Discrétisation du problème d’écoule- ment et de déformation dans un mi- lieu poreux fissuré

Pendant la propagation de la fracture de nombreux phénomènes complexes et variés sont à prendre en compte notamment la diffusion dans la fracture et dans la matrice, l’endommagement à la pointe de la fracture et les échanges de masse entre la fracture et la matrice. Wu et al. [2004] mettent l’accent sur le fait qu’un point essentiel pour simuler l’écoulement dans un milieu poreux fissuré réside dans la manière de modéliser l’interaction fracture-matrice ou l’échange de masse sous certaines conditions. Tenir compte de ces phénomènes dans les codes numériques est souvent difficile et induit souvent des solutions non-physiques. La conservation de la masse entre les fractures sur une ligne d’intersection et la frontière sont autant d’aspects à prendre en compte de manière rigoureuse dans les simulations numériques. Quelle que soit la méthode numérique utilisée, si ces conditions sont mal implémentées, les résultats numériques obtenus ne représenteront pas la réalité physique du problème.La méthode des éléments finis (FEM) [Lecampion et Detournay, 2007; Papanastasiou, 1999; Carrier et Granet, 2012] permet de modéliser des phénomènes transitoires non- linéaire complexe avec couplage hydromécanique. Les principales limites de cette méthode sont liées aux maillages et au temps de calcul pour la simulation numérique transitoire. Dans ce chapitre les calculs sont réalisés à partir du code de calcul par la méthode des éléments finis Porofis développé par Pouya [2015]. La modélisation de l’écoulement pen- dant la phase transitoire prendra en compte les échanges de masse entre la fracture et la matrice de manière complète.

Formulation numérique : discrétisation par la méthode des éléments finis (FEM)

La formulation faible ?? peut être utilisée pour construire un modèle éléments finis qui consiste d’une part à la discrétisation du domaine Ω en éléments finis et d’autre part à la recherche de la solution approchée de l’équation ?? comme une combinaison linéaire de fonction de base simple sur chaque élément. La méthode implémentée dans Porofis est basée sur la formulation de Bubnov-Galerkin. Le domaine Ω (figure 4.1) est discrétisé en 2D en sous éléments de surface Ωn, les fractures en sous éléments linéaires SJ , la frontière en ∂vΩ et ∂qΩ respectivement en sous éléments SK et Lm. Soient N n, hJ , hK , λm les fonctions de forme respectivement sur Ωn, SJ , SK et sur Lm. On définit le gradient de ces fonctions par :Considérons le milieu poreux fissuré présenté dans la figure 4.1. On suppose pour le calcul mécanique que le milieu est sollicité par des efforts surfaciques sur sa frontière ∂f Ω et des déplacements sur la partie ∂uΩ. On ne tient pas compte des forces volumiques dans ce problème. La déformation dans le milieu fissuré est donnée par la relation poroélastique suivante :

Le schéma du couplage utilisé dans Porofis (figure 4.3) consiste à résoudre premièrement le problème hydraulique à savoir les équations 4.2 et 4.3 sans prendre en compte les effets des termes sources rf et r au cours de cette phase de calcul.Une fois la solution du problème hydraulique obtenue, l’impact des effets hydrauliques sur le calcul mécanique est pris en compte à partir de déformations libres introduites dans la relation poromécanique 4.17 sous la forme :où σn, knn, un et bf représentent respectivement la contrainte normale, la rigidité normale, le déplacement normal, et le coefficient de Biot de la fracture. Le passage de l’hydraulique à la mécanique est introduit en supposant un déplacement résultant dû à la pression du fluide dans la fracture. Cette interaction s’écrit alors :En clair, dans le couplage mis en place pour la simulation numérique, la transition entre le calcul mécanique et calcul hydraulique apparaît quand la variation de la contrainte appliquée ou l’ouverture de la fracture induisent une augmentation significative de la variation du volume des pores. Par suite cette variation de volume de pores induit poten- tiellement une variation importante de la pression des pores et/ou de la masse du fluide. Le passage du problème hydraulique au problème mécanique quant à lui apparaît lorsque la variation de la pression des pores ou la variation de la masse du fluide dans le milieu poreux conduisent à une variation du volume ou de l’ouverture des fractures. Le couplage entre les processus hydrauliques et mécaniques est effectué par une résolution séquentielle des deux problèmes, traités séparément avec une interaction entre eux. La résolution séquen- tielle utilisée consiste à résoudre le problème d’écoulement premièrement en maintenant constant le champ de contraintes principales. Une fois le problème hydraulique résolu, Le problème mécanique est traité et les termes b