Application de la fonction de Greene à la décomposition en éléments simples

La décomposition en éléments simples est l’opération qui remplace toute fraction ration- nelle à une variable par une somme d’un polynôme et de fractions élémentaires. Une fraction élémentaire est une fraction de la forme a Cette opération fondamentale est un résultat connu depuis les travaux de Lagrange. L’objectif de ce paragraphe est de donner une interprétation de la décomposition en éléments simples à l’aide des graphes. Cette interprétation permettra de mettre en évidence une nouvelle preuve de la décomposition en éléments simples ainsi qu’une nouvelle méthode de décomposition qui utilise exclusivement des dessins (les graphes associés à leurs posets). riable x et avec coefficient dans un corps K algébriquement clos. Soit ri les racines distinctes deux à deux de Q, on note par αi ∈ N la multiplicité de ri dans Q. Il existe un polynôme R et des coefficients ai,j de K tels queQ et le degré de P ′ est plus petitque le degré de Q. Ce problème est équivalent au problème de la décomposition en éléments simples d’une fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré dudénominateur. Nous supposons donc, dans la suite de la preuve, que le degré de P est plus petit que celui de Q. De même, pour alléger les formules, nous choisissons P et Q de manière à ce que leur coefficient dominant soit égal à 1. Comme K est algébriquement clos, P et Q peuvent être scindés en produits de facteurs de degré 1. On obtient alors 3. étape itérative : choisissez un arbre G associé à un coefficient non nul de façon à ce qu’il existe deux éléments ai,j et ak,l tels que i 6= k et tels que les arêtes (x, ai,j) et (x, ak,l) existent. Soit A′ = {ai,j} un sous-ensemble maximal tel que la substitution si,j ← si.

Cet algorithme est confluent. En effet, à chaque linéarisation partielle d’un graphe noté G de l’étape itérative, la taille du sous-ensemble maximal A′ des graphes résultants est strictement inférieure à la taille du sous-ensemble maximal A′ du graphe G. Par souci de clarté, dans les exemples qui vont suivre, nous utiliserons l’alphabet a, b, c, d . . . pour noter les différents pôles et racines deux à deux distincts. Des indices seront éventuel- lement utilisés afin de distinguer les pôles ou racines identiques. La décomposition calculée par l’algorithme dépend des choix des cycles et des choix des sous-ensembles maximaux. C’est pourquoi, le nombre d’itérations et la taille du résultat ne sont pas uniques et dépendent fortement des choix effectués. Il est cependant possible d’améliorer l’algorithme en remplaçant la linéarisation partielle de A′ par l’opération subséquente. Soit G un graphe et A un sous-ensemble de sommets de G tel que pour chaque couple a, b de sommets de G, les arêtes (a, b) et (b, a) n’appartiennent pas au graphe. On appelle arborification de G selon A noté A(G) la combinaison linéaire formelle de graphes :De plus, dans le cadre de l’algorithme, les tailles des sous-ensembles maximaux A′ des graphes qui apparaissent après arborification, sont strictement inférieures à la taille de A′ pour le graphe initial.

Dans ce chapitre, nous avons trouvé une interprétation purement combinatoire de la décomposition en éléments simples à l’aide des graphes (ou des posets).Ce travail a permis d’exposer un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples ne faisant intervenir que des opérations sur les graphes. Cependant, cet algorithme est largement moins performant que les algorithmes classiques. En effet, la taille du résultat obtenu et le temps d’exécution est bien plus important. De surcroît, cet algorithme nécessite un numérateur factorisé.Dans cette partie de notre étude, nous avons présenté un algorithme inductif utilisant le poinçonnage de Féray pour calculer Ψ. Cet outil nous a permis de trouver une formule combinatoire explicite pour le numérateur et le dénominateur de la fraction réduite ΨG. Ce résultat analyse le diagramme de Hasse de G en le complétant par une structure de carte. Cependant, le numérateur de ΨG ne dépend pas de cette carte. Nous pouvons donc nous demander s’il existe une expression qui ne ferait intervenir aucune carte pour le numérateur de ΨG.Grâce à l’opération de contraction, nous avons montré que la fraction réduite de tout graphe peut se déduire de celle des graphes bipartis. Pour ces graphes bipartis, le poinçon- nage de Féray fait apparaître un ensemble de spécialisations annulant ΨG. Cet ensemble d’annulations ne permet pas de caractériser le numérateur de ΨG comme le font les annu- lations appliquées aux polynômes de Schubert. Dans des travaux futurs, nous envisageons l’étude des annulations manquantes ainsi que leur interprétation à l’aide du graphe G.