Etude économétrique « l’impact de la volatilité du pétrole sur les variables macroéconomique »

Modélisation d’une série temporelle 

Fonctions d’autocorrélation : Pour un ensemble de données série temporelle, les coefficients d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle (AC et PAC) de chaque variable datée peuvent également être identifiés.  La fonction autocorrélation : La fonction d’autocorrélation d’échantillon d’une variable datée Yt au retard k est calculée comme suit : ̂ ̂ ̂ ⁄ ̂ ∑( ̅) ( ̅ ) ̂ ∑( ̅)  La fonction autocorrélation partielle : Pour obtenir une estimation plus précise du PAC, exécutez simplement la régression: ( ) ( ) ( ) ( ) En plus de l’AC et du PAC, il existe également une Q-statistique, qui est un test statistique pour l’hypothèse conjointe, qui stipule que tous les γk jusqu’à un certain décalage sont simultanément égaux à zéro. La Q-statistique est définie comme : ∑ Où; T = taille de l’échantillon et m = limite du retard. Une variante de Q-statistique est le Ljung-Box (LB) -statistique, qui est défini comme ( ) ∑ ( ̂ ) (m) On a constaté que LB-statistique a de meilleures propriétés (ou plus puissantes, statistiquement parlantes) que Q-statistique. 2. Description des processus TS et DS : Une série yt est dite stationnaire si : (Constante, ne dépend pas de t) , ( ) ( ) ( ) [( )( )] La série εt dont E(εt)=0, Var(εt)= , Cov(εt, εt+k) = 0 est donc une série stationnaire ( elle ne doit comporter ni tendance et ni saisonnalité). Série non stationnaires  Processus TS : (Trend stationary) Le processus TS est non stationnaire parce que E(yt) = α+ βt et s‘écrit comme suit : yt= α+ βt + εt Ou ; εt : est l‘erreur du modèle à la date t ( il présente une non stationnarité de nature déterministe). Le processus yt peut être stationnarisé en retouchant les valeurs estimées α et β par la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO).  processus DS : (Differency stationnary) a. le processus DS avec dérive (β≠0) est appelé aussi marche aléatoire avec dérive et s‘écrit comme suit : yt= yt-1+ β + εt il présente une non stationnarité (on a E(yt ) = y0+ βt qui dépend du temps t plus t→∞ et plus E(yt)→∞ . la non stationnarité du processus est de nature stochastique car on a : y1 = y0 + β + ε1 y2 = y1 + β + ε2 = y0 + β + ε1+ β + ε2= y0 + 2β + ε1 + ε2 …….. Yt = y0 + βt + ∑ Ou : εi∼> iid (0, ), εi est indépendamment et identiquement distribuée. b. le processus DS sans dérive (β=0) est appelé aussi marche aléatoire avec dérive et s‘écrit comme suit : yt = yt-1 + εt le processus DS sans dérive est non stationnaire car on a : ( ) (∑ ) ∑ ( ) ∑ la variance du processus DS sans dérive dépend du temps t plus t→∞ et plus Var (yt) →∞. On obtient dans le cas sons dérive : y1 = y0 + ε1 y2 = y1 + ε2 = y0 + ε1+ ε2 …….. Yt = y0 + ∑ ou εi∼> iid (0, ). Une série est dite intégrée d‘ordre d (notée yt ≥ I(d) s‘il convient de la différencié d fois afin de stationnariser (la série stationnarisé est alors intégrée d‘ordre 0). 3. Processus ARIMA Les modèles de séries chronologiques se basent sur les processus un processus ARIMA (p,d,q) ou « Autoregressive Integrated Moving Average » d‘ordre p, d, et q pour la série {yt} à non stationnarité stochastique est un processus de la forme suivante : ( ) ( ) Où; d : désigne l‘ordre d‘intégration ou de différenciation (d ≥ 0 est un entier positif). ( ), B est l‘opérateur de retard tel que B yt = yt-1 et B P yt = yt-p d : est l‘opérateur de différence de degré d ; (Φ1 ,….,ΦP) et (θ1,…. ,θq) : sont des coefficients à estimer. La série {yt} est une série non stationnaire alors que la série wt = d yt est une série stationnaire. Estimer les paramètres du processus ARIMA (p,d,q) pour la série {yt} non stationnaire revient à estimer les coefficients du processus ARMA(p,q) pour la série {wt}stationnaire. 

Le Processus ARMA 

Les modèles AutoRegressive (AR) ont d’abord été introduits par Yule en 1926. Ils ont par conséquent été complétés par Slutsky qui, en 1937, a présenté des programmes de moyenne mobile (MA). C’était Wold (1938), cependant, qui a combiné les systèmes AR et MA et a montré que les processus ARMA peuvent être utilisés pour modéliser toutes les séries temporelles stationnaires tant que l’ordre approprié de p le nombre de termes AR et q le nombre de termes de MA, a été spécifiquement spécifié. Cela signifie que toute série yt peut être modélisée en tant que combinaison de valeurs passées yt et / ou passé et erreurs, ou Selon Wold (1954), les séries stationnaires peuvent être représentées par les processus ARMA.  Le modèle AR(p) : C‘est un modèle autorégressif d‘ordre p est défini par : ( ) 64 où Φ1, Φ2,…, Φp : sont des coefficients (positifs ou négatifs) à estimer et ( ), Un modèle AR(p) présente un corrélogramme simple caractérisé par une décroissance géométrique de ses termes et un corrélogramme partiel caractérisé par ses p premiers termes différents de 0.  Le modèle MA(q) : La structure du terme de perturbation dans le processus de la moyenne mobile « Moving Average » d‘ordre q est donné par : ( ) 65 Où ; θ1, θ2,…, θq sont des paramètres à estimer.