Système hyberbolique couplé

On a pour l’instant traité des modèles simplifiés afin de comprendre l’intérêt des méthodes de raffinement pour l’équation de transport et d’analyser certaines propriétés. La discrétisation énergétique était réalisée avec un seul groupe ce qui n’est évidemment pas le cas dans les calculs de cœur. En introduisant la dimension énergétique, on s’intéresse au problème modèle 2 : Problème modèle 2 : Système d’équations de transport couplées ( Φe = Ae  CΦe + Q  sur D Φ = ΦBC sur ∂D− (3.1) Remarque 3. Les notations “tilde” sont utilisées afin d’avoir des notations cohérentes avec Section 3.5. Remarque 4. Notons bien que l’on s’est affranchi de la variable angulaire afin de définir le problème modèle 2. Ainsi, les estimateurs et l’erreur sont des quantités indépendantes de l’angle définies de la même manière que le flux scalaire c’est-à-dire : (E) g = X n wnE g n (3.2) (e) g = X n wne g n (3.3) Les estimateurs d’erreur ont été dérivés sur Eq. 1.21 (modèle 1) et ne prennent donc pas en compte le couplage entre les groupes dû à la matrice noté C. Ils représentent la distance entre un flux exact Φb et un approché Φ kEk = Φb − Φ o`u Φb et Φ satisfont Φb = Ae (CΦ + Q) (3.5) Φ = A (CΦ + Q) (3.6) avec A opérateur discret correspondant à la discrétisation de l’opérateur continu Ae défini par Eq. 1.26. L’estimateur n’est donc plus directement relié à l’erreur mais on a : e = Φe − Φ = Φe − Φb + Φb − Φ = ACe e + E (3.7) E =  I − ACe  e (3.8) La matrice C contient les différentes sections efficaces et Ae la section efficace totale. Ainsi, la somme des sections efficaces étant inférieure à la section totale, on assure que le rayon spectral de ACe est inférieur à 1. Alors, Eq. 3.7 implique :  1 − ρ(ACe )  kek ≤ kEk (3.9) kek ≤ 1 1 − ρ(ACe ) kEk (3.10) Si l’on raffine de sorte à faire décroitre le maximum de l’estimateur sur tous les groupes grâce à Eq. 3.11, on assure la décroissance de l’erreur et donc la convergence du système. On peut donc utiliser toutes les méthodes vues précédemment afin de conduire le raffinement sur un cas réaliste. Cette comparaison est faite Section 3.1 sur le cas ZONA2B présenté Figure 1.4 avec 33 groupes énergétiques et 12 directions spatiales (quadrature S4). On verra ensuite que l’allure de la solution est différente suivant l’énergie et que l’on peut donc avoir intérêt à proposer des maillages spatiaux différents suivant les groupes énergétiques. On modifiera alors les estimateurs présentés Chapitre 2 afin de prendre en compte le couplage entre les groupes et de proposer une discrétisation spatiale différente suivant l’énergie tout en assurant la convergence. Remarque 5. Toute l’étude théorique est faite pour la résolution d’un problème à source (problème modèle 2). Par contre, les résultats sur ZONA2B sont extraits du papier de la conférence M&C présenté en Annexe 3 et concernent donc un problème aux valeurs propres. Même si l’on ne possède pas de résultats théoriques sur ce problème, on a effectué le raffinement en prenant le maximum sur les groupes sans observer de problème additionnel.

