Sur les équations de Saint Venant,Modélisation et
Étude Numérique

Introduction Générale 

 L’étude mathématique des écoulements à surface libre en régime transitoire n’est pas une discipline scientifique récente. Elle a débute il y a déjà plus de 200 ans lors de l’essor de l’ensemble des théories mécaniques, avec les travaux de Laplace en 1776 et de Lagrange vers 1781 sur la propagation des ondes à la surface des canaux.Dés 1871, Barre de Saint-Venant a formulé Mathématiquement, par un système d’équations différentielles,le mouvement des eaux à surface libre pouvant faire l’objet d’une discipline filaire.Ces équations servent de base aux modèles mathématiques d’écoulement à surface libre en canaux, en rivière…etc. Le système de Saint-Venant est un système hyperbolique,introduit à la fin du dix neuvième siècle par Jean-Claude Adhemar Barre comte de Saint-Venant. Ce dernier fut admis à l’age de 15 ans à l’École Polytechnique, et entra ensuite à l’École des Pont et chaussées dont il sortit majore en 1825.Il présenta en 1834 deux études à l’Académie des Sciences,sur la mécanique théorique et la dynamique des fluides. Après une carrière au Service Technique de la ville de Paris,il consacra sa retraite à ses recherches scientifiques et entra à l’Académie des Sciences en 1868.Il mourut en janvier 1886.Les équations désormais appelées « de Barré de Saint-Venant »,publiées en 1871, sont encore aujourd’hui d’une extrême importance en hydraulique maritime ou fluviale, elles régissent les écoulements à surface libre en eaux peu profondes, d’où leur appellation anglaise « shallow water équations ».On les obtient à partir des équations de Navier-Stokes, à l’aide d’hypothèses simplificatrices. Du fait de leur validité expérimentale et de leur efficacité numérique largement reconnues, les équations de Saint-Venant sont aujourd’hui très utilisées pour la simulation de nombreux phénomènes d’actualité :pollution environnementale,protection de l’environnement,catastrophe naturelle,évolution climatique,calcul des marées,rupture de barrage,sédimentologie,étude des crues… Pour ce phénomène,toute expérimentation en vraie grandeur reste difficile,voire impossible à réaliser.Pour comprendre ces phénomènes,une maitrise de la mécanique des fluides à surface libre est donc indispensable.Des approches de maitrise passent d’abord par l’étude de ces phénomènes sur des maquettes et des modèles physiques. Ces derniers, et avec le développement intensif des moyens de calcul, ont progressivement cédé du terrain face à la modélisation numérique. Aujourd’hui,l’ordinateur est un outil incontournable d’investigation numérique sur les modèles physiques,bien qu’il reste indispensable dans quelques domaines clés comme les évacuateurs de crues et la stabilité des digues,il est devenu sur d’autres sujets un outil de validation. Les écoulements instationnaires dans les canaux et rivières regroupent un certain nombre de phénomènes naturels très complexes,en particulier la propagation des ondes qu’elles soient de gravite ou de crues. Pour modéliser ces composantes d’écoulements,nous utilisons le modèle de Saint-Venant(shallow water équations ).Celui-ci s’applique à des écoulements pour lesquels une des dimensions est nettement inférieure aux deux autres.Les océans correspondent assez bien à cette réalité puisque leur profondeur,qui est en moyenne d’environ 4 kilométrés,est bien inférieur à leur largeur qui se mesure en millier de kilomètres. L’avantage de ce modèle, c’est qu’il permet de passer d’un domaine spatial tridimensionnel à un domaine spatial bidimensionnel. Ceci représente un gain énorme en terme de cout de calcul.Ce gain a un prix,les phénomènes qui sont fondamentalement tridimensionnels ne peuvent pas être modéliser adéquatement.De plus,le choix d’une méthode numérique efficace et précise pour la résolution des équations de Saint-Venant n’est pas facile. Dans le cas de la simulation des ondes de gravité,le système d’équation admet une solution exacte et le résultat obtenu est comparé avec le résultat numérique.En général,les systèmes d’équations représentant les problèmes étudiés ne possèdent pas une solution analytique.Nous avons donc recours à des méthodes numériques pour résoudre les équations. La méthode numérique que nous allons adopter est la méthode des volumes finis.Mais il existe d’autres méthodes numériques utilisées,comme la méthode des différences finis, la méthode des éléments finis. Ce mémoire regroupe en plus d’une introduction générale,quatre parties rédigées sous forme de chapitres. Dans le premier chapitre,nous présentons une généralité sur les différents paramètres caractéristiques des écoulements ainsi que la forme et la nature des canaux qui les contient, et on terminera par un aperçu sur la notion d’onde de gravité et les écoulements avec onde. Dans le chapitre deux, un modèle mathématique a été développé pour décrire les équations.Les équations de Saint-Venant,qui constituent la base de notre étude sont obtenues à partir des équations de Navier-Stockes en utilisant un certains nombres des hypothèses. Au chapitre trois, nous allons présenter la discrétisation des équations de Saint-Venant,dans le but de les résoudre en utilisant la méthode des Volumes finis. Le chapitre quatre,est consacré à l’interprétation des résultats relatifs à une simulation numérique avec le modèle élaboré. Nous terminerons par une conclusion générale pour compléter ce modeste travail. 

