LA DISTRIBUTION DES PORTEURS MINORITAIRES
DANS UN SEMI – CONDUCTEUR

MODELISATIONS DU PROBLEME PHYSIQUE

Formulation mathématique du problème

La modélisation du phénomène étudié consiste à prendre en compte les principes fondamentaux, comme par exemple la conservation de la masse, de l’énergie, et à déterminer les paramètres essentiels à sa description à la fois simple et réaliste. En chaque point de l’objet considéré, plusieurs grandeurs physiques (position, vitesse, température…) décrivent son état et son évolution et permettent de caractériser entièrement son mouvement. Ces grandeurs ne sont pas indépendantes mais reliées entre elles par des équations, qui sont la traduction mathématique des lois de la physique régissant le comportement de l’objet.

Position et description du problème étudié

Nous avons considéré un semi-conducteur de longueur L dopé uniformément. On ionise par un rayonnement incident sur la face . Le rayonnement ionisant est absorbé et génère des paires électrons- trous et on pose taux de génération de ces paires. Pour modéliser le transport des porteurs nous admettons que l’expérience est fait en régime de faible injection en l’absence de champ appliqué et en supposant que le transport est dominé par les courants de diffusion. Pour la résolution nous considérons le problème à une dimension. L’équation générale de diffusion des porteurs s’écrit sous la forme dans notre cas. Cette équation va être fermée par des conditions initiales et aux limites qui vont gouverner le comportement des porteurs dans le semi- conducteur. Nous allons poser sur les limites géométriques de notre semi- conducteur, en toute généralité, des conditions aux limites de troisième type ou conditions mixtes. On écrira Mémoire de Master 2 Physique et Applications SENE Mamadou Bamba 17 2.3 Adimensionnalisation Les équations de transfert sous leur forme dimensionnelle comportent un grand nombre de paramètres. Alors, pour trouver la dépendance des solutions, ne serait-ce que par rapport à un seul de ces paramètres, il faut réaliser une multitude d’expériences ou de simulations numériques. Dés lors, il devient utile de résoudre le nombre de paramètres figurant dans les équations en associant les grandeurs physiques en groupements sans dimensions qui reflètent l’action conjuguée de l’ensemble de ces grandeurs. Ces groupements permettent de décrire une certaine classe de diffusions des porteurs similaires et leur utilisation simplifie non seulement la réalisation des simulations expérimentales ou numériques mais facilite l’interprétation des résultats. Le bon choix des échelles de référence dépend de la géométrie du domaine, de la nature de la diffusion, c’est-à-dire en définitive de l’importance des paramètres physiques. Finalement dans notre cas, il s’agit : ⇒ ⇒ ⇒ Si on remplace ces relations dans l’équation générale il vient. 

Modélisation numérique

L’équation qui régit le transport des porteurs de charges minoritaires est une équation aux dérivées partielles de type parabolique dont la solution dépend fortement de la nature des conditions aux limites et initiales. Elle n’admet pas de solution analytique explicite d’une façon générale. C’est pourquoi elle a é té résolue en utilisant des méthodes approchées chacune avec ses av antages et ses inconvénients. Parmi les méthodes approchées de résolution, les méthodes numériques sont aujourd’hui les plus efficientes. La rapidité de calcul et la grande mémoire des calculateurs actuels ont fait que nous avons opté pour une méthode numérique. Un autre intérêt majeur des méthodes numériques réside dans le fait que les « expériences » numériques peuvent être reconductibles et reproductibles à l’infini contrairement à l’expérimentation manuelle. Cependant l’ordinateur étant « fini », c’est- à- dire, limité en place mémoire, en précision et en durée de fonctionnement, alors le choix de la meilleure méthode pour un problème concret bien précis doit être gouverné par des critères des économies en temps et en volume de calculs mais et surtout par le respect des critères de stabilités. La première étape lorsqu’on veut résoudre numériquement un pr oblème concret consiste donc à le ramener en un problème discret qui lui est « très proche ». Pour cela nous pouvons utiliser plusieurs approximations à savoir les méthodes de différences finies, d’éléments finis, d’éléments aux frontières, de volumes finis, les méthodes spectrales, singulières, … Les équations discrétisées obtenues vont ensuite être résolues grâce à u ne technique de résolution. On peut utiliser des méthodes directes comme celles de Jordan, de Cholesky,… ou des méthodes itératives de relaxations, triangulaires alternées, de plus grande pente, … Pour simplifier les écritures nous omettons les astérix dans les grandeurs adimensionnelles 2.5 Discrétisation du domaine physique et des équations 2.5.1 Discrétisation du domaine L’abscisse adimensionnelle continue est approchée par Le pas de discrétisation est défini par avec le nombre de nœuds 2.5.2 Discrétisation de l’équation de transport Posons Mémoire de Master 2 Physique et Applications SENE Mamadou Bamba 20 Les dérivées par rapport au temps et à l’espace qui rentrent dans l’équation des porteurs sont approchées par les relations suivantes Si En tenant compte de ces approximations, l’équation de transport continue, après calcul, se ramène au système algébrique suivant. avec Nous avons donc un système trigonal que nous allons mettre sous la forme avec Puisque nous avons approché la dérivée seconde par rapport à x avec une erreur de l’ordre de et la dérivée temporelle avec une erreur de l’ordre de l’erreur de la discrétisation de l’équation de transport est donc de l’ordre de max Maintenant approchons les conditions aux limites.

