Les espaces de base

Panorama non exhaustif des espaces

Histoire Le mot « topologie » vient de la contraction des noms grecs « topos » (lieu) et « logos » (étude), c’est donc l’étude du lieu. On a d’ailleurs commencé par l’appeler Analysis Situs, le terme « topologie » n’étant introduit qu’en 1847, en allemand, par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie. La topologie vise à définir ce qu’est un lieu (i.e. un espace) et quelles peuvent être ses propriétés (je dirais uniquement en tant que tel, sans autre ajout). Elle s’intéresse plus précisément à ce que l’on appelle aujourd’hui espaces topologiques et aux applications, dites continues, qui les lient, ainsi qu’à leurs déformations (“A topologist is one who doesn’t know the difference between a doughnut and a coffee cup”). En analyse, elle fournit des informations sur l’espace considéré Euler Poincaré Hausdorff permettant d’obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d’équations au dérivées partielles, notamment). Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques. L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, i.e. l’un des premiers résultats topologiques. Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d’homotopie et d’homologie. Bien d’autres mathématiciens ont contribué au sujet parmi lesquels nous citerons : Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli, Fréchet, Hausdorff… Finalement, une dernière généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d’espace topologique. I SURVOL MATHÉMATIQUE 19 1.1.1 Point de vue topologique E, un ensemble Cela suffit déjà pour pouvoir s’intéresser par exemple à des fonctions, à des relations d’équivalence (donc au quotient)… décomposition canonique, permutation… On peut ensuite définir un ensemble ordonné… Une topologie T est un ensemble de parties de E que l’on définit comme les ouverts de .E; T /, vérifiant les propriétés suivantes : — L’ensemble vide et E appartiennent à T . — Toute réunion quelconque d’ouverts est un ouvert, i.e. si .Oi/i2I est une famille d’éléments de T , indexée par un ensemble I quelconque (pas nécessairement fini ni même dénombrable) alors S i2I Oi 2 T . — Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert, i.e. si O1; :::; On sont des éléments de T (avec n > 0), alors O1 \ : : : \ On 2 T . Espace topologique À partir des ouverts, on définit les fermés, l’adhérence, l’intérieur, l’extérieur, voisinage… Séparation : deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Espace séparé (ou de Hausdorff) Intérêts : — Unicité de la limite de tout filtre convergent. — Une suite convergente a une limite unique. — Une topologie plus fine qu’une topologie séparée est séparée. — Tout sous-espace d’un espace séparé est séparé. — Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Régularité : Il est possible de séparer un point x et un fermé F ne contenant pas x par deux ouverts disjoints. On peut même alors choisir ces deux ouverts de manière à ce que leurs adhérences respectives soient disjointes. Espace régulier Application : — Tout point admet une base de voisinages fermés. — Tout fermé est l’intersection de ses voisinages fermés. Compacité (recouvrement fini) : Un espace séparé est compact (vérifie la propriété de Borel-Lebesgue), si chaque fois qu’il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d’entre eux. Espace compact L’intérêt des compacts est de pouvoir étendre des propriétés trivialement vérifiées par des applications définies sur un ensemble fini à des applications définies sur des espaces topologiques infinis, à condition bien sûr qu’elles soient continues. Tout produit de compacts est compact. R est compact Un espace peut ne pas être compact, mais une de ses parties l’être : — R n’est pas fermé, mais tout ŒaI b fermé borné l’est. — R n n’est pas compact, mais tout pavé fermé l’est (voir théorème)

