Homogénéisation d’un problème de transport

Définition du problème périodique

Dans la suite de ce chapitre, nous supposons que les coefficients ρ ε , b ε et Aε sont périodiques en espace de période ε, et nous rappelons un certain nombre de résultats d’homogénéisation connus. Nous démontrons également une nouvelle estimation a priori (Théorème 7.4). Ces résultats sont utilisés au chapitre suivant pour construire une méthode multi-échelle applicable à des cas non périodiques comme cela a été fait dans [AB05] pour des problèmes elliptiques.

Développement asymptotique avec dérive

Comme dans le cas elliptique présenté au chapitre 3, on postule un développement asymptotique pour uε. Cependant, nous allons ici y intégrer une dérive. Soit b ∗ un vecteur constant représentant une homogénéisation de la fonction b. Nous la considérons pour l’instant comme une inconnue à calculer. On suppose que uε peut s’écrire sous la forme : uε(t, x) = X +∞ i=0 ε iui  t, x − b ∗ t ε , x ε  , (7.8) avec des fonctions ui Y -périodiques par rapport leur troisième variable y. L’intégration d’une dérive dans la variable d’espace est nécessaire pour homogénéiser l’équation (7.6). En fait, on sait (voir [BJP03]) que si on considère des temps courts, le problème homogénéisé est une équation de transport dont la solution explicite est de la forme u (t, x − vt). Il nous faut donc intégrer ce transport dans notre terme d’ordre 0 pour des temps de l’ordre de 1 ε . De plus, si ne prend pas en compte cette dérive et qu’on suppose b ∗ = 0 la condition de compatibilité présentée plus tard imposerait que le champs de vitesse b(y) soit à moyenne nulle. Proposition 7.1. Soit uε la solution du problème (7.6). On suppose que les hypothèses 7.1 sont vérifiées. On suppose également que le développement asymptotique (7.8) est vrai et que les fonctions ui sont Y – périodiques par rapport à y et “régulières” (les résultats de cette proposition sont uniquement formels, il n’y a donc pas besoin de préciser les régularités).

Remarque 7.1 : On remarque que le calcul du terme d’ordre 0 du développement asymptotique (7.8) est la fonction u calculée en résolvant le problème parabolique (7.11). Ce problème ne fait pas intervenir de convection ce qui semble surprenant puisque l’on cherche à approcher le fonction uε solution du problème de convection-diffusion (7.3). Cependant, on remarque que, dans le développement asymptotique (7.8), la fonction u est dans un repère mobile par rapport à uε.

Convergence à deux échelles avec dérive 

Les calculs faits dans le paragraphe précédent sont formels et ne sont pas justifiés d’un point de vue mathématique. Comme au chapitre 3, on va introduire une nouvelle notion de convergence pour pouvoir démontrer des résultats d’approximation plus précis entre la solution uε du problème (7.6) et le début de son développement asymptotique. Étant donné que nous avons introduit une dérive dans ce développement asymptotique, la notion de convergence à deux échelles vue au paragraphe 3.5 ne peut pas s’adapter à notre problème. Ainsi, E. Marušić-Paloka et A. Piatnitski ont défini dans [MPP05] la notion de convergence à deux échelles avec dérive.

Remarque 7.3 : 1. Si b ∗ = 0 cette définition correspond bien à la convergence à deux échelles rappelée au chapitre 3 et définie dans [Ngu89] et [All92]). 2. La notion de limite à deux échelles avec dérive dépend de la dérive considérée. 3. Cette définition peut également s’appliquer à des ensembles de la forme (0, T) × R N avec T > 0. Si la convergence à deux échelles avec dérive sur un espace (0, T) × R N est assurée cette convergence est encore vraie sur tous les espaces de la forme (0, t) × R N avec 0 6 t 6 T. 

Estimation d’erreur a priori

On s’intéresse ensuite à l’erreur en norme H1 en espace et L 2 en temps entre la solution exacte uε du problème (7.6) et les deux premiers termes de son développement asymptotiques : u + εu1. Le terme εu1 d’ordre 1 en ε n’est pas utile pour approcher la solution en norme L 2 mais sa présence est indispensable si on cherche à approcher son gradient. L’estimation a priori établie dans le théorème suivant n’a, à notre connaissance, pas été montrée auparavant. Théorème 7.4. Soient (uε) la suite des solutions de l’équation (7.6), u la solution au problème homogénéisé (7.11) et u1 définie par l’équation (7.13) où les fonctions wi sont les solutions à moyenne nulle et Y – périodiques des problèmes (7.10) et u˜1 = 0. On suppose, de plus, que les hypothèses 7.1 sont vérifiées. On a alors l’estimation suivante pour une certaine constante C4 > 0 indépendante de ε mais dépendant du temps final T