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Rappels sur les systèmes dynamiques

Cette section est dédiée à rappeler quelques généralités à propos de systèmes dynamiques et de leur stabilité. Les définitions et propriétés exposées ici peuvent être retrouvées dans l’ouvrage [84].

Représentation d’état et condition d’existence et unicité

Nous nous intéressons aux systèmes dynamiques qui sont modélisés par un nombre fini d’équations différentielles ordinaires du premier ordre couplées.
Définition 1 (Représentation d’état) On appelle l’équation 1.6 représentation d’état en définissant x comme l’état du système et u comme l’entrée.
L’équation d’état est souvent associée à une équation supplémentaire : y = h(t, x, u) (1.7)
Cette équation définit un vecteur de sortie y de dimension q correspondant en général à des variables d’intérêt pour le système (variables mesurables dans la réalité ou présentant un comportement d’intérêt). En général, nous pouvons considérer des systèmes sous une forme n’incluant pas explicitement des entrées : x˙ = f(t, x). (1.8)
Cela ne signifie pas nécessairement que les entrées du système sont considérées comme nulles, mais qu’elles peuvent être écrites comme une fonction du temps u = γ(t), ou comme un retour d’état u = γ(x), ou les deux u = γ(t, x).
Certaines propriétés, comme l’existence et l’unicité sont fondamentales pour les solu-tions d’équations différentielles ordinaires. Elles sont essentielles pour qu’un modèle ma-thématique sous forme d’équation d’état puisse être utilisé. En effet, pour qu’un modèle mathématique puisse prédire les états futurs d’un système, à partir d’un état x0 au temps t0, le problème aux valeurs initial ˙ t, x) , t 0) = x0 (1.9) x = f( x( doit avoir une unique solution.
Théorème 1 (Existence et unicité globale ([84], Page 93)) Supposons que f(t, x) est continue par morceau en t et k-lipschitzienne en x pour tout t ∈ [t0, t1].
Alors, ˙ f( t, x), t 0) = x0, a une unique solution sur l’équation d’état x = avec x( t ∈ [t0, t1].
Nous ne considérons dans la suite que des fonctions supposées comme k-lipschitziennes et continues par morceau en t.

