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Effet Stark différentiel sur la transition d’horloge
La différence d’énergie entre les deux niveaux |6S F=3, m =0>et 1/2 F
|6S1/2 F=4, mF=0> de l’atome non perturbé sert à définir la seconde (cf. Fig. 2-1). Nous présenterons dans ce paragraphe l’effet de la perturbation Stark sur cette transition dans les conditions expérimentales utilisées dans la fontaine atomique.
Dans la fontaine atomique, les atomes de césium soumis à un champ magnétique vertical B0. Ce champ sert à lever la dégénérecence entre les sous niveaux Zeeman afin de ne pas perturber la résonance sur la transition horloge. Nous appliquerons un champ électrique statique E pour étudier l’effet Stark. Dans la mesure où l’amplitude des perturbations engendrées par le champ électrique et le champ magnétique sont comparables, il est à priori nécessaire de les traiter simultanément. Nous expliquerons pourquoi il est en fait possible de traiter indépendamment les perturbation du champ électrique et du champ magnétique puis nous développerons le calcul de l’effet Stark sur la transition d’horloge.
Perturbation conjuguée des champs B et E
Nous avons vu au paragraphe 2.2 que l’hamiltonien d e l’atome de césium en présence d’un champ magnétique et d’un champ électrique s’écrit : HH0HBHE Equ. 2-17 et que les faibles valeurs de E et de B0 utilisées dans nos expériences permettaient de traiter le terme HB+HE comme une perturbation sur les états propre de H0.
La perturbation HB est développée au premier ordre alors queHE est développée au second ordre. En utilisant l’opérateur effectif HEE, nous pouvons traiter la perturbation du champ électrique comme une perturbation du premier ordre et il suffit alors de considérer la perturbation HB+HEE au premier ordre pour prendre en compte l’effet simultané du champ magnétique et du champ électrique. Compte tenu des ordre de grandeur de B0 et E, la perturbation HB+HEE peut être considérée comme diagonale en n,L,J. Considérons la diagonalisation de la perturbation HB+HEE dans le sous espace formé par les sous-niveaux |F, m > du niveau fondamental 6S . Dans la mesure où le F 1/2 terme H déplace pratiquement tous les niveaux |F, m > de la même fréquence (48 kHz EE F à quelques Hertz près), nous pouvons écrire HEE sous la forme :
H EE = – 21 E 2 × Id + H ‘EE . Equ. 2-18 Id est la matrice identité, et l’opérateur -½ E2 Id décrit le déplacement moyen de tous les sous niveaux de l’état 6S1/2. La valeur numérique de a été déterminée expérimentalement etthéoriquement (Ref. 38, Ref. 93 etRef. 40) : 5,8 x 10 -39 J/(V/m) 2 5 . Pour un champ électrique de 10 V/m, le déplacement moyen du niveau 6S1/2 vaut -48 kHz.. L’hamiltonnien H’ EE décrit les effets différentiels de la perturbation du champ électrique sur les états |F,mF>. Pour un champ électrique de 105 V/m, l’ordre de grandeur des déplacements de fréquence dus à H’ EE est de 2 Hz. Ecrivons alors la perturbation conjointe du champ magnétique et du champ électrique sous la forme :
H B H E H B 21 E 2 Id H ‘EE Equ. 2-19 La perturbation H’ EE est négligeable devant HB qui sépare les sous niveaux Zeeman de plusieurs kilohertz. Par ailleurs, l’opérateur identité n’affecte pas la diagonalisation. Il en résulte que c’est HB qui impose la diagonalisation de la perturbation HB+HEE. Nous pourront donc considérer l’effet du champ électriqu comme une perturbation sur les états propres |F,m > du hamiltonien H’ qui décrit l’atome de césium en présence d’un F 0 champ magnétique. :
H’0H0HB
et H H ‘0H EE .
Equ. 2-20
Pour des raisons de commodité, l’axe de quantification sera choisi parallèlement au champ B0.
Remarque : Les faibles valeurs des champs électriques utilisé dans nos expériences permettent toujours de considérer l’effet Stark comme une perturbation petite vis à vis de la structure hyperfine. On trouvera dans (Ref. 32) une étude théorique de l’effet Stark valable dans le cas où la perturbation Stark est du même ordre de grandeur que la perturbation de structure hyperfine.
