Application de la méthode de la constante d’écran par unité de charge nucléaire aux calculs des énergies

 Méthodes théoriques

En physique atomique et nucléaire, plusieurs méthodes expérimentales et théoriques ont été utilisées pour étudier le mouvement des électrons dans leur état de double excitation. Pour ce qui est de ce présent travail, on va s’intéresser aux méthodes théoriques parmi lesquelles, il y’a la méthode de la rotation complexe qui s’appuie sur le théorème de Balslev et al [84] et la méthode de la diagonalisation. 

Méthode de la rotation complexe

La méthode de la rotation complexe autrement dit la méthode de dilatation est basée sur le théorème de Balslev et al[84] concernant l’étude des systèmes régis par des interactions coulombiennes .Cette méthode trouve son application dans la science et plus particulièrement en physique atomique pour la détermination des paramètres des résonnances autoionisantes dans les systèmes atomiques à deux électrons .L’application de cette méthode précitée dans l’étude des résonnance atomique consiste en une transformation de l’hamiltonien )( ˆ rH en un hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ Le passage de l’espace réel à l’espace complexe se manifeste par le changement de la variable réelle r à la variable complexe iθ e ou θ est un réel positif désignant l’angle de rotation. L’Hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ renferme en son sein, un spectre continu contenant une série de raies dans le plan complexe commençant aux seuils d’ionisation de l’ion résiduel du système atomique étudié, mais aussi des états discrets liés qui restent invariant dans la rotation. L’Hamiltonien réel )( ˆ rH est une composition de deux termes et peut s’écrire comme suit : VTrH ˆˆ )( ˆ += (1.11) Dans cette transformation, l’Hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ s’écrit dans le cas du système à interaction coulombienne sous la forme : θ θ θ i i eVeTrH − − += ˆˆ ),( ˆ 2 (1.12) Ce pendant ; on peut expliciter les paramètres contenus dans ce Hamiltonien. Il s’agit de : Tˆ est l’opérateur de l’énergie cinétique et Vˆ celui de l’énergie potentielle. La résolution de l’équation aux valeurs propres complexes suivantes nous permet de connaitre les paramètres de résonance tels que la position et la largeur de résonance. Page 13 ),( ),( ˆ ),( 21 ‘ 21 rrWrHrr µ µ Ψ θ Ψ− (1.13) Où ),( 21 Ψ rr est une fonction d’onde d’essai ; i r (i = 1 ; 2) décrit l’état des particules du système et W représente la valeur propre complexe et s’écrit comme suit : 2 r r iG EW −= (1.14) Dans cette expression précédente, la partie réelle Er donne l’énergie et la partie imaginaire donne la largeur de la résonance. La fonction d’onde d’essai ),( 21 Ψ rr dans l’équation (1.13) est une fonction de carrée intégrable de type Hylléraas [6] : ∑ [ ( ) ] +− + + =Ψ −+ nmk L S Lmk L rr Lmkn nmk YYrrreCrr YYrr ,, )2( 00 )1( 12 0 )2( 0 )1( 002112 )( 21 ),( ,, 1 α 21 (1.15) Il faut noter que la sommek + m + n<Ω(avec Ω un entier positif) ; L étant le moment angulaire total, α le paramètre non linéaire et S le spin total du système atomique. Pour L = 0, k ≥ m. Pour la description de l’état quasi-stationnaire, le choix d’une telle fonction fait défaut, car la fonction d’onde est de type asymptotique : ikr )( →Ψ rer , quand r → ∞ (1.16) En opérant le changement de variable r → i θ re , la forme asymptotique se réduit sous la forme d’une fonction de carré intégrable. A la résonance d’énergie Er et de moment k, on a : iβ = ekk et )arg( 2 1 β = W Pour la valeur complexe de k , la forme asymptotique devient : )sin()cos( )( )( βθ βθ βθ ψ −− − → = − reki rki rk er e i (1.17) Page 14 Pour 0 < (θ – β) <π/2, Ψ r)( décroît d’une manière exponentielle et se comporte donc comme unefonction de carré intégrable.On peut donc obtenir les caractéristiques de la résonance grâce à ces fonctions. Avec la présence du terme oscillant ; il est nécessaire d’utiliser une base suffisamment large de carré intégrable pour la fonction d’essai. L’appréciation des résultats est donc fonction de la taille de la base choisie. La détermination numérique de la position et la largeur de la résonance dépenddes trajectoires de rotation des vecteurs propres complexes qui doivent satisfaire aux conditions suivantes : = 0 ∂ ∂ α W (1.18.a) = 0 ∂ ∂ θ W (1.18.b) = 0 Ω∂ ∂ W (1.18.c) La méthode de la dilatation a été utilisée en physique atomique par Dool[43] pour la détermination des paramètres de la résonance dans le système e-+H à partir du comportement de la trajectoire de la rotation des valeurs propres. Pour cela trois étapes sont nécessaires : 1. On applique la méthode de stabilisation [44] à l’Hamiltonien réel pour la recherche de valeurs propres réelles qui sont stables par rapport à la variation du paramètre non linéaire a. 2. On applique la méthode de la rotation complexe (θ ≠ 0) aux fonctions d’ondes qui sont restées stables par rapport à a. Dans cette zone de stabilisation les trajectoires de rotation, pour différentes valeurs de a se croisent en un point du plan complexe déterminant ainsi la position et la largeur de la résonance. 3. Les deux premières étapes sont répétées avec des bases de différentes dimensions pour l’étude de la convergence des résultats. L’intégration de la méthode de la rotation complexe en physique a permis d’obtenir des résultats satisfaisants sur les énergies et largeurs totales des résonances autoionisantes dansles systèmes atomiquesà deux électrons. En effet ; d’autres calculs ont été aussi faits à l’aide de fonctions d’onde variationnelleconstruites sur une base de Hylleraas, par Ho [45-50].