Système autonome, stabilité de Lyapunov, et principe d’invariance de LaSalle

Dans cette partie, nous présentons quelques rappels sur la stabilité au sens de Lyapunov pour des systèmes dynamiques autonomes, de la forme x˙ = f(x) (1.10) où f : D → Rn est localement lipschitziennes et où le domaine de définition D est un ouvert de Rn. Contrairement aux systèmes linéaires, il existe plusieurs définitions de stabilité de plus en plus contraintes. Ces notions de stabilité se définissent autour d’un point d’équilibre xeq ∈ D tel que f(xeq) = 0. Sans perte de généralité, nous pouvons nous ramener à l’étude d’un système tel que le point d’équilibre est zéro. En effet, en posant le changement de variable z = x−xeq, nous pouvons ainsi définir un système z˙ = g(z) dont le point d’équilibre est le point à l’origine : z˙ = x˙ Def g(z), où g(0) = 0. (1.11) = f(z + xeq) .
Ainsi, les définitions et propriétés présentées dans cette section seront appliquées à des sys-tèmes tels que le point d’équilibre est le point à l’origine.
Théorème 2 (Théorème de stabilité de Lyapunov ([84], Page 114)) Soit x = 0 un point d’équilibre du système 1.10 et D ⊂ Rn un domaine contenant x = 0. Considérons la fonction V : D → R continûment différentiable, telle que (i) définie positive V (x) = 0 ⇔ x = 0 et V (x) > 0 ∀x ∈ D (1.15) ˙ ≤ 0 ∀x ∈D−{0}. (1.16)
(ii) V (x)
Alors, x = 0 est stable. De plus, si ˙ < 0 ∀x ∈ D − {0}, (1.17) V (x) alors, x = 0 est asymptotiquement stable.
La figure (1.2) illustre le théorème de Lyapunov pour les cas de stabilité simple et de stabilité asymptotique.
Une question immédiate est celle de la stabilité asymptotique globale : l’état tend-il ˙ ∀x ∈ vers l’équilibre ? Un contre exemple simple peut montrer que l’hypothèse V (x) < 0 n asymptotique globale. En effet, consi-dérons la fonction de Lyapunov telle que V (x) = + x2 et telle que V < 0 sur tout 1+x12 l’espace Rn. Dans ce cas, il est possible de trouver des configurations telles que V → 1 et ||x|| → +∞. Ce constat conduit à l’ajout d’une hypothèse supplémentaire pour obtenir le théorème suivant (voir [84], Page 114).
Théorème 3 (Stabilité asymptotique globale ([84], Page 124)) Soient x = 0 un point d’équilibre du système 1.10 et la fonction V : Rn → R continûment différentiable telle que
(i) (définie positive) V(0)=0 et V (x) > 0 ∀x 6= 0 (1.18)
(ii) (radialement non bornée) ||x|| → ∞ ⇒ V (x) → ∞ (1.19)
(iii) ˙ ∀x ∈ D − {0}, (1.20)
V (x) < 0 alors, le point x = 0 est globalement asymptotiquement stable.
La fonction V ne répond pas toujours à toutes les hypothèses nécessaires pour établir le théorème de Lyapunov. Dans ce cas, il est encore possible de mettre en évidence cer-taines propriétés grâce au principe d’invariance de LaSalle. Afin de présenter ce théorème, quelques définitions sont nécessaires. Un ensemble M est dit invariant selon le système dynamique 1.10 si x(0) ∈ M ⇒ x(t) ∈ M, ∀t ∈ R. (1.21)
Ainsi, si une solution est dans M à un certain moment, alors elle est nécessairement dans pour tous les temps futurs et passés. Un ensemble M est dit positivement invariant selon le système dynamique 1.10 si x(0) ∈ M ⇒ x(t) ∈ M, ∀t ≥ 0. (1.22)
Ainsi, si une solution est dans M à un certain moment, alors elle est nécessairement dans pour tous les temps futurs. On dit aussi que x(t) tend vers M quand t tend vers l’infini, si pour tout > 0, il existe T > 0 tel que dist(x(t), M) < , ∀t > T (1.23) où dist(p, M) désigne la distance d’un point p à l’espace M, représentant la plus courte distance entre p et tout point de M, c’est à dire, dist(p, M) = inf ||p − x||. (1.24) x∈M
Théorème 4 (Principe d’invariance de LaSalle ([84], page 128)) Soient ⊂ D, un ensemble compact positivement invariant selon (1.10), V : D → R, une fonction continûment différentiable telle que V˙ (x) ≤ 0 sur Ω, E le sous-espace de Ω où V˙ (x) = 0 et M le plus grand sous-espace invariant de E. Alors, toute solution partant de Ω tend vers M quand t → ∞.
Dans ce cas, on ne parle plus de stabilité à proprement parler, mais de convergence. L’intérêt de ce principe est qu’il peut s’appliquer à une fonction V qui n’est pas définie positive.