Expression de la perturbation Stark
Nous noterons respectivement |3> et |4> les deux états propres |6S1/2 F=3, mF=0> et |6S1/2 F=4, mF=0> de l’atome de césium en présence du champ magnétique vertical B0. En présence d’un champ électrique E dirigé selon un vecteur unitairer , les perturbations sur les énergies W3 et W4 des niveaux |3> et |4> sont données par (cf. paragraphe 2.3.2) :
r r 2 D W3 = e 2 E 2 ∑ 3 × r n ‘ , L ‘ ,S ‘ J, ‘I, ‘F, m’, F ‘
W3 -W’
n ‘,L ‘,S ‘,J ‘
I ‘,F ‘,m ‘ F
E’¹E3 r r 2
D W4 = e 2 E 2 ∑ 4 × r n ‘ , L ‘ ,S ‘ J, ‘I, ‘F, m’, F ‘
W4 -W’
n ‘,L ‘,S ‘,J ‘
I ‘,F ‘,m ‘
E’¹E4 F
Equ. 2-21
En l’absence de champ électrique, la fréquence de al transition entre les sous niveaux |3> et |4> de l’état fondamental du césium vaut :
W W 0 = 4 h 3 , Equ. 2-22 où h est la constante de Planck. En présence d’un champ électrique E, les énergies associées au états |3> et |4> sont déplacées par feft Stark des quantitésW3 etW4. La fréquence0 de la transition horloge est perturbée de façon différentielle de la quantité 0W4W3 . Equ. 2-23
0 = k ´ E 2
Equ. 2-24
avec :
r r 2 r r 2 2 ∑ 4 × r n ‘ , L ‘ ,S ‘ J, ‘I, ‘F, m’, F ‘ 3 × r n ‘ , L ‘ ,S ‘ J, ‘I, ‘F, m’, F ‘
k = e – . W4 -W’ W3 -W’
n ‘,L ‘,S ‘,J ‘
I ‘,F ‘,m ‘
E’¹E4 F
Equ. 2-25
Le terme k dépend de l’orientation du champ électrique par rapport à l’axe de quantification. Nous détaillerons cette dépendancedans le §2.5. Dans la mesure où les deux niveaux |3> et |4> sont séparés par une énergitrès faible vis à vis de l’énergie qui A cause de la présence de B0, n’est pas exactement la fréquence qui sert à définir la seconde. Il est nécessaire de corriger du déplacement de fréquence lié à la perturbationinduite au second ordre par le champ B0 sur la transition |3> |4> (Dans les condition du §2.2 cette correction vaut seulement 1 mHz , ce qui nous a permis d’ignor er cette effet pour la discussion du §2.4.1).
les séparent des niveaux |n’,L’,S’,J’,I’,F’,m’ F> qui entrent en jeu dans la perturbation Stark,W4 etW3 diffèrent très peu, et est un déplacement très petit vis à vis de
n A titre indicatif nous donnons ci-dessous quelques ordres de grandeur :
Pour E 1000 V / cm
DW3 = -48 kHz
d 0 = -2 ,3 Hz
d 0 = – 2 ,5 ´ 1010 .0
Equ. 2-26
Couplages mis en jeux
L’expression (Equ. 2-21) prend en considération la somme de tous les couplages qui interviennent dans le déplacement d’énergie desniveaux |3> et |4>. En pratique, la plupart des termes de cette somme sont nuls. Dans ce chapitre, nous recenserons les termes de couplage non nuls et nous donnerons l’ord re de grandeur de leurs importances relatives. Eléments de matrice non nuls. Nous rappelons que le nombre quantique de spin S vaut ½ et que pour le césium, le nombre quantique de spin nucléaire I vaut 7/2. Nous rappelons par ailleurs que :
3 =
3 =
4 =
4 =
6 S1/2 , F = 3, mF = 0
n = 6, L = 0, S = 12 , J = 12 , I = 7 2 , F = 3, mF = 0 6 S1/2 , F = 4 ,mF = 0
n = 6, L = 0, S = 12 , J = 1 2 , I = 7 2 , F = 4 , mF = 0 Equ. 2-27
En utilisant les règles de sélection pour les couplages dipolaires électriques (Ref. 2), nous trouvons que : 6S , F , m r r n ‘ , L ‘ , 12 ,J ‘,72 ,F ‘m, ‘ ¹ 0
× r F
1/ 2 F n’³ 6 L’= 1
ou J ‘= 3 2
si J ‘= 12
F – F’= 0,±1
– m’F = 0 , ± 1 mF Equ. 2-28
Nous voyons que l’effet Stark sur les niveaux |3> e t |4> ne met en jeu que des couplages avec des états P pour lesquels L’=1.
Le niveau |3> est couplé avec les niveaux :
nP1/2 F=3, 4,et mF= -1,0,+1
nP3/2 F=2, 3, 4,et mF= -1,0,+1
avec n=6, 7, 8, …
Le niveau |4> est couplé avec les niveaux :
nP1/2 F=3, 4,et mF= -1,0,+1
nP3/2 F=3, 4, 5,et mF= -1,0,+1
avec n=6, 7, 8, …
Dans la suite, nous écrirons :
n ‘, L ‘= 1 ,S =’ 12 ,J ‘,I =’ 7 2 F, m’, F ‘ =
n P ‘ F , m’, ‘
J ‘ F
Table des matières
Première partie : Influence du rayonnement du corps noir sur l’exactitude des horloges atomiques au césium.