Méthode variationnelle de Hylleraas

Page 15 La méthode variationnelle de Hylleraas est un cas important et très utilisé dans la méthode de calcul de variation. Cette méthode est très pratique et très utilisée en physique atomique et notamment dans le calcul des énergies des états fondamentaux et des états doublements excites des systèmes atomiques a deux électrons.C’est en 1928 que Hylleraas a introduit une méthode très précieuse pour le calcul des énergies de l’état fondamental de l’hélium et de sa série isoélectronique. Cette méthode fait appel à des fonctions d’onde de base de l’état fondamental construite par Hylleraas et qui sont de la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) 21212121 210 , rrrrrrrr exp rr j k m ψ jkm λ +−−−+= r r r r (1.18d) Dans cette expression les grandeurs j, k, m et  sont des paramètres introduites par Hylléraas tels que (j, k, m ≥ 0) et j+k+m ≤ 3 et > 0 Les paramètres j, k, m et  tiennent comptent des phénomènes physiques suivants : • De l’éloignement des deux électrons du noyau • Du rapprochement des deux électrons du noyau • De la distance entre les deux électrons • Du paramètre variationnelle d’après la relation suivante : 0 0 r Z α λ = Ou Z représente la charge nucléaire ;αle paramètre variationnel et r0 le rayon atomique de Bohrλ0 est inversement proportionnel au paramètre variationnel. Les fonctions d’ondes de Hylléraas comprennent deux grandes parties essentielles :  une partie angulaire représentant les harmoniques sphériques Y (;) qui est déterminé par le cosinus de l’angle 12.Ce angle est définie par les rayons vecteurs r1 et r2 repérant respectivement les positions des deux électrons 1 et 2 d’après la figure precedente.la partie angulaire est contenue dans le terme de corrélation d’après la formule suivante : 1221 2 2 2 121 −+=− rrrrrr cos2 θ r r Dans le cadre pratique, la méthode de Hylléraas est basée sur le théorème de Hylléraas et Undheim selon lequel une bonne approximation de l’énergie E d’un état donné est obtenue lorsque le minima de la fonction = fE α )( converge rapidement en augmentant la dimension D de l’espace des états jusqu’à ce qu’elle exhibe un plateau (voire figure