Système entrée/sortie et passivité

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des systèmes ouverts possédant p entrées de contrôle et p sorties associées. Ils peuvent se mettre sous la forme de représentation d’état suivant : ( x˙ = f(x, u) (1.25) y = h(x, u) où x ∈ Rn, u ∈ Rp et y ∈ Rp sont respectivement les vecteurs d’état, d’entrée et de sortie du système. Le théorème de stabilité de Lyapunov ne s’applique que rarement dans ce cas-là (u constant par exemple). La passivité fournit un outil puissant pour l’analyse des systèmes non linéaires ouverts.
Définition 3 (Système passif ([84], Page 236)) Le système 1.25 est dit passif s’il existe une fonction différentiable semi-définie positive V (x) telle que u T ˙ = rV (x) T f(x, u), ∀(x, u) ∈ R n p , (1.26) y ≥ V × R où rV (x) est le gradient de V au point x.
Dans ce cas, V est appelée fonction de stockage. Cette définition montre qu’un système passif ne peut alimenter la fonction V que par le biais des ports d’entrées. De manière évidente, une candidate naturelle de cette fonction de stockage est l’énergie du système étudié : c’est cette vision qui est utilisée tout au long de cette thèse.
La passivité est reliable à la stabilité de Lypunov. En effet, lorsque l’entrée du système est nulle, la passivité conduit nécessairement à V˙ ≤ 0. Ainsi, le principe d’invariance de LaSalle peut être utilisé, et prouve que le système va tendre vers le plus grand ensemble invariant où V˙ = 0. De plus, le théorème de Lyapunov assure la stabilité du système dans le cas où la fonction V est définie positive.

Des systèmes physiques aux systèmes hamiltoniens à ports

On souhaite utiliser une méthode d’écriture systématique garantissant la passivité des systèmes étudiés.
Pour la plupart des systèmes physiques, la passivité au sens de la définition 3 peut être vérifiée en prenant l’énergie comme fonction de stockage. Nous présentons dans cette partie le formalisme des systèmes hamiltoniens à ports inspiré des systèmes hamiltoniens classiques en utilisant une approche par composants élémentaires. Ainsi, dans la suite, nous utiliserons la notation H nommée fonction hamiltonienne (ou Hamiltonien), pour désigner la fonction d’énergie (ou fonction de stockage) exprimée en fonction de l’état du système. Toutes les définitions et les concepts introduits dans cette section sont illustrés par des exemples en section 1.4.

