Quelques notions de géométrie

Introduction La géométrie déférentielle sur une surface bidimensionnelle émergée dans un espace tridimensionnel est riche en idées et admet une vaste généralisation pour une surface multidimensionnelle [4, 5, 7, 8]. Nous considérons dans ce chapitre quelques notions fondamentales nécessaires pour traiter les chapitres suivants. Nous nous concentrons essentiellement sur la géométrie de Gauss. Nous commençons par la première forme quadratique qui introduit une métrique. Puis, la deuxième forme quadratique qu’ion utilise pour calculer la courbure de lignes se trouvant sur la surface. Nous introduisons les formules de Gauss et de Weingarten qui décrivent la relation entre la première et la deuxième forme. Nous exposons également le tenseur de Riemann et ses propriétés, nous déduisons le tenseur de Ricci et le scalaire de courbure. Nous donnons la relation entre le scalaire de courbure et la courbure de Gauss. Pour éclaircir ces notions, nous considérons, ‡ travers ce chapitre, l’exemple d’une surface sphérique bidimensionnelle plongée dans l’espace R 3 . 2.2 Surfaces dans R 3 Il existe déférentes façons de représenter une surface 2-dimensionnelle (S) dans l’espace 3-dimensionnel R 3 . Lune est la représentation familière dans laquelle la surface est dénie via une équation de la forme f(x; y; z) = 0, o˘ x; y et z exprimant les coordonnées cartésiennes et f est une fonction scalaire. On peut également représenter une surface avec les coordonnées cartésiennes x; y et z comme étant des fonctions réelles de deux paramètres réels indépendant q 1 et q 2 parcourant un domaine U  R 2 ; 8 >>< >>: x = x (q 1 ; q2 ) y = y (q 1 ; q2 ) z = z (q 1 ; q2 ); (2.1) Ici les lettres supérieures sont des indices, pas des exposants.  

Deuxième forme quadratique

Les combinaisons linéaires des vecteurs r1 et r2 peuvent Ítre utilisées pour exprimer tous les vecteurs tangents ‡ (S) en P. Ils forment donc naturellement une base pour ces vecteurs. Cela signifie que le plan tangent ‡ (S) en P est engendré par ces vecteurs. Lorsqu’un vecteur n perpendiculaire ‡ (S) en P est ajouté ‡ la base naturelle considérée, on obtient une autre base pour R 3 . De cette façon, au moins les points dans le voisinage immédiat de la surface (S) peuvent être exprimés en utilisant cette base. On peut introduire le vecteur unitaire normal n ‡ la surface (S) au point P qui peut être déterminé comme le produit vectoriel des vecteurs de base du plan tangent ; 

Relations entre la première et la deuxième forme quadratique

Formules de Gauss et de Weingarten

Les formules ainsi dénommées décrivent la variation des vecteurs ri i = 1; 2 et n lorsque le point P se déplace sur la surface (S), tout comme les formules de Frénet. Puisque ces vecteurs sont linéairement indépendants, on peut exprimer alors les dérivées de ces vecteurs comme combinaisons de ces mêmes vecteurs avec des coefficients qui sont fonctions des coefficients 2.5 Relations entre la première et la deuxième forme quadratique 13 de la première et la deuxième forme quadratique.