusions
6.2 Cas non stationnaire
6.2.1 Étude des variogrammes verticaux expérimentaux des proportions
6.2.2 Étude des variogrammes verticaux des indicatrices aux puits
6.2.3 Conclusions
III Mise en oeuvre
7 Application à un cas fictif 3D
7.1 Description des données
7.1.1 Proportions
7.1.2 Description des objets
7.2 Obtention de l’intensité. Simulations
7.3 Analyse des composantes connexes
7.4 Résultats et conclusions
8 Application à un cas réel : Permien de l’Utah
8.1 Cadre du travail
8.1.1 Contexte géologique
8.1.2 Transect régional
8.1.3 Description des données
8.1.4 Définition de l’unité de travail
8.1.5 Calcul de la grille de proportion
8.1.6 Définition des objets
8.2 Calcul de l’intensité
8.3 Simulations
8.4 Discussion et conclusions
Conclusions
9 Conclusions et perspectives
Annexes
A Calcul de la probabilité associée à une demi-ellipse
B Convolution et corrélation
B.1 Convolution
B.2 Corrélation
C Rappels de la théorie de Fourier
C.1 La transformée de Fourier (TF)
C.1.1 Propriétés de la TF
C.1.2 Théorème de convolution
C.1.3 Formule de Parseval
C.1.4 Échantillonnage
C.2 Transformée discrète de Fourier (DFT)
C.2.1 Transformée rapide de Fourier (FFT)
D Développement du calcul pour l’obtention du filtre de Wiener
E Description du programme
Bibliographie

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