Modélisation Numérique

L’équation d’Orr-Sommerfeld déterminée dans chapitre précédent (soit écrite en fonction de l’amplitude de la vitesse transversale (2.32) ou soit en fonction de l’amplitude de la fonction de courant (2.34)), est une équation différentielle du quatrième ordre, fortement couplé donc difficile à résoudre analytiquement. L’utilisation des méthodes numériques s’avère indispensable. La modélisation numérique consiste en la recherche de solution à des problèmes analytiquement insolubles par des méthodes numériques. Dans ce présent travail, nous allons utiliser, la méthode de collocation (méthode dite « pseudo-spectrale ») dans le cas où les fonctions de bases sont des polynômes de Chebyshev pour approcher l’équation d’Orr-Sommerfeld par une équation équivalente sous forme matricielle. 

L’équation d’Orr-Sommerfeld

En substituant les équations linéarisées des amplitudes de contraintes issues de la loi de comportement équations (2.29) (2.30) et (2.31), dans l’équation d’Orr-Sommerfeld (2.34), il vient alors une équation beaucoup plus simple à analyser qui dépend uniquement de l’amplitude de la fonction de courant en plus des paramètres de contrôles (α, c, 𝑅𝑒 , 𝑊𝑒 , 𝜇𝑟 ), soit : 

Cette équation d’Orr-Sommerfeld prend en compte les effets de la vitesse d’écoulement transversal. C’est est une équation différentielle du quatrième ordre à coefficients non constants, il faut donc quatre conditions limites pour qu’une solution numérique et /ou analytique puisse être trouvée. L’atténuation des perturbations sur les plaques, c’est-à-dire l’annulation de la vitesse sur les plaques, permet d’obtenir quatre conditions associées à l’amplitude de la fonction de courant. 𝜑(±1) = 𝜑 ′ (±1) = 0 (3.2) Remarques : Le premier terme du membre de gauche de cette équation reflète la viscosité du fluide et s’annule lorsque 𝜇𝑟 = 0 c’est-à-dire lorsqu’on a un fluide de Maxwell. L’équation d’OrrSommerfeld (3.1) devient l’équation trouvée dans [8] : ∑ fkD 4 k k=0 }φ − iαS Re[ (ub − c)(D 2 − α 2 ) − Ub ′′]φ (3.3)

Le second terme du membre de gauche est relatif à l’élasticité du fluide et s’annule lorsque μr = 1, c’est-à-dire lorsqu’on a un fluide newtonien. L’équation (3.1) se réduit alors à l’équation d’Orr-Sommerfeld établie par Orszag (1971) [11] : [D 4 − 2α 2D 2 + α 4 ]φ − iα Re[ (ub − c)(D 2 − α 2 ) − Ub ′′]φ (3.4) Cette même équation est retrouvée si le nombre de Weissenberg We = 0, c’est-à-dire lorsque les effets élastiques sont absents (voir même très faibles) sur l’écoulement. We = 0 , alors S = 1 + iα𝑊𝑒(ub − c) se réduit à S = 1. En introduisant ce résultat dans les relations 𝑓𝑘, il vient que 𝑓0 = 𝛼 4 , 𝑓1 = 0 , 𝑓2 = −2𝛼 2 , 𝑓3 = 0 , 𝑓4 = 1. Ceci permet d’obtenir l’équation d’Orr-Sommerfeld (3.4).

L’équation aux valeurs propres

Le problème qui apparaît dans la modélisation des fluides viscoélastique si situe précisément au niveau du couplage entre le champ de vitesse et le tenseur des extra contraintes. Ceci apparaît dans l’écriture du second terme du membre de gauche de l’équation d’OrrSommerfeld (3.1) et fait intervenir dans les relations 𝑓𝑘 des termes en S −1 qui rendent difficile l’étude et la discrétisation de ce type de modèle. Une telle difficulté est surnommée problème à haut nombre de Weissenberg. Lorsqu’on considère la stabilité temporelle, l’équation d’Orr Sommerfeld modifiée (3.1) doit être résolue pour la vitesse de phase c, pour un nombre d’onde α réel et dans le sens de l’écoulement. Le problème temporel peut être écrit comme un problème de valeurs propres généralisé de la forme : Aφ = cBφ (3.5)