Propagation non linéaire des ondes acoustiques

Équations fondamentales de l’acoustique non linéaire

Les équations fondamentales de l’acoustique non linéaire sont introduites. Le développement de Taylor de l’équation d’état permet de définir le paramètre non linéaire B A .

Définition du paramètre non linéaire B/A

Le paramètre de nonlinéarité acoustique B A est le rapport des termes quadratiques et des termes linéaires dans le développement en séries de Taylor de l’équation d’état liant les variations de pression aux variations de masse volumique et décrivant la réponse d’un milieu aux sollicitations d’une onde acoustique. Ce rapport caractérise la variation de la vitesse du son du milieu induite par un changement de pression dans un liquide et de masse volumique dans un solide. Le processus de propagation d’une onde haute fréquence (pression p, masse volumique ρ ou vitesse particulaire v) pouvant être considéré comme un phénomène isentropique, le développement en séries de Taylor de l’équation d’état 

Équations de l’acoustique non linéaire 

Dans cette section, les équations fondamentales de l’acoustique non linéaire appliquées aux fluides et aux solides vont être introduites. L’étude dans les fluides va nous permettre d’effectuer une analogie dans les deux milieux et de définir un coefficient non linéaire dans les solides isotropes. 

Application aux fluides 

La description du mouvement d’une onde dans un fluide repose sur deux types d’équations : les lois de conservation qui traduisent les hypothèses générales de la physique et les lois d’état caractéristiques de la nature du fluide étudié. Pour un fluide thermovisqueux, les équations sont les suivantes : – l’hypothèse de conservation de la masse : Dρ Dt + ρ∇ · v = 0, (I.1.18) où ρ est la masse volumique du fluide et v est la vitesse du fluide. – le principe de conservation de la quantité de mouvement : ρ Dv Dt = ∇ · σ,

Application aux solides 

Dans cette section, le milieu de propagation est supposé continu et parfaitement élastique. Soit ai les coordonnées d’un point matériel du solide au repos correspondant à l’état initial. Lorsque le corps subit une déformation, les distances entre les points varient. Considérons deux points quelconques infiniment proches ; avant la déformation, si un élément du solide a une longueur ds0 alors, dans le corps déformé, elle deviendra ds. On définit alors le tenseur des déformations ǫik par la relation : ds2 − ds2 0 = dxjdxj − dajdaj = 2ǫikdaidak, (I.1.41) soit ǫik = 1 2 ∂ui ∂ak + ∂uk ∂ai + ∂uj ∂ai ∂uj ∂ak ! , (I.1.42) où u est le vecteur déplacement de composantes ui . Le tenseur ǫik est appelé tenseur de déformation et de part sa définition même, ce tenseur est symétrique ǫik = ǫki. Comme pour un fluide, l’étude de la propagation d’une onde élastique dans un solide est régie par des lois de conservation (masse, mouvement, énergie) et par une loi d’état caractéristique de la nature du solide. – l’hypothèse de conservation de la masse : J =      ∂xj ∂ai      = ρ0 ρ , (I.1.43) où J est le déterminant du Jacobien de la transformation ponctuelle permettant le passage d’un système de coordonnées dans l’état initial à celui dans l’état déformé. ρ0 et ρ sont les masses volumiques respectivement dans l’état initial et dans l’état déformé