DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE POUR UN COINAR RONDIDAN

Dans le Chapitre 4, nous avons observé que pour un milieu physique absorbant, ce qui re- vient à considérer un σ possédant une partie imaginaire positive sur tout le domaine, le problème (P) devient un problème coercif. Le passage à la limite sur la dissipation, permettant d’étudier le cas d’un milieu faiblement absorbant, dépend des propriétés de (P). Lorsque ce problème est bien posé, la suite de solutions dissipatives converge vers la solution de (P) dans H(Ω). Lorsque l’interface présente un coin et qu’il existe une singularité propagative, la convergence de la suite de solutions dissipatives a également lieu mais dans le nouveau cadre fonctionnel. C’est le principe d’absorption limite que nous avons justifié dans le Chapitre 5. Ainsi, nous pouvons voir l’ajout d’un terme dissipatif dans (P) comme un procédé de régularisation.Le deuxième procédé de régularisation que nous pouvons naturellement envisager consiste à arrondir le coin. C’est ce point que nous souhaitons étudier dans ce chapitre. La problématique peut se décrire ainsi. Plaçons-nous dans une configuration pour laquelle le problème (P) n’est pas bien posé au sens de Fredholm en raison de l’existence d’une singularité propagative. Arrondissons légèrement le coin. Dans ce cas, l’interface devient régulière et le problème (P) dans cette géométrie est bien posé au sens de Fredholm. Que se passe-t-il pour un arrondi très faible ? Autrement dit, quel est le comportement de la suite des solutions, lorsqu’elles sont définies, du problème avec un coin arrondi lorsque l’arrondi tend vers 0 ? Au-delà de l’aspect mathématique, cette question présente un intérêt important pour la physique. En effet, en pratique, il est impossible de réali- ser des coins idéaux et ces derniers sont toujours arrondis. Par conséquent, la question à laquelle nous nous intéressons n’est autre que la question de l’existence physique du phénomène de trou noir.

Le problème d’asymptotique pour un coin arrondi et un opérateur elliptique a fait l’objet de nombreuses études (voir notamment [114, 73, 96] et les références utilisées). Présentons brièvement une motivation de ces travaux. Imaginons que l’on souhaite approcher par une méthode numérique la solution d’un problème elliptique dans une géométrie à coin légèrement arrondi. Dans ce cas, il se révèle très coûteux de mailler finement l’arrondi. L’idée du développement asymptotique consiste à déterminer une approximation de la solution dans la géométrie arrondie à partir de fonctions définies dans des géométries limites ne présentant pas de petit paramètre. Ainsi, on ne maille que ces géométries limites et les calculs restent raisonnables. Dans ces études, il est notamment montré que la solution dans la géométrie arrondie converge, lorsque l’arrondi tend vers 0, vers la solution dans la géométrie limite avec une vitesse qui dépend des exposants de singularité associés à la géométrie limite. Ces résultats resteront vrais pour le problème avec changement de signe que nous voulons considérer lorsque le contraste est situé en dehors de l’intervalle critique. Nous ne les dé- montrerons pas dans ce document mais les techniques que nous allons développer permettraient de les obtenir. Indiquons que ces résultats présentent un intérêt en soi. En effet, pour les technologies basées sur les ondes plasmoniques, l’on cherche à utiliser ces géométries singulières pour confiner de l’énergie au voisinage du coin ou de l’arête en 3D. L’influence de l’arrondi, observée notamment dans [74, 17, 149, 130], doit par conséquent être bien comprise pour effectuer des simulations numériques cruciales dans un domaine où les expérimentations sont coûteuses et longues à mettre en place.

Notre plan d’étude sera le suivant. Nous commencerons par présenter la géométrie du problème. Dans un second temps, dans la Section 6.1, nous rappellerons les résultats pour les géométries limites que nous avons prouvés dans le Chapitre 5. La section 6.3 sera consacrée à la démonstration d’une estimation a priori pour les solutions du problème avec un coin arrondi. Le point original tient dans le fait que cette estimation ne tient pas uniformément : elle est valable pour un para- mètre d’arrondi qui n’appartient pas à un ensemble qui possède 0 comme point d’accumulation. Pour obtenir cette estimation, l’idée va consister à utiliser des espaces de Sobolev à poids bien adaptés. Dans la Section 6.4, nous nous servirons de cette estimation a priori pour prouver la convergence d’un développement asymptotique au premier ordre. Enfin, nous terminerons par des calculs explicites pour une géométrie simple et des illustrations numériques mettant en évidence ce curieux phénomène de « valeur propre clignotante ».