Physique : composants, lois et bilans

Les systèmes physiques peuvent être décomposés en composants passifs connectés à des sources actives externes, de sorte que le bilan de puissance élémentaire suivant soit respecté : la puissance absorbée par un système P est égale à celle fournie par les sources externes PE. Un système peut absorber une puissance pour deux raisons : la stocker par le biais des composants stockants, et la dissiper par le biais des composants dissipatifs.
Chaque composant stockant absorbe une puissance pour la stocker sous forme d’énergie élémentaire Hi ≥ 0 qui pourra être restituée par la suite. Ainsi, la puissance absorbée s’écrit H˙i et peut aussi bien être négative que positive. D’un autre côté, chaque composant dissi-patif absorbe une puissance Di pour la dissiper de manière instantanée. Cette formulation contraint la puissance Di à être positive puisqu’une puissance dissipée ne peut être restituée au système. Ainsi, le bilan de puissance élémentaire devient : NS ˙ ND Hi + Di = PE (1.27) i=1 i=1 où NS et ND sont les nombres de composants stockants et dissipatifs. En considérant, l’énergie totale du système H = PNi=1S Hi, la puissance dissipée totale D = PNi=1D Di ≥ 0, et le vecteur des sorties y énergétiquement dual du vecteur des entrées u, tel que PE = uT y, on obtient le bilan de puissance générale suivant : ˙ = − D + u T y . (1.28) H ≥ |{z} |{z} Puissance apportée par les sources Puissance stockée Puissance dissipée 0 |{z}
Finalement, on retrouve bien la définition 3 de la passivité des systèmes dynamiques avec H=V : u T ˙ (1.29) y ≥ H.
Cela montre que l’approche de décomposition en composants élémentaires stockants et dis-sipatifs permet de garantir la passivité d’un système dès sa construction. Pour décrire la dynamique du système et les échanges de puissance, on introduit les concepts de flux de puissances et les interconnexions conservatives de composants. Le flux de puissance entrant dans un composant se décompose en un produit de deux quantités duales : un flux f et un effort e (par exemple : courant×tension pour le domaine électrique et vitesse×force pour le domaine mécanique). La figure 1.3 donne la notation utilisée en graphe de liaison (« Bond-graph » en anglais). La demi-flèche représente un flux de puissance : le flux est noté du côté branche de la flèche et l’effort du côté opposé. La direction de la flèche encode le sens dans lequel la puissance est positive. Par convention, les flux sont choisis positifs lorsqu’ils sont entrants dans un composant. Ainsi, la puissance absorbée (en Watt) s’exprime comme = f.e.
Par exemple, une résistance électrique linéaire R absorbe une puissance P = Ri2 où le flux est le courant i et l’effort est la tension u(= Ri). Le tableau 1.1 rassemble les couples flux/effort pour quelques domaines physiques courants.
Un composant peut être commandé en imposant à son entrée (ou ses entrées dans le cas d’un composant à entrées multiples) un effort ou un flux. Dans certains cas, le choix de la commande sera imposé par la causalité définie ci-après.
Composant stockant
Un composant stockant stocke une énergie qu’il peut recevoir ou restituer. Il est carac-térisé par son état (élongation pour un ressort, quantité de mouvement pour une masse inertielle, charge pour un condensateur,etc). Son état est associé à un niveau d’énergie.
Définition 4 (Composant stockant) Un composant stockant élémentaire est dé-fini par une variable d’état x et par une fonction hamiltonienne H semi-définie posi-tive (H(x) ≥ 0 pour x ∈ X où X est l’espace de configuration). Le composant est dit de type (cf. tableau 1.2)
— capacitif (C) si f = x˙ et e = ∂xH,
— inertiel (I) si f = ∂xH et e = x˙.
La fonction hamiltonienne représente une mesure de l’énergie accumulée par le com-posant exprimée en fonction de son état. Elle correspond parfaitement à la fonction de stockage utilisée dans la définition de la passivité pour les systèmes dynamiques (cf. défini-tion 3). Ainsi, le principe d’invariance de LaSalle montre qu’en cas d’entrée nulle, le système va tendre vers une configuration où l’énergie sera constante dans le temps.
La puissance absorbée par un composant passif s’exprime comme la dérivée temporelle de la fonction hamiltonienne P = H˙. La formule de dérivées de fonctions composées nous permet alors d’identifier le produit couple flux×effort du composant : H(x(t)) = ∂xH.x˙ = e.f où (f = x˙,e = ∂xH) pour un stockage de type capacitif (C), où (f = ∂xH,e = x˙) pour un stockage de type inertiel (I), et où toute combinaison (f /α, eα) pondérée par une valeur dimensionnée α peut aussi être considérée. Pour avoir une dynamique de l’état gouvernée par x˙ = f(x, u), l’entrée u doit pouvoir commander la dérivée temporelle de l’état, qui peut représenter tantôt un flux (type C), tantôt un effort (type I). Ceci contraint le type des entrées admissibles pour les composants de type (C) et (I). Cette contrainte est appelée causalité. La notion de causalité est ci-après (dans cette section) et la notation associée est donnée (pour les composants de type C et I) en figure 1.4.