1. Introduction
2. Théorie de l’effet Stark
2.1 Présentation
2.2 Généralités sur l’atome de césium
2.3 Origine de l’effet Stark
2.3.1 Une interprétation classique
2.3.2 Approche quantique
2.4 Effet Stark différentiel sur la transition d’horloge
2.4.1 Perturbation conjuguée des champs B et E.
2.4.2 Expression de la perturbation Stark
2.4.3 Couplages mis en jeux
2.5 Influence de l’orientation du champ E
2.5.1 Une interprétation classique
2.5.2 Développement de l’opérateur dipolaire électrique
2.5.3 Développement sur la structure hyperfine
2.6 Application à la fontaine atomique
2.6.1 Transition horloge
2.6.2 Transitions entre sous-niveaux Zeeman
2.6.3 Discussion
3. Mesure expérimentale du déplacement de fréquence induit un champ électrique
3.1 Introduction
3.2 La fontaine atomique
3.2.1 Mode opératoire de F.O.1
3.2.2 Le piège magnéto-optique
3.2.3 Le lancement des atomes
3.2.4 Evolution spatiale du nuage d’atomes
3.2.5 Calcul théorique de la figure de franges de Ramsey
3.3 Dispositif pour générer un champ électrique statique.
3.3.1 description
3.3.2 calcul du champ électrique
3.3.3 Effets de bords
3.4 Mesure expérimentale de la constante k0
3.4.1 généralités
3.4.2 calcul de la frange de Ramsey en présence d’un champ électrique.
3.4.3 Décalage de la frange centrale
3.4.4 Loi quadratique du déplacement de fréquence avec le champ électrique
3.4.5 Mesure de k0 : méthode différentielle.
3.4.6 Méthode du champ pulsé
3.5 Sources d’erreurs
3.5.1 Extension spatiale du nuage d’atomes
3.5.2 Champ magnétique de mouvement.
3.5.3 Effet du gradient de champ électrique sur la trajectoire.
3.6 Mesure des constantes ki relatives aux sous niveaux Zeeman.
3.6.1 Rappel sur les sous niveaux Zeeman.
3.6.2 Principe de la mesure.
3.6.3 Procédure expérimentale
3.7 Bilan des mesures
3.7.1 Résultats
3.7.2 Résumé des incertitudes.
3.7.3 Intérêt de la fontaine atomique pour ces mesures
4. Application au corps noir
4.1 Introduction
4.2 Le rayonnement du corps noir
4.2.1 Le corps noir parfait
4.2.2 Le corps noir effectif
4.3 Effet du champ magnétique
4.4 Effet du champ électrique
4.4.1 Dépendance avec l’orientation du champ
4.4.2 Dépendance en fréquence
4.4.3 Expression générale
4.4.4 Evaluation simplifiée
4.5 Mesure directe de l’effet du corps noir
4.5.1 Principe du dispositif
4.5.2 Procédure expérimentale
4.5.3 Perspectives
Deuxième partie : Influence des sources laser sur la stabilité d’une horloge à atomes froids
5. Introduction
6. Le projet PHARAO
6.1 introduction
6.2 Le prototype d’horloge spatiale
6.2.1 Le banc optique
6.2.2 L’enceinte à vide
6.2.3 La chaîne de synthèse de fréquence
6.3 Premiers résultats expérimentaux
7. Limites de la détection optique dans une horloge atomique à atomes froids
7.1 Présentation
7.2 Influence du bruit de la détection sur la stabilité de l’horloge
7.2.1 Généralités
7.2.2 Sources de bruits
7.3 Dégradation du signal de détection par le bruit du laser
7.3.1 Théorie
7.3.2 Mesure expérimentale de l’influence du bruit du laser de détection sur la stabilité
8. Développement de sources laser à faible bruit
8.1 Le bruit des sources lasers
8.1.1 Généralités
8.1.2 Les lasers à semi-conducteur
8.2 Source laser à diode DBR et contre réaction optique
8.2.1 généralités
8.2.2 Propriétés de la rétroaction optique
8.2.3 Réalisation pratique
8.2.4 Asservissement électronique
8.2.5 Résultats en laboratoire
8.2.6 essais en vols paraboliques
9. Bilan du test pour l’ensemble du prototype PHARAO
9.1 Résultats
9.2 Perspectives
Conclusion
Annexe 1 : Stabilité et exactitude
Annexe 2 : Variance d’Allan
Annexe 3 : Transformation de Fourier
Références