 L’hydraulique est un élément indispensable à la vie. Les observations effectuée sur les écoulements ont produit une somme considérable d’appréciations qualitatives et quantitatives que les progrès de l’informatique ont pu, ces derniers décennies,mettre sous forme numérique. L’hydraulique traite,entre autre,des écoulements dans les canaux naturels et artificiels ayant une surface libre soumise à la pression atmosphérique. Dans ce chapitre, nous essayons de donner une vue générale sur les différents types de canaux,les caractéristiques et la classification des écoulements à surface libre.Nous aborderons quelques notions fondamentales nécessaires à l’étude des écoulements à surface libre.Puis nous allons souligner plus spécifiquement les divers types des écoulements. 1.2 définition de l’écoulement à la surface libre L’écoulement à surface libre fait partie de l’écoulement gazeux-liquide ou liquide-liquide. La modélisation de ce système d’écoulement nécessite un découpage du domaine global de calcul en deux sous domaine non miscible séparé par une interface bien définie qui présente la surface libre. 

 les canaux

Définition On appelle canal un système de transport dans lequel l’eau s’écoule et dont la surface libre est soumise à la pression atmosphérique. On distingue cependant les canaux prismatiques et non prismatiques.En effet lorsque la section,la pente de fond,la rugosité d’un canal sont constantes,le canal est dit prismatique,sinon il est non prismatique. 

Type des canaux

On distingue deux catégories de canaux suivant les propriétés géométriques et hydraulique. 

Les canaux naturels

Les canaux naturels sont les cours d’eau qui existent naturellement sur terre,tels que les rivières,ruisselets,fleuves et estuaires.Les propriétés géométriques et hydrauliques des canaux naturels sont généralement assez irrégulières.L’application de la théorie hydraulique ne donne que des résultats approximatifs moyennant certaines hypothèses(Figure 1.1).

Les canaux artificiels

Ce sont des cours d’eau réalisés par l’homme tel que les canaux découverts construits ou ras de sol,les galeries, les tuyaux de drainages…etc.Autrement dit,la plupart des ouvrages de ce type utilisés dans la pratique hydrotechnique et d’aménagement des eaux.Les propriétés hydrauliques et géométriques des canaux artificiels sont généralement assez régulières.L’application de la théorie hydraulique donne souvent des résultats satisfaisants(Figure 1.2). 

 Onde de gravité 

Les types d’écoulements dans les canaux L’écoulement de l’eau dans un lit est appelé à surface libre,il a lieu sous l’action des forces de gravité et est caractérisé par une présence obligatoire d’une surface libre du courant. Il faut souligner que l’écoulement de l’eau libre est un phénomène beaucoup plus complexe que l’écoulement en charge parce qu’une telle surface entraine des variations des sections liquides suivant la longueur du courant même en présence d’obstacles insignifiants.Les écoulements peuvent être repartis suivant plusieurs paramétrés comme le temps,l’espace,la rugosité,..etc.Cette répartition donne les différents types suivants : -Permanent ou non permanent si le paramètre est le temps -Uniforme ou non uniforme si le paramètre est l’espace -Torrentiel ou Fluviale selon Froude -Laminaire ou Turbulent selon Reynolds.  Les écoulements non permanents se manifeste par des ondes de gravité à leur surface,c’est une caractéristique des écoulements variables dans le temps. 

Célérité d’onde

 La célérité d’onde est la vitesse de l’onde par rapport au niveau normal du liquide dans le canal. Dans un canal avec écoulement non uniforme dans le temps se manifeste par une onde gravitée à la surface libre.La théorie hydrodynamique pour les ondes de faible amplitude,donne pour la vitesse apparente de propagation,également appelée célérité d’un intumescence :

 Onde de gravité 

Figure 1.3 – schema d’une onde dans un canal C 2 = gL 2π tanh( 2πh L ) (1.1) Où : h est la profondeur d’eau, la célérité ne dépend pas de la chaleur d’onde h.Cette formule dépend de : -Pour les ondes courtes ou ondes de grande profondeur( L H ≺ 1), on a : C 2 = gL 2π -Pour les ondes longues ou ondes de faible profondeur( L H  1), on a : C 2 = gh. -Pour une section quelconque, on a C 2 = gDh ; selon cette expression de c, la célérité peut avoir deux valeurs égale en valeur absolue.Cela indique tout simplement que la propagation de l’onde peut s’effectuer dans deux directions opposées X−etX+. 

Écoulement avec onde 

La relation C 2 = gDh a été démontrée par Lagrange pour un canal rempli d’eau au repos.Elle reste cependant valable même dans le cas où l’eau est en mouvement ; l’onde qui se superpose à ce courant est donnée par : Cw = V + C appelée célérité absolue. La célérité absolue Cw représentant la vitesse par rapport au fond du canal valeurs qui sont : C 0 w = V + p gDh (1.2) 

Conclusion 

V : vitesse moyenne d’écoulement dans le canal,on distingue trois cas : .1 ercas : V ≺ C, où l’onde avec la célérité C 0 w se propage vers l’aval et avec C 00 w se propage vers l’amont.c’est le régime fluvial. · 2 emecas : V  C, où l’onde avec C 0 w se propage vers l’aval et celle avec C 00 w se propage aussi vers l’aval : c’est le régime torrentiel. · 3 emecas : V = C, où l’onde avec la célérité C 0 w se propage vers l’aval et ou celle avec C 00 w reste stationnaire : c’est le régime critique hc = h 1.6 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons donné quelques notions sur les caractéristiques et la classification des écoulements à surface libre pour différents types des canaux,ainsi que la répartition des ondes.