Par exemple (cf. tableau 1.2), une masse mécanique m en translation soumise à une force F est un composant stockant de type inertiel. Son état est sa quantité de mouvement p et son énergie cinétique s’exprime comme H(p) = 21m p2. Le flux d’entrée est f = ∂pH = p/m = v et l’effort est e = p˙ = F : l’entrée du composant est donc la force F . Un ressort mécanique de raideur k compressé à une vitesse v est un composant de type capacitif. Son état est son étirement ` et son énergie s’exprime comme H(`) = 12 k`2. Le flux d’entrée est = `˙ = v et l’effort est e = ∂`H = k` = F : l’entrée du composant est donc la vitesse v. Il est tout à fait possible d’étendre cette notion de composant stockant élémentaire à des dimensions supérieures. Cela peut permettre par exemple de définir un composant à énergie non séparable, c’est-à-dire, qui ne peut s’écrire comme H(x1, …, xk) = Pki=1 Hi(xi), où les xk sont des scalaires. Un exemple est présenté en section 1.4.4.
Composant dissipatif
Un composant dissipatif élémentaire dissipe une puissance P ≥ 0 de manière instanta-née. Ainsi c’est un composant sans dynamique qui est gouvernée par une relation entre son entrée et sa sortie.
Définition 5 (Composant dissipatif) Un composant dissipatif est défini par une variable w et par une fonction de dissipation z(w) telle que z(w)w ≥ 0. La dissipation est de type :
— résistance (R) si f = w et e = z(w),
— conductance (G) si f = z(w) et e = w.
La positivité de la puissance absorbée permet de garantir la contrainte P = z(w)w ≥ 0
On peut ainsi directement identifier un couple flux/effort du composant comme (f = w, e = z(w)) pour une dissipation de type résistance ou (f = z(w), e = w) pour une dissipa-tion de type conductance. Par exemple, pour une résistance électrique linéaire R > 0, la variable w est le courant d’entrée w = i et la fonction de dissipation est la tension à ses bornes z(i) = Ri. On peut également écrire cette résistance sous forme de conductance en choisissant la tension u comme variable d’état et le courant z(u) = u/R comme fonction de dissipation. Dans le cas où une fonction de dissipation n’est pas inversible, le type est imposé. Cela fait réapparaître une notion de causalité pour les composants dissipatifs.
Contrainte de causalité
Le principe de causalité tient au fait que, implicitement, la physique suppose que la cause précède la conséquence. C’est une des contraintes réalistes imposées à toute théorie mathématiquement cohérente afin qu’elle soit physiquement admissible. Ce principe s’ap-plique naturellement aux composants stockants. En effet, la conséquence est le changement d’état du système physique étudié, directement reliable au gradient de l’Hamiltonien ∂xH. Il en vient que la cause est reliée à la dérivée temporelle : une action sur la dérivée tem-porelle cause une modification de l’état, et non l’inverse. C’est donc, très clairement, la variable correspondant à la dérivée temporelle qui doit être contrôlée par l’entrée, et la sortie correspondant au gradient d’Hamiltonien qui en est une conséquence. Mathémati-quement, pour que la dérivée temporelle de l’état soit définie, il est nécessaire d’assurer la continuité des valeurs de l’état au cours du temps et donc de connaître son passé. Si l’on considère en exemple un simple ressort linéaire de raideur 1 dont l’état est l’étirement x, et dont l’énergie est H(x) = 12 x2. Dans ce cas, l’effort d’entrée est e = ∂xH = x et le flux est = x˙. La causalité nous indique que le système doit être contrôlé en flux, c’est-à-dire en vitesse d’étirement. Dans le cas contraire, si l’on cherche à imposer la force aux extrémités du ressort e = F 6= 0 à l’instant t et en considérant le système au repos, x(t − ) = 0 pour > 0, il vient que la vitesse d’étirement à l’instant t est infinie. Ainsi, la puissance générée P = ∂xHx˙ devient également infinie. La causalité est donc une contrainte physique avant d’être algébrique. En conclusion, un composant inertiel doit être commandé en effort et un composant capacitif en flux. La causalité peut être étendue au cas des composants dissipatifs. Dans ce cas, cette contrainte est uniquement algébrique et dépend de l’inversibilité de la fonction de dissipation z (cf. définition 5). Si cette fonction n’est pas inversible, on ne peut pas connaître de manière unique w en imposant la valeur de z(w). Ainsi, un composant dissipatif doit être commandé par la variable de flux ou d’effort correspondant à la variable de dissipation w. Si z est inversible, un composant de type résistance (respectivement conductance) peut être converti en composant de type conductance (respectivement résistance) comme représenté en figure 1.5. Dans ce cas précis, la commande peut être choisie de manière indépendante de la causalité.