Discrétisation des conditions aux limites

Puisque le comportement d’un processus physique est gouverné par ces conditions aux limites, il est très important de les approcher correctement. Nous allons donner les approximations des dérivées premières des porteurs à x = 0 et x = 1. Pour discrétiser les Mémoire de Master 2 Physique et Applications SENE Mamadou Bamba 21 conditions aux limites nous allons partir des développements de Taylor arrière et avant suivants. [2. 7] Au voisinage de x = 0, c’est-à-dire pour notre relation devient Si on a [2. 8] Lorsque , il vient [2. 9] A qui correspond à nous écrivons Pour [2. 10] Quant , nous avons [2. 11] En tenant compte de ces relations, les dérivées aux frontières peuvent être approchées avec des erreurs de discrétisations d’ordre différents. Nous allons considérer alors les deux cas suivants. 1er cas : Approximation à l’ordre A x = 0 [2. 12] A x = 1 [2. 13] Mémoire de Master 2 Physique et Applications SENE Mamadou Bamba 22 2ème cas Approximation d’ordre En éliminant les dérivées secondes dans les développements de Taylor nous obtenons. A x = 0 [2. 14] A x = 1 [2. 15] Si on tient compte de ces approximations les conditions aux limites frontières seront alors approchées comme suit. Pour le premier cas : Approximation d’ordre A la frontière x = 0 Comme Alors nous obtenons [2.16] A la frontière x = 1 Puisque Alors il vient Pour le deuxième cas : Approximation d’ordre A x = 0 Puisque Alors nous aurons après arrangement A x = 1 En remplaçant la dérivée à la frontiére par sa valeur discrétisée il vient D’où Après avoir discrétisé l’équation de transport et ses conditions aux limites associées nous allons décrire la technique de résolution. 

Méthode de résolution

Considérons le système matriciel suivant Il admet une solution récursive de la forme Puisque Mémoire de Master 2 Physique et Applications SENE Mamadou Bamba 24 Alors nous avons après calcul les relations récursives suivantes entre les coefficients et et les coefficients de la matrice. Avec variant de à Comme à nous avons et d’après les conditions aux limites à nous pouvons calculer les coefficients et . Leur connaissance nous permet ensuite de déterminer les d’après la solution récursive. 

Résultats et commentaires

Dans cette partie nous allons présenter les résultats issus des simulations numériques et discuter de l’influence de la nature des conditions aux limites et de leurs erreurs de discrétisations de sur le comportement des porteurs de charges. Dans tout ce qui suit nous allons pris le coefficient F de terme de diffusion égal à l’unité. Le taux de génération adimensionnalisation est modélisé par 2.7.1 Sensibilité des résultats vis-à-vis des pas de discrétisations Pour choisir le pas « optimum », nous avons testé la sensibilité des résultats par rapport aux pas de calcul. L’analyse des courbes des figures 1 montrent que les résultats obtenus pour des pas d’espace de 0, 05 et de 0.02 sont sensiblement les mêmes. Donc il est inutile de travailler avec des pas d’espace supérieurs à 0,02 car nous aurons un volume de calculs plus grand et un temps d’exécution pl us long et pour finalement avoir les mêmes résultats que ceux de la figure 1.