Point de vue métrique

Comme nous le mentionnions au paragraphe précédent, lorsque l’on parle d’espace on a intuitivement envie de parler de « distance ». Histoire Unifiant les travaux de ses prédécesseurs sur les espaces de fonctions, c’est en 1906 que Maurice Fréchet introduit le concept d’espace métrique. La métrique qui nous est la plus usuelle est évidemment la métrique euFréchet Cauchy clidienne, qui est celle que nous utilisons en géométrique « classique » (euclidienne) : la distance entre deux points est égale à la longueur du segment les reliant. La structure métrique fournit beaucoup plus d’information sur la forme géométrique des objets que la structure topologique. Enfin nous redonnerons le si important critère de Cauchy (qui est valable pour tout espace uniforme, dont notamment les espaces métriques) qui permet de définir la toute aussi importante notion de complétude. E, un ensemble Une distance ou métrique d est une application de E  E ! RC telle que : — d.x; y/ D d.y; x/ (symétrie) ; — d.x; y/ > 0 si x ¤ y, et d.x; x/ D 0 (positivité) ; — d.x; z/ 6 d.x; y/ C d.y; z/ (inégalité triangulaire). Espace métrique On peut réexprimer les notions d’ouvert, fermé, adhérence… densité, continuité… avec la métrique (les « …). Deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie. Deux normes k  k1 et k  k2 sont équivalentes s’il existe deux constantes strictement positives k 0 et k 00 telles que 8x 2 E, kxk1 6 k 0kxk1 et kxk2 6 k 00kxk1. Critère de Cauchy : Soit E un espace métrique et soit x0, x1, …, xn, … une suite d’éléments de E. Cette suite est de Cauchy de E si : 8″ > 0; 9N 2 N; .8n 2 N;8m 2 N; n > N; m > N / W d.xm; xn/ 6  » (1.1) ou encore : d.xm; xn/ tend vers 0 quand m et n tendent vers l’infini. Espace métrique complet Toute suite convergente est de Cauchy. Réciproque : si x0, x1, …, xn, … est de Cauchy sur R ou C, alors elle converge. Cette propriété est fondamentale car elle permet de reconnaître si une suite converge sans connaître sa limite. Attention, la notion d’espace complet est une notion métrique et non topologique (elle peut donc être vraie pour une métrique et fausse pour une autre). L’importance de la complétude tient à ce que la solution d’un problème passe souvent par une solution approchée. Si la suite des solutions approchées est de Cauchy d’un espace convenable, et si cet espace est complet, alors la convergence vers une solution du problème est assurée.

Point de vue algébrique

Jusqu’à présent, nous n’avons pas vraiment parlé d’opérations que nous pourrions effectuer à l’intérieur des espaces que nous avons définis, ou entre ces espaces. Pour une présentation des structures algébriques on se reportera au cours homonyme. Elles sont riches et nombreuses. Dans le cadre de ce document, nous ne nous intéresserons qu’au cas de la structure d’espace vectoriel, le but étant, comme mentionné en introduction, d’en arriver aux espaces de Hilbert, fondements de l’analyse fonctionnelle. I SURVOL MATHÉMATIQUE 1.1 Panorama non exhaustif des espaces 21 Histoire Lorsque l’on demande de citer l’un des grands mathématiciens du xxe siècle, Henri Poincaré et David Hilbert se partagent souvent la première place, aussi bien pour l’éventail considérable des sujets qu’ils ont abordés que pour avoir fait émerger de nombreuses idées fondamentales. Hilbert reste célèbre pour ses 23 problèmes (dits problèmes de Hilbert) Hilbert Banach qu’il présenta au deuxième congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, qui tenaient jusqu’alors les mathématiciens en échec et devaient marquer le cours des mathématiques du xxe siècle (et il avait raison ; tous ne sont pas résolus à ce jour). Notons que c’est von Neumann, reprenant les travaux de Hilbert, qui formalise et nomme ces espaces les espaces de Hilbert en 1927. Nous croiserons également un autre fondateur de l’analyse fonctionnelle, Stephan Banach qui a généralisé entre autre les travaux de Hilbert sur les équations intégrales, notamment en approfondissant la théorie des espaces vectoriels topologiques. E, un ensemble Structure d’espace vectoriel : C’est une structure comportant une loi de composition interne et une loi de composition externe sur un corps K permettant d’effectuer des combinaisons linéaires (voir cours sur les structures algébriques). La loi de composition interne, notée C en fait un groupe abélien, la loi de composition externe est la multiplication par un scalaire, scalaire pris sur le corps K considéré. Espace vectoriel (topologique) Sur un espace vectoriel de dimension finie sur R ou C, deux normes quelconques sont équivalentes. Une norme sur un espace vectoriel E est une fonction, x 7! kxk possédant les propriétés : — positivité : kxk > 0 pour x ¤ 0, k0k D 0 ; — transformation par les homothéties : kxk D jjkxk;  2 K ; — inégalité de convexité : kx C yk 6 kxk C kyk. La distance issue de la norme est la distance définie par d.x; y/ D kx