Graphes de connexion et systèmes hamiltoniens à ports

Pour construire un système physique complet, les composants définis précédemment doivent être connectés entre eux ainsi qu’à des sources externes. Le graphe de connexion doit être conservatif et doit inclure les lois de Kirchhoff généralisées à tous les domaines physiques (loi des noeuds, loi de mailles pour le domaine électrique, principe fondamental de la dynamique en mécanique, etc). Considérons l’ensemble des éléments d’un système (composants stockants S, dissipatifs D et sources externes ou port d’entrée E) en rangeant les flux dans le vecteur f = [fS1, fS2, …, fD1, fD2, …, fE1, fE2, …]T et les efforts dans le vecteur e = [eS1, eS2, …, eD1, eD2, …, eE1, eE2, …]T . Notons l’espace vectoriel représentant l’ensemble des flux possibles F et l’espace des efforts, espace dual de F, E = F∗ représentant l’ensemble des efforts possibles. Ainsi, pour une configuration donnée pour les variables d’états, (f, e) ∈ F × F∗ et la puissance absorbée par l’ensemble des ports est P = eT f. L’interconnexion des composants et des ports d’entrées/sorties doit donc être gérée par une structure mathématique reliant le vecteur f au vecteur e et qui garantisse que P = 0.
La structure mathématique appelée Structure de Dirac permet l’interconnexion tout en répondant à ce critère conservatif.

