Interprétation des essais de pompage

Expressions de Theis et de Jacob

L’écoulement dans un aquifère actif autour d’un puits est représenté par une équation différentielle du 2nd ordre de la forme 𝜕 2𝛥 𝜕𝑅2 + 1 𝑅 𝜕𝛥 𝜕𝑅 = 𝑆 𝑇 𝜕𝛥 𝜕𝑡 La formule de Theis représente la solution de cette équation différentielle. s = 𝑄 4𝜋𝑇 ∫ 𝑒 −𝑢 𝑢 ∞ 𝑢 𝑑𝑢 avec W(u)= ∫ 𝑒 −𝑢 𝑢 ∞ 𝑢 𝑑𝑢 Et 𝑢 = 𝑥 2𝑆 4𝑡𝑇 −𝐸𝑖(𝑢) = 𝑊(𝑢) = −0,577216 – 𝐿𝑜𝑔𝑢 + 𝑢 − 𝑢 2 2.2! + 𝑢 3 3.3! − 𝑢 4 4.4! + ⋯ Approche de Cooper-Jacob La résolution directe de cette expression est pratiquement impossible. C’est pour cela qu’on a recours à la formule d’approximation de Jacob. Sa théorie est la suivante : Lorsque u est suffisamment petit, c’est-à-dire que le temps de pompage est suffisamment long ; la série constituant le 3ème terme du 2nd membre tend rapidement vers 0 et W(u) peut être pris égal à W(u) = −0,577216 – 𝑙𝑜𝑔𝑢 . L’expression de s devient alors 𝑠 = 0,183𝑄 𝑇 log 2,25𝑇𝑡 𝑆𝑥 2 = 0,183𝑄 𝑇 (log 2,25𝑇 𝑆𝑥 2 + log 𝑡)[1] s : rabattement mesuré par un piézomètre [m] Q : débit de pompage [m3 /s] T : transmissivité [m2 /s] S : coefficient d’emmagasinement x: distance du piézomètre à l’axe du puits [m] t : temps écoulé à un instant donné depuis le début du pompage [s] En posant X = log t, l’expression de s prend la forme de l’équation d’une droite s = aX+b telle que a = 0,183𝑄 𝑇 et b = 0,183𝑄 𝑇 log 2,25𝑇 𝑆𝑥 2 

– Transmissivité

T a correspond à la pente de la droite et par conséquent se calcul comme suit 𝑎 = 𝛥𝑠 𝛥(𝑙𝑜𝑔 𝑡) . Nous aboutissons ainsi à la relation 𝑎 = 𝛥𝑠 𝛥(𝑙𝑜𝑔 𝑡) = 0,183𝑄 𝑇 – Coefficient d’emmagasinement S Le rabattement n’apparait pas immédiatement en début de pompage mais il ne se produit qu’après un certain laps de temps de pompage. Sur le graphique, ce temps noté t0 correspond à l’endroit où la droite de rabattement coupe l’axe du temps ; c’est-à-dire là où le rabattement est nul. En portant ces valeurs dans la formule de Jacob, on a 0,183𝑄 𝑇 log 2,25𝑇𝑡0 𝑆𝑥 2 = 0 log 2,25𝑇𝑡0 𝑆𝑥 2 = 0 2,25𝑇𝑡0 𝑆𝑥 2 = 1 𝑆 = 2,25𝑇𝑡0 𝑥 2 Méthode de Theis En logarithme décimaux, l’équation [1] devient : log 𝑠 = log 𝑄 4𝜋𝑇 + log 𝑊(𝑢) [1’] Et log 𝑥2 𝑡 = log 4𝑇 𝑆 + log 𝑢 [2’] La similitude des formules [1’] et [2’] suggère que log W(u) varie avec log u de la même manière que log s varie avec𝑙𝑜𝑔 𝑥2 𝑡 . Par conséquent, si les données de l’essai de pompage log s sont tracées en fonction de log 𝑥2 𝑡 , la courbe résultante sera identique à la courbe théoriques log W(u) versus log u à une translation près. C’est la base mathématique de la méthode graphique proposée par Theis. La courbe standard est obtenue en reportant sur un diagramme bi logarithmique les valeurs de W(u) en ordonnée et celles de u en abscisse. Ces données sont données par une table. La courbe expérimentale est un diagramme bi logarithmique transparent de même échelle que la courbe standard avec en abscisse les valeurs de 𝑥2 𝑡 et en ordonnée le rabattement en mètre La courbe type log W(u) vs log u est superposée sur la courbe des résultats expérimentaux et les paramètres T et S sont trouvés successivement à partir des valeurs de déplacement des axes.