MODELISATION DE LA CONVECTION NATURELLE
INSTATIONNAIRE BIDIMENSIONNELLE INSTATIONNAIRE

 Position du problème et hypothèses simplificatrices 

Description du problème 

 Considérons un fluide newtonien caractérisé par son nombre de Prandlt Pr constant, initialement au repos à la température T1, confiné dans un espace délimité par deux sections carrées de côté a et b, de même centre O (fig.1). A partir d’un instant t supérieure à 0, les parois intérieure et extérieure sont maintenues à des températuresT1 et T2 respectivement. La longueur caractéristique est définie par la relation : D = b-a. Les parois étant différentiellement chauffées (T1 < T2), il se développe à l’intérieur de l’enceinte une convection naturelle thermique instationnaire que nous proposons de modéliser. Figure 1: Géométrie du problème Mémoire de 

Hypothèses simplificatrices 

Avant d’écrire les équations de transferts, nous allons d’abord énoncer les hypothèses simplificatrices : -Le fluide est newtonien. -L’écoulement est incompressible. – Le phénomène est symétrique par rapport à l’axe (Oy), les transferts sont bidimensionnels. -Les propriétés du thermophysiques fluide sont constantes, hormis sa masse volumique dans l’équation du mouvement dont les variations dues aux différences de température sont à l’origine du mouvement et obéissent à la loi linéaire de Boussinesq ρ = ρ0 [1 – β (T – T1)]. – Dans l’équation de la chaleur, on néglige la fonction de dissipation ainsi que l’effet de la pression et de rayonnement I.3) Système de coordonnées : Nous avons une symétrie par rapport à l’axe vertical (Oy). Figure II-2 : Représentation de la moitié de l’enceinte dans un système de coordonnées cartésiennes  II) Formulation mathématique du problème : Dans cette partie nous proposons un modèle physique avec des hypothèses simplificatrices ainsi que les conditions aux limites appropriées. 

 Formulation vectorielle 

Equation de continuité 

L’équation de continuité montre l’origine de la conservation de la masse d’un fluide en mouvement. Elle est définie par : div V ’= 0 (II-1) où V ’ est la vitesse d’un point fluide II 

Equation du mouvement 

Equation de la chaleur 

 L’équation de la chaleur est régie par l’équation :  : viscosité cinématique (m2S -1 )  : coefficient de dilatation thermique du fluide (K -1 )  : conductivité thermique du fluide (W m−1K −1 ) Cp : capacité calorifique massique du fluide à pression constante (J K −1kg−1 ) T : température du fluide (K) V : vitesse du fluide et (m S -2 ) g : accélération de la pesanteur (m s-2 )  : la diffusivité thermique (m2 s -1).

Vecteur Fonction de courant 𝚿 ′ 

À un temps fixé, les lignes de courant sont les lignes tangentes aux vecteurs vitesses V’ . Les lignes de courant et les trajectoires ne sont pas forcément confondues, sauf pour les écoulements stationnaires (∂V′ ∂t = 0) et certains cas particuliers (écoulements parallèles). D’après la définition de la fonction du nous pouvons écrire : V ’ =  ’ (II-4) II .1. 5) Vecteur de vorticité : La vorticité ’ est définie singulièrement sur le milieu du fluide. Sur les frontières, la valeur de la vorticité ’ est calculée directement à partir de l’équation de la vorticité en tenant compte des conditions aux limites sur la fonction de courant ’. Pour contourner donc ces problèmes, il est d’usage en mécanique des fluides, d’introduire les champs de courant – vorticité. Soit Ω′ le vecteur vorticité défini par : ′ =  V ′ (II-5) En appliquant l’opérateur rotationnel aux deux membres de l’équation du mouvement, nous obtenons, après calcul, l’équation suivante dite équation de la vorticité : ∂Ω ′ ∂t – {( Ω ’.grad ) V′ – ( V′ . grad ) Ω } = – grad (T-T0)  g +  Ω (II-6) II .2) Formulation Algébrique : Dans le système de coordonnées cartésiennes (x, y, z), les équations vectorielles projetées sur les lignes de coordonnées s’écrivent : 