Utilisation d’un seul maillage

Dans un premier temps, on utilise le même maillage pour tous les groupes énergétiques. Le raffinement d’une cellule K⋆ est effectué si : max g ′ E g ′ (K⋆ ) > α max g ′ max K E g ′ (K) (3.11) Eq. 3.11 est l’équivalent d’Eq. 1.50 lorsque la discrétisation énergétique comprend plusieurs groupes. Elle nous donne un moyen de mener le raffinement lorsque le découpage énergétique comprend plusieurs groupes. On peut donc tester les différentes stratégies présentées Section 2.2 sur un cas réaliste (ZONA2B) et comparer les résultats aux différents cas simplifiés étudiés. 105 106 10 3 10 2 Degrees!of!Freedom ε f AMR!p Refinement AMR!h Refinement!(p=1) AMR hRefinement (p=2) Uniform pRefinement Uniform hRefinement (p=1) Uniform hRefinement (p=2) Figure 3.1: Erreur sur le flux en norme L 2 en fonction de dof pour les stratégies adaptatives et uniformes sur le cas ZONA2B Figure 3.1 présente la convergence en norme L 2 en fonction des degrés de liberté suivant la stratégie utilisée. Pour les stratégies adaptatives, ER est utilisé pour raffiner et la constante α d’Eq. 3.11 est fixée à 0.5. Remarque 6. Nous avons vu Chapitre 2 que l’estimateur EF V était plus adapté pour mener le raffinement. L’utilisation de ER ici est due à la chronologie de la thèse. Nous avons tout d’abord dérivé l’estimateur ER pour faire du h− et du p−raffinement puis l’estimateur EF V est venu plus tard dans une logique de méthodes plus précises dans les cas de faible régularité puis pour la mise en place de méthodes hp. On note l’intérêt des stratégies adaptatives en comparaison au raffinement uniforme ce qui montre que l’estimateur permet de bien localiser les zones o`u l’erreur est importante. Pour les différentes stratégies adaptatives, on note comme dans les cas MMS, l’intérêt d’augmenter l’ordre au moins jusqu’à deux avant de faire du h−raffinement et l’avantage du p−raffinement pour de faibles valeurs de p. On teste les différentes stratégies hp sur ce cas. On représente Figure 3.2 l’erreur pour différentes stratégies hp. Les stratégies à 2 estimateurs présentées Table 2. and 2.3, la méthode basique (Table 2.2) et la méthode type-parameter décrite Section 1.3.3 avec γ = 0.6. Si l’on voit clairement l’intérêt d’augmenter l’ordre pour de faibles valeurs de p rendant la stratégie hp2E peu efficace, les autres critères permettant de choisir entre h et p ont des performances proches. Finalement, dans les cas réalistes, une stratégie basique paraît suffisante afin de choisir entre les deux types de raffinement. On peut aussi utiliser ce cas réaliste pour mesurer les améliorations induites par les stratégies hp sur le temps de calcul (Figure 3.2 (droite)). Les conclusions sont assez similaires à celles faites en fonction de dof. On peut seulement noter que le p−raffinement devient encore plus désavantageux au regard du temps lorsque p devient trop grand. En effet, une augmentation de l’ordre entraîne une augmentation de la taille des matrices à inverser sur chaque cellule alors qu’un raffinement en espace ne fait qu’augmenter le nombre de systèmes à inverser. Ainsi, la dépendance entre le temps et les dof est théoriquement linéaire pour le h−raffinement contrairement au p−raffinement. Les conclusions sont identiques lorsque l’on considère un cas 3D (Figure 3.3). Le surcoût dû au grandes valeurs de p est encore plus important particulièrement au niveau du temps de calcul. Un phénomène qui peut paraître surprenant est que le temps de calcul du p−raffinement est équivalent avec adaptation ou avec un raffinement uniforme. Deux phénomènes expliquent cette observation. Le maillage initial comporte peu de mailles, du coup de nombreuses cellules sont raffinées ce qui peut conduire à un comportement proche d’un raffinement uniforme. Cependant, en terme de degrés de liberté, le raffinement adaptatif était tout de même meilleur, il existe donc une autre explication. Un aspect qui engendre un surcoût important pour les méthodes adaptatives sont les projections entre les cellules. En effet, à mesure que l’écart entre les ordres des cellules voisines augmente, le coût de projection de la trace augmente. C’est une limite supplémentaire du p−raffinement : ces performances sont fortement dépendantes du maillage et un maillage initial trop grossier induit des pertes de performances en conduisant à des ordres très élevés dans certains cellules. Pour obtenir le maillage présenté Figure 1.4, on a créé une routine qui transforme le maillage conforme traditionnellement utilisé pour décrire les cœurs (voir Section 3.5) en un maillage nonconforme. Le maillage ainsi obtenu est le plus grossier possible afin de décrire encore la géométrie. Il est intéressant lorsqu’il est utilisé avec des méthodes de raffinement en espace, par contre, le raffinement en ordre uniquement peut poser des problèmes.Intérêt de maillages spatiaux dépendant de l’énergie Figure 3.4 représente le flux dans 2 zones énergétiques différentes pour le cas ZONA2B. On remarque que l’allure du flux est totalement différente et qu’il n’y a donc a priori aucune raison d’utiliser le même maillage spatial. On peut donc penser dans ce cas à raffiner une cellule K⋆ du groupe g si : E g (K⋆ ) > α max g ′ max K E g ′ (KOn présente Figure 3.5 la convergence sur le flux et la valeur propre keff si l’on raffine en utilisant Eq. 3.12. Pour le flux, on ne remarque pas d’amélioration de la convergence et c’est encore pire sur le keff o`u la convergence est dégradée. Cela est dû au fait que l’on ne prend plus en compte le couplage entre les groupes présenté Eq. 3.8. Si l’approche avec un seul maillage permettait de garantir la convergence grâce au maximum sur les groupes, ce n’est plus le cas maintenant. On ne peut donc pas utiliser directement nos estimateurs pour mener un raffinement dépendant de l’énergie