Étude mathématique des équations de Saint-Venant et de Navier-Stokes

Étude du modèle de Saint-Venant équatorial non visqueux 

L’objectif de ce chapitre est d’obtenir à partir des équations de Navier-Stokes, les équations de Saint-Venant puis le système que nous étudierons dans la suite et qui modélise le comportement des océans dans la zone équatoriale. Pour cela, nous nous appuyons sur [9, 10, 15, 16, 23, 28]. Pour obtenir les équations de Saint-Venant, on supposera que la densité du guide est homogène et que le mouvement est essentiellement horizontal et en eaux peu profondes, ce qui est justifié dans l’étude du mouvement des océans. En effet, la hauteur caractéristique des océans est de l’ordre du kilomètre alors que la longueur caractéristique peut atteindre plus de 1000 kilomètres. De plus, les courants horizontaux évoluent à une vitesse de l’ordre de un mètre par seconde quand les vitesses verticales sont mille fois plus faibles. Ensuite, on se placera au niveau de l’équateur dans le cas d’une rotation rapide ce qui permet en particulier de linéariser le sinus de la latitude qui intervient dans le terme dû à la rotation de la Terre. Cette approximation est connue sous le nom de modèle bêta plan du fait du paramètre β qu’elle introduit. Une fois les variables adimensionnées en tenant compte des hypothèses de petitesse, on montrera que si on note v la vitesse horizontale du uide et h les variations de sa hauteur alors elles ne dépendent que des coordonnées horizontales et vérient le système suivant (ESW) ε    ∂tv + v · ∇v + 1 ε ∇h + β ε y v ⊥ = 0 ∂th + v · ∇h + h div + 1 ε div = 0 . où ε prend en compte les hypothèses de petitesse et où β relie Ω et ε ‏1 . Du fait de la linéarisation du sinus que nous effectuerons au niveau de l’équateur, nous choisirons le domaine spatial d’étude T×R.

 Équations du fluide

 Nous commençons par rappeler les équations de Navier-Stokes. On considère un uide incompressible et homogène de densité ρ évoluant dans un domaine spatial S 2 × [0, H (t, x)] dont la vitesse est notée U. En particulier, l’équation de conservation de la masse implique que U est un champ de vecteurs solénoïdal. En dehors des termes classiques de convection et des eorts internes, l’étude du mouvement des océans à la surface de la Terre nécessite d’ajouter à l’équation de conservation de la quantité de mouvement deux termes supplémentaires : La rotation de la Terre est prise en compte via un terme d’accélération de Coriolis égal à 2Ω ∧ U où Ω est le vecteur taux de rotation de la Terre. Son expression dans les coordonnées locales est reliée à la latitude θ par Ω = Ω (0, cosθ,sinθ). L’étude des ondes de surface nécessite d’introduire l’accélération de la pesanteur d’intensité ‏g et dirigée selon ez, le vecteur unitaire vertical orienté vers le haut. Si on note σ le tenseur des contraintes du uide, les équations de Navier-Stokes s’écrivent (NS)    ∂tU + U · ∇U − 1 ρ divσ + 2Ω ∧ U = −g ez div(U) = 0 . 21 22 1. MODÉLISATION PHYSIQUE Fig. 

 Notations utilisées 

Dans les océans, les ordres de grandeur des vitesses horizontale et verticale sont différents. Pour cette raison, on note U = (v, w) ∈ R 2 × R la vitesse et on va écrire le système dont ses composantes sont solutions. Pour cela, on décompose la divergence en deux parties de sorte que l’équation de conservation de la masse devient divx + ∂zw = 0 où la divergence horizontale est donnée 

Réécriture du problème 

Dans ce chapitre, on va, dans les deux premières sections, transformer le système obtenu précédemment en un système quasi-linéaire symétrique à pénalisation antisymétrique. Pour cela, pour tout réel strictement positif ε, on va transformer la solution  vε hε  du système pénalisé (ESW) ε en un champ de vecteurs Vε solution de ∂tVε + A1 (Vε) ∂xVε + A2 (Vε) ∂yVε + ε −1MVε = 0 où les matrices A1 (Vε) et A2 (Vε) sont symétriques et ont pour composantes des combinaisons linéaires de celles de Vε et où la matrice de pénalisation M est antisymétrique pour le produit scalaire L 2 (T × R) i.e. M∗ = −M. Cette modication s’inspire fortement de ce qui a été fait dans [7]. Cette structure symétrique à pénalisation antisymétrique conférera au système de nombreuses propriétés comme cela apparaît dans [4, 11]. En particulier, lors d’estimations d’énergie dans l’espace L 2 (T × R), le terme pénalisant n’apparaîtra pas du fait de l’antisymétrie de M. Pour pouvoir obtenir des résultats analogues sur les dérivées des solutions et ainsi avoir une convergence plus forte, cette transformation est choisie de sorte qu’il existe des opérateurs de dérivation conservant la forme du système en commutant avec l’opérateur de pénalisation. On pourra alors, dans une dernière section, dénir des espaces adaptés à notre nouveau système.Si on veut espérer, grâce à la proposition précédente, obtenir une estimation uniforme de la famille (DUε) ε>0 dans L 2 (T × R) il est nécessaire que le commutateur [N, D] soit nul. En eet, si c’était le cas pour toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à 3 alors on pourrait estimer les forces extérieures par F D ε L2(T×R) ≤ kUεk 2 H3(T×R) et par suite on aurait 1 2 d dt kUεk 2 H3(T×R) . kUεk 3 H3(T×R) ce qui permettrait d’obtenir localement une estimation uniforme de la famille (Uε) ε>0 pour peu que la famille des données initiales (Uε,0) ε>0 converge. Or, pour l’instant, notre matrice de pénalisation commute avec la dérivation par rapport à x, mais pas avec la dérivation par rapport à y car le commutateur [y, ∂y] est non nul. Il va donc falloir réaliser un nouveau changement d’inconnues, cette fois-ci linéaire, et trouver des matrices de dérivations adaptées pour que la structure du système soit stable par dérivation. 

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