Composantes de la vitesse 

Puisque que nous ne nous intéressons qu’au plan (ox, oy), alors le vecteur vitesse V’ s’écrit : V’ = V’x e x+ V’y e y (II-7) V’x et V’y étant les composantes du vecteur V’ respectivement suivant les axes ox et oy, nous obtenons alors V’x = ∂ ′ ∂y et V’y = − ∂ ′ ∂x (II-8) 

 Equation de la continuité 

En projetant l’équation de la continuité dans notre système de coordonnées, nous obtenons : ∂Vx ′ ∂x + ∂Vy ′ ∂y = 0 (II-9) II .2. 3) Equation de la chaleur : L’équation de la chaleur s’écrit : ∂T ∂t + V’x ∂T ∂x + V’y ∂T ∂y =  ( ∂ 2T ∂x2 + ∂ 2T ∂y2 ) (II-10) II .2. 4) Equation de la fonction de courant : L’équation de la chaleur s’écrit : ’ = – ( ∂ 2Ψ′ ∂x 2 + ∂ 2Ψ′ ∂y2 ) (II-11) I

 Equation de la vorticité 

L’équation de la vorticité s’écrit : ∂Ω′ ∂t + V’x ∂Ω′ ∂x +V’y ∂Ω′ ∂y =  ∂ ∂x (T-T0) g +  ( ∂ 2Ω′ ∂x2 + ∂ 2Ω′ ∂y2 ) (II-12) Pour compléter le système ci-dessus, nous allons lui adjoindre les conditions aux limites et initiales. II .3) Expressions des conditions aux limites : Au contact d’une paroi solide, on a la condition d’adhérence suivante : V’= V’paroi, cette condition est compatible avec l’expérience qui montre qu’une paroi imperméable (freine) ou (accélère) le fluide visqueux jusqu’à ce que celui-ci ait la même vitesse que la paroi. II .3.1) Conditions hydrodynamiques : Comme nos parois sont immobiles, rigides, lisses et imperméables, on peut alors écrire : V’x = V’y = 0 (II-13) II .3.2) Expressions des conditions aux limites de la vitesse : Sur toutes les parois, on a: V’y = V’x = 0 (II 14)

 Conditions aux limites de la fonction de courant 

 Sur les parois 1, 3,4 et 6 : 8 ’ = 0 (II-15) -Sur les parois 2 et 5 ’ = 0 (II-16) II .3.4) Conditions aux limites sur la température : – Sur les parois 1, 2 et 3, nous avons : T = T1 (II-17) – Sur les parois 4, 5 et 6, nous avons : T = T2 (II-18)

Conditions aux limites de la vorticité 

 Nous utilisons les valeurs de la fonction de courant par l’intermédiaire de l’équation de continuité pour écrire directement les conditions aux limites de la vorticité. -Sur les parois 1, 3,4 et 6, nous avons : On a : ’ = – ∂ 2Ψ′ ∂y2 (II-19) -Sur les parois 2 et 5, nous avons : ’ = – ∂ 2Ψ′ ∂x2 (II-20) -Sur l’axe de symétrie (x=0) : ( ∂T ∂x ) x=0 = ( ∂Ψ′ ∂x ) x=0 = ( ∂Ω′ ∂x ) x=0 = ( ∂Vx ′ ∂x ) x=0 = ( ∂Vy ′ ∂x ) x=0 = 0 (II-20a) ( ∂T ∂y ) x=0 = ( ∂Ψ′ ∂y ) x=0 = ( ∂Ω′ ∂y ) x=0 = ( ∂Vx ′ ∂y ) x=0 = ( ∂Vy ′ ∂y ) x=0 = 0 (II-20b) A ces équations ; il faut adjoindre les conditions initiales. II .4) Conditions initiales pour t= 𝟎 : pour t=0, nous imposons le choix conventionnel : ’ = ’= V’x = V’y = 0 et T = T1 (II-21) 

Adimensionnalisation des équations de transfert et des conditions aux limites 

 L’emploi des variables adimensionnelles dans les équations donnent une meilleure approche de l’existence effective des phénomènes physiques, car elles sont indépendantes du système d’unité de mesure utilisé pour les étudier. On peut dire aussi que ces variables permettent d’obtenir des informations générales, qui jouent un rôle prépondérant dans les similitudes. Pour ramener les équations précédentes à une forme adimensionnelle, il est nécessaire de définir des grandeurs de référence.