Effets aléatoires et modèle de réacteur

Au chapitre 1, il a été remarqué qu’à l’échelle d’un passage entre deux grains, le transport n’est pas de type piston-dispersion (critère de Taylor Aris non respecté) et que le caractère piston d’un lit fixe émerge après une longueur de réacteur de l’ordre de 10-20 diamètre de particules (§ 1.3.4.4). Il existe donc une taille minimale de système nécessaire pour que l’approche de modélisation de réacteur (piston – dispersion, modèle du double film) basée sur la concentration « moyenne » soit valide : en dessous de cette limite, une modélisation locale est nécessaire pour appréhender la physique. La discussion au chapitre 1 a également mis en évidence que la structure d’un lit de particules dépendait du mode de chargement et variait d’un chargement à l’autre. Un chargement vibré conduit par exemple à des orientations d’extrudés plus verticales. Ces différences de structure peuvent conduire à des modifications de l’écoulement et des transferts de matière. Avec la réduction d’échelle, il serait intéressant de pouvoir définir des critères de dimensionnement qui permettent de rester dans le domaine où l’approche globale (homogénéisation) est valable et où les effets aléatoires du chargement sont minimisés. Ce chapitre commence par une courte discussion sur l’émergence statistique du caractère piston dispersion puis détaille une étude des effets aléatoires par des approches de modélisations semi-locale (réseau de pores) et locale (simulation numérique directe).

Comme discuté au chapitre 1 (§ 1.3.4), il existe plusieurs propositions de modèle d’écoulement pour un réacteur lit fixe, piston-dispersion, modèle hyperbolique et cascade de réacteurs agités, qui sont indiscernables pour des écoulements peu dispersifs. Dans ce paragraphe, nous proposons un modèle dont la distribution de temps de séjour (DTS) est proche du réacteur piston et qui propose une piste pour expliquer la similitude de DTS entre des modèles de réacteur à lit fixe si différents. Une manière d’interpréter la DTS est que chaque molécule de traceur entrant dans le réacteur emprunte un des multiples chemins possibles et reste dans le réacteur un temps différent caractéristique des chemins empruntés. Dans le cas de réacteur à lit fixe, les chemins correspondent aux passages entre les particules. Pour chaque chemin, on peut alors définir un temps de séjour tchemin associé à la probabilité P(chemin) que le traceur emprunte ce chemin.  Avec ce formalisme la DTS apparaît une somme de variables aléatoires. Le théorème central limite et ses généralisations indiquent que, sous certaines hypothèses que nous n’avons pas vérifiées, toute somme de variables aléatoires tend vers une loi normale quand le nombre de  termes de la somme augmente. Le nombre de chemins suivis est de l’ordre de mp avec m nombre de connexion par pores (~3 [81]) et p nombre de couches (~ L/dp) et est donc très important.

Ce résultat permet de proposer que le caractère piston d’un réacteur émerge, en partie au moins, de la complexité du lit fixe via le nombre de chemins possible. Dans la mesure où le nombre de chemins en parallèle est proportionnel à la surface du réacteur et est une puissance du nombre de couches, le caractère piston émergera plus rapidement dans un réacteur étroit et long (type cigare) que large et étroit (type disque). Ce résultat ouvre également la porte à la possibilité d’autres formulations mathématiques pour décrire les écoulements en lit fixe. Dans un même réacteur lit fixe, la dispersion axiale dépend du fluide utilisé (Bo ~2 en gaz, Bo ~0.3 à 1 en liquide) : la complexité du réseau d’écoulement n’est pas la seule explication à l’émergence du caractère piston.  Le théorème central limite ne donne pas d’information sur la vitesse de convergence vers la gaussienne aussi cette approche ne permet pas de proposer des critères de validité de l’approche moyennée. Afin d’aller plus loin, une modélisation locale est nécessaire.