Forme normale et procédure de fusion pour l’algèbres de Hecke cyclotomique

 Introduction

Le premier but de ce Chapitre est de donner une procédure de fusion, dans l’esprit de [75], pour les algèbres de Hecke cyclotomiques H(m, 1, n) et les groupes de réflexions complexes G(m, 1, n). Comme dans [75], et plus tard dans [40, 41, 42, 43], nous utilisons les éléments de Jucys–Murphy. Ils ont été introduits pour l’algèbre H(m, 1, n) dans [4]. Dans le cas de G(m, 1, n) (la limite classique de H(m, 1, n)), ils ont été introduits indépendamment dans [87] et [104]. Dans les deux situations (dégénérée et non-dégénérée), ils ont été utilisés dans le Chapitre précédent pour développer une approche inductive à la théorie des représentations de la chaîne d’algèbres H(m, 1, n) et de la chaîne de groupes G(m, 1, n). Les éléments de Jucys–Murphy de H(m, 1, n) forment une ligne Ji , i = 1, . . . , n, tandis que les éléments de Jucys–Murphy de G(m, 1, n) forment deux lignes, ji et ˜ji , i = 1, . . . , n. Dans les deux cas, leur union est un ensemble commutatif maximal, de H(m, 1, n) ou de CG(m, 1, n) [4, 87] (voir aussi Chapitre II). Une représentation irréductible de H(m, 1, n) ou de G(m, 1, n) est codée par un m-uplet de partitions, et les éléments de la base semi-normale correspondent aux m-uplets de tableaux standards ; dans le cas du groupe G(m, 1, n), les valeurs propres de ji contiennent l’information sur la « position » – la place d’un tableau dans le m-uplet – tandis que les valeurs propres de ˜ji sont reliées aux contenus classiques des cases. Pour l’algèbre H(m, 1, n), ces deux informations sont contenues dans le spectre des éléments Ji . Dans le Chapitre II, Section II.6, les deux ensembles, ji et ˜ji , i = 1, . . . , n, apparaissent comme limites classiques d’expressions simples, impliquant le seul ensemble des éléments de Jucys–Murphy Ji , i = 1, . . . , n, de l’algèbre H(m, 1, n). Par la maximalité, tous les éléments diagonaux matriciels de H(m, 1, n) (respectivement, de CG(m, 1, n)) peuvent être exprimés en termes des éléments de Jucys–Murphy Ji , i = 1, . . . , n (respectivement, ji et ˜ji , i = 1, . . . , n). Nous transformons cette expression en une procédure de fusion : toute unité matricelle diagonale peut être obtenue par une séquence d’évaluations d’une certaine fonction rationnelle à valeurs dans H(m, 1, n) (respectivement, dans CG(m, 1, n)). Notons que, dans le cas du groupe G(m, 1, n), les lignes ji et ˜ji jouent des rôles différents : les positions peuvent être évaluées simultanément tandis que les contenus doivent être évalués ensuite de 1 à n. Le groupe G(1, 1, n) est isomorphe au groupe symétrique Sn, et notre procédure de fusion pour m = 1 reproduit la procédure de fusion de [75]. Dans le cas non-dégénéré, l’algèbre H(1, 1, n) est isomorphe à l’algèbre de Hecke de type A, et notre procédure de fusion pour m = 1 reproduit la procédure de fusion de [41]. Le groupe G(2, 1, n) est isomorphe au groupe hyperoctaédral Bn, le groupe de Coxeter de type B et l’algèbre H(2, 1, n) est isomorphe à l’algèbre de Hecke de type B. Ainsi, en particulier, nous obtenons une procédure de fusion pour le groupe de Coxeter de type B (respectivement, l’algèbre de Hecke de type B) et une description d’un ensemble complet d’idempotents primitifs orthogonaux deux à deux, en termes d’une seule fonction rationnelle à valeurs dans CBn (respectivement, dans l’algèbre de Hecke 114 de type B). La procédure de fusion pour les groupes G(m, 1, n) peut être obtenue en prenant la limite classique de la procédure de fusion pour les algèbres H(m, 1, n). Néanmoins, nous préférons, dans le même esprit que le Chapitre précédent, présenter la situation classique des groupes G(m, 1, n) indépendamment de la présentation pour les algèbres H(m, 1, n). 

Organisation du chapitre

La Section III.2 contient la procédure de fusion pour les groupes G(m, 1, n). Nous rappelons tout d’abord la description des unités matricielles diagonales en termes des éléments de Jucys–Murphy de CG(m, 1, n). Nous prouvons ensuite le Théorème III.2, qui donne la procédure de fusion pour le groupe Bn. Enfin, dans le Théorème III.6, nous étendons les résultats au cas général des groupes G(m, 1, n). Comme les preuves suivent principalement les mêmes lignes que dans le cas du groupe Bn, nous indiquons seulement les modifications nécessaires. La Section III.3 contient la procédure de fusion pour les algèbres H(m, 1, n). Nous rappelons tout d’abord la description des unités matricielles diagonales (un ensemble complet d’idempotents primitifs orthogonaux deux à deux) en termes des éléments de Jucys–Murphy Ji , i = 1, . . . , n. Nous prouvons ensuite le Théorème principal, Théorème III.9, qui donne la procédure de fusion pour les algèbres H(m, 1, n). Certains calculs techniques, concernant le coefficient apparaissant devant la fonction rationnelle, sont mis dans un Appendice à cette Section. Dans la Section III.4, nous réalisons l’algorithme de Coxeter–Todd pour la chaîne (par rapport à n) des groupes G(m, 1, n). Nous établissons la forme normale résultante pour les éléments de G(m, 1, n). La forme normale pour les éléments de G(m, 1, n) suggère une base pour l’algèbre H(m, 1, n). Nous montrons que c’est effectivement une base. Plusieurs faits connus sur la chaîne (par rapport à n) des algèbres H(m, 1, n) sont réétablis avec l’aide de cette base. Nous donnons aussi les formules pour les représentations induites.