La théorie de type cohomologiquesouche

La procédure de torsion et l’interprétation de la théorie tordue qu’on en fait sont différentes en dimension supérieure `a quatre. Dans les cas quadridimensionnels l’opération de torsion se fait en réduisant la covariance sous l’action du groupe des rotations fois un groupe de symétrie interne `a un sous groupe, qui fait intervenir la diagonale d’un sous groupe SU(2) de Spin(4) ou de Spin(4) lui mˆeme avec un sous groupes SU(2) ou Spin(4) du groupe de symétrie interne. La formulation ainsi obtenue est toujours covariante sous l’action d’un groupe isomorphe `a Spin(4) qui est réinterprété comme associé au groupe des rotations de la théorie, ce qui permet de définir la théorie sur une variété riemannienne arbitraire. En dimension supérieure, l’opération de torsion se fait en réduisant la covariance sous le groupe des rotations Spin(n) `a un sous groupe G de celui-ci, pour lequel la représentation vectorielle reste irréductible. La nouvelle théorie admet une covariance réduite et ne peut ˆetre définie que sur des variétés dites, d’holonomie spéciale, ou des variétés « plus simples » , dont les groupes d’holonomie sont des sous groupes de G [16, 20]. Les théories topologiques de type cohomologique sont invariantes par des déformations arbitraires de la métrique, ce qui permet de montrer formellement l’invariance des observables par les homéomorphismes isotopes `a l’identité. Dans le cadre des théories de type cohomologique faisant intervenir explicitement une Gstructure, celles-ci ne seront en général invariantes que par les homéomorphismes isotopes `a l’identité qui préservent cette G-structure. On admet cependant que ces observables sont invariantes sous l’action de tout difféomorphisme, comme dans le cas des théories topologiques.

L’opération de torsion en huit dimensions

La théorie de type cohomologique de Yang–Mills définie par une opération de torsion appliquée `a une théorie supersymétrique sur l’espace de dimension la plus élevée est définie sur une variété de Joyce de dimension huit [16, 20]. On peut l’obtenir par une opération de torsion sur la théorie de Yang–Mills supersymétrique N = 2 définie sur un espace plat euclidien. 2.1.1 La théorie de Yang–Mills supersymétrique Pour plus de clarté nous allons bri`evement dériver l’action et les symétries de cette théorie par réduction dimensionnelle de la théorie de Yang–Mills supersymétrique en dimension dix. Les champs de cette théorie consistent en un champ de jauge, connexion d’un fibré principal de groupe G, et un fermion dans une représentation spinorielle de Majorana–Weyl `a valeur dans le fibré adjoint associé [21]. Z M d 10xTr  − 1 4 FmnF mn + i 2 (Λ/DΛ) (2.1) avec les matrices gamma en dix dimensions définies `a partir de celles en huit comme suit Γ m ≡ σ2 ⊗ γ µ , σ2 ⊗ γ9, σ1 ⊗ 1 (2.2) A l’aide d’un spineur constant dans la représentation de Majorana–Weyl, on peut écrire les transformations de supersymétrie de la mani`ere suivante δAm = i 

La théorie tordue

Sur une variété de dimension huit dont le groupe d’holonomie est inclus dans Spin(7) ⊂ SO(8), o`u l’inclusion est de telle sorte que Spin(7) agit sur un vecteur de SO(8) comme sur un spineur de Majorana, il est possible de définir globalement un spineur constant ζ qui peut ˆetre choisi de Majorana–Weyl chiral et normé [20]. La donnée de ce spineur permet de définir une 4-forme constante sur la variété, dite 4-forme octonionique, étant donné son lien direct avec les coefficients de structure des octonions.