Table des matières

Introduction Générale 
Contexte
Instruments de type cuivre
Une plateforme d’étude : le banc de test robotisé
L’approche à passivité garantie
Objectifs de la thèse
Organisation du manuscrit
Articles de revue et de conférence
I Systèmes Hamiltoniens à ports pour la modélisation passive d’un instrument auto-oscillant de type cuivre 
1 Modélisation passive : formulation hamiltonienne à ports 
1.1 Introduction
1.2 Rappels sur les systèmes dynamiques
1.2.1 Représentation d’état et condition d’existence et unicité
1.2.2 Système autonome, stabilité de Lyapunov, et principe d’invariance de LaSalle
1.2.3 Système entrée/sortie et passivité
1.3 Des systèmes physiques aux systèmes hamiltoniens à ports
1.3.1 Physique : composants, lois et bilans
1.3.2 Graphes de connexion et systèmes hamiltoniens à ports
1.4 Exemples
1.4.1 Circuit électronique linéaire (Système S1)
1.4.2 Système mécanique non linéaire (Système S2)
1.4.3 Transducteur électromécanique : système multi-physique (Système S3)
1.4.4 Réservoir à volume variable en mouvement : Hamiltonien non séparable (Système S4)
1.4.5 Connexions des systèmes (S1-3)
1.5 Formulations hamiltoniennes utilisées dans la thèse
1.5.1 Formulation algébro-différentielle
1.5.2 Réalisation différentielle
1.6 Conflit de causalité : détection et résolution
1.7 Conclusion et perspective
2 Modèle auto-oscillant d’instruments de type cuivre 
2.1 Introduction
2.2 Article : « Energy Balanced Model of a Jet Interacting With a Brass Player’s Lip  »
Avant-propos
2.2.1 Introduction
2.2.2 Problem statement
2.2.3 Energy-balanced model of a flow (F)
2.2.4 Complete instrument
2.2.5 Simulation
2.2.6 Results, interpretation and discussion
2.2.7 Conclusion
2.3 Raffinements
2.3.1 Lèvre : modélisations classiques et forme proposée
2.3.2 Résonateur : modélisation paramétrique et estimation
2.4 Modèle utilisé dans la thèse
2.5 Conclusion
II Méthodes numériques passives et application à la simulation d’un cuivre 
3 Méthode de simulation passive pour les systèmes hamiltoniens à ports 
3.1 Introduction
3.2 Méthode du gradient discret
3.2.1 État de l’art
3.2.2 Analyse numérique
3.2.3 Méthode à consistance du second ordre
3.3 Méthode directe d’ordre supérieur
3.3.1 Quadratisation du Hamiltonien
3.3.2 Méthode directe à consistance d’ordre 1
3.3.3 Méthode multi-étape directe de consistance d’ordre supérieur
3.4 Conclusions et perspectives
4 Simulation de l’instrument complet 
4.1 Introduction
4.2 Réduction d’ordre exacte et quadratisation
4.2.1 Réduction d’ordre du jet connecté à la lèvre (J+L)
4.2.2 Formulation différentielle et quadratisation de l’excitateur
4.3 Gestion numérique de la fermeture du canal
4.4 Résultats de simulation et étude comparative
4.4.1 Oscillation périodique et discontinuité
4.4.2 Sélection des modes
4.4.3 Influence de la longueur du canal sur la hauteur de note et sur l’intensité
4.4.4 Oscillations apériodiques
4.5 Conclusion
III Développement d’une plateforme expérimentale robotisée et confrontation théorie/expérience 
5 Bouche artificielle robotisée pour le jeu des cuivres 
5.1 Introduction
5.2 Présentation du banc de test
5.2.1 Parties mécaniques
5.2.2 Parties informatiques
5.3 Protocole de mesure et cartographies automatisées
5.3.1 Protocole expérimental, calibrage de la machine et répétabilité
5.3.2 Résultats pour une paire de lèvres vibrantes
5.4 Modification du système : modèle à une lèvre vibrante
5.4.1 Modifications de la machine
5.4.2 Résultat
5.5 Conclusion
6 Comparaison simulation/mesure et discussions 
6.1 Introduction
6.2 Estimation de paramètres
6.2.1 Analyse et integration d’un nouveau capteur
6.2.2 Modèle observable et réduction d’ordre
6.2.3 Test et résultats
6.3 Analyse du comportement outward/inward
6.3.1 Présentations des expériences
6.3.2 Résultats des estimations et analyse
6.4 Comparaisons qualitatives mesures/simulations
6.4.1 Comparaison avec la mesure (c)
6.4.2 Comparaison avec la mesure (a)
6.5 Discussion
6.6 Conclusion
Conclusion Générale 
Contributions et objectifs atteints
Perspectives
Annexes 
A Calcul de la matrice d’interconnexion L
B Port-hamiltonian systems : basics and introductory examples
B.1 Formalism
B.2 Example : a mass-damper-spring system
B.3 Graph of a system
Version du 5 juillet 2016, 14:14
C Preuves des ordres 2 et 3 de consistance
C.1 Calculs préliminaires
C.2 Preuve ordre 2
C.3 Preuve ordre 3
D Mode d’emploi du banc de test robotisé (Version en cours d’écriture)
D.1 Présentation de l’interface utilisateur
D.1.1 Vue d’ensemble et connexions
D.1.2 Contrôle bas niveau : Interface dSpace et modes de contrôle
D.1.3 Contrôle haut-niveau : Interface graphique et sur-couche Python
D.2 Initialisation manuelle de la machine
D.3 Démarrage de la machine
D.4 Mise en marche de l’analyse temps-réel par MAX/MSP
D.5 Arrêt de la machine
E Estimation par filtrage de Kalman des paramètres de lèvres 209
F Article de conférence SMAC2013 : Control of an Artificial Mouth Playing a Trombone and Analysis of Sound Descriptors on Experimental Data 212
G Article de conférence CFA2014 : Modèle d’interaction Jet/Lèvre préservant le bilan de puissance pour les instruments de type cuivre 221
H Poster et article de conférence ISMA2014 : A Power-balanced Model of a Valve Exciter including Shocks and Based on a Conservative Jet for Brass Instruments : Simulation and Comparison with Standard Models
H.1 Poster
H.2 Article
I Article de conférence LHMNLC2015 : Explicit second-order accurate method for the passive guaranteed simulation of port-Hamiltonian systems
Bibliographie

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