l’écoulement laminaire stationnaire vers l’écoulement instationnaire dans des structures poreuses modèles

Ce chapitre concerne l’apparition de la première bifurcation de Hopf, qui cor- respond à la transition d’un écoulement stationnaire vers un écoulement insta- tionnaire dans des structures poreuses périodiques ordonnées et désordonnées non- déformables. Les structures considérées, représentatives de systèmes réels pour dif- férentes applications, sont composées de cylindres à section droite carrée pour des valeurs de porosité allant de 15% à 96%. Le nombre de Reynolds critique à la bifur- cation est déterminé pour l’écoulement d’un fluide newtonien incompressible dans des conditions isothermes par des simulations numériques directes (DNS) basées sur une méthode de discrétisation aux volumes finis de second ordre en espace et en temps. On montre que, pour les structures périodiques composées d’un arrangement de cylindres à section droite carrée, le nombre de Reynolds critique augmente avec la diminution de la porosité et dépend fortement du choix du Volume Elémentaire Re- présentatif (VER) sur lequel des conditions aux limites périodiques sont appliquées. On montre également que l’orientation de l’écoulement macroscopique par rapport aux axes principaux de la structure a un grand impact sur la valeur du nombre de Reynolds correspondant à la bifurcation. Dans le cas de structures désordonnées, la valeur du nombre de Reynolds critique diminue significativement par rapport à celle obtenue pour des structures ordonnées de même porosité. Des corrélations entre le nombre de Reynolds critique et la porosité sont obtenues pour les structures or- données et désordonnées sur une large plage de porosités. Une analyse spectrale est réalisée sur une des composantes de la vitesse afin d’étudier les caractéristiques de l’écoulement avant et après la bifurcation.

Comme indiqué dans le chapitre 1, les écoulements inertiels en milieu poreux hors régime de Darcy se rencontrent dans des situations très diverses. De ce fait, il est impossible de couvrir toutes les situations, notamment les diverses structures topologiques des milieux poreux en raison de leur grande variété et complexité. C’est pour cela que des structures poreuses modèle comme les structures ordonnées ou désordonnées d’objets 2D ou 3D, cylindriques ou sphériques par exemple, ont été largement utilisées pour comprendre la majorité des mécanismes en jeu dans l’écoulement. Tandis que ce type de structures représente une approche intéressante pour des milieux poreux plus complexes, elles sont aussi d’une pertinence considérable dans différentes situations en rapport à des problèmes environnementaux par exemple. En effet, les réseaux de rues et bâtiments dans les grandes agglomérations sont générale- ment modélisés par des réseaux de cylindres. La connaissance des caractéristiques de l’écoulement dans ce type de configurations est d’une grande importance pour com- prendre et éviter le transport de polluants qui constitue une préoccupation majeure pour la santé de la population en rapport avec l’activité humaine [130]. De plus, les courants autour des bâtiments [129] sont aussi une problématique importante pour le confort des piétons. D’un point de vue ingénierie, la connaissance des forces appli- quées par le vent sur les bâtiments permet la prédiction du couplage fluide-structure qui implique des vibrations structurelles, l’émission de nuisances acoustiques et le dangereux phénomène de résonance qui est aussi un élément essentiel [123]. Les réseaux réguliers de cylindres parallèles, représentant des bouquets d’arbres, sont des structures modèles pertinentes aussi bien pour analyser l’écoulement naturel de l’air dans les forêts et l’oscillation des arbres restants dans les forêts exploitées pour la production de bois [146] ou bien pour la réalisation d’études expérimentales d’écoulements turbulents [92]. Une description détaillée de tels écoulements envi- ronnementaux est cruciale pour la compréhension de mécanismes aussi variés que les processus de transfert de chaleur, la dissémination de pollen, le transport des espèces comme les polluants [111] et la propagation des feux de forêts [50].

Très souvent, une description macroscopique de l’écoulement inertiel est particu- lièrement intéressante (voir les justifications citées dans le chapitre 1). Les différents modèles développés et présentés au chapitre 1 ne sont valables que pour un certain intervalle de nombres de Reynolds, Red (défini par l’Eq. 2.5). Par conséquent, la connaissance des intervalles délimitant chaque régime d’écoulement est une condi- tion préalable pour l’application du modèle macroscopique approprié. La classification des différents régimes inertiels présentée dans le chapitre 1 a été mise en évidence pour l’écoulement stationnaire. De toute évidence, la connais- sance du nombre de Reynolds correspondant à l’apparition de l’instationnarité, qui correspond à la bifurcation de Hopf dans les structures considérées [69], est d’une importance capitale et sera l’objectif principal de ce chapitre.Jusqu’à présent, la plupart des travaux sur la bifurcation de Hopf ont porté sur l’écoulement autour d’un cylindre isolé de section droite circulaire ou carrée ou bien sur l’écoulement à travers une rangée de cylindres. L’écoulement autour d’un cy- lindre circulaire a été analysé pour le régime laminaire [105] et turbulent [32]. Des travaux similaires ont été dédiés au cas d’un écoulement instationnaire autour d’un cylindre carré, tout d’abord en 2D avec un angle d’incidence nul [120], et par la suite en 3D, [122, 123] en considérant différents angles d’incidence [148].