Caractérisation d’un réseau résonnant d’ordre zéro

Approche phénoménologique des modes couplés de la résonance 

Actuellement la principale méthode permettant de traiter les réseaux résonnants est basée sur la matrice de diffraction. Cet outil, que nous venons de présenter dans le chapitre précédent, est une traduction mathématique du problème physique. Les champs diffractés sont alors donnés par un produit matriciel de la matrice S caractérisant la structure par le vecteur-champ incident. Nous avons vu que les pôles kp de cette matrice sont les pôles de tous les éléments et correspondent à des modes guidés dans le réseau résonnant. Chacun de ces éléments s’écrit sous la forme d’un pôle de premier ordre multiplié par un zéro de premier ordre d’après l’expression (2.21) présentée au paragraphe 2.5 du chapitre 2. Cependant, ce pôle et ces zéros n’ont aucune signification physique évidente. Celle-ci peut être apportée à l’aide de l’approche phénoménologique des modes couplés. La résonance du guide d’onde est alors modélisée par un nombre restreint de paramètres décrivant physiquement le phénomène, mais difficilement quantifiables à partir des paramètres opto-géométriques de la structure. Cette approche est, comme nous le verrons, une combinaison de deux visions complémentaires du réseau résonnant : la vision diffractive et la vision modale. Considérons donc une onde plane monochromatique excitant une telle structure suivant ces deux visions. 

Vision diffractive 

Dans cette approche, l’effet de couplage dans le guide d’onde n’est pas pris en compte. On considère simplement un onde plane ayant un champ Ag dans la structure, et non pas un mode qui se propage. Deux efficacités de diffraction peuvent être définies en fonction des champs transmis Ac dans le superstrat et As dans le substrat comme étant : c c g A A η = (3.1) dans le superstrat et : s s g A A η = (3.2) dans le substrat . Il est à noter que ces efficacités de diffraction diffèrent des efficacités du réseau à une simple interface puisque les réflexions à la deuxième interface du guide d’onde doivent être considérées. 

Vision modale 

Dans cette approche, le réseau de diffraction est simplement pris en compte par un terme de pertes caractérisé par le coefficient de rayonnement α comme le montre la figure 3.1. Ce 60 coefficient traduit la « vitesse » à laquelle le champ modal fuit le guide d’onde au long de sa propagation par unité de longueur. λ α r β Figure 3.1 : principe du réseau résonnant suivant l’approche phénoménologique des modes couplés. La méthode consiste à étudier le guide d’onde plan par le biais de l’optique guidée. Appelons Ag(x) l’amplitude du mode dans le guide d’onde où x est la direction de propagation du mode. Sans excitation extérieure du guide, la variation du champ modal est simplement égale aux pertes accumulées le long de la propagation suivant x. Ceci peut s’écrire sous forme d’une équation différentielle : g g A A x ∂ = −α ∂ , et la solution de cette équation est de la forme : ( ) x A x g g A 0 e−α = ⋅ . Si le guide est excité par une onde plane de profil spatial f0(x) et désynchronisée en phase relativement au mode d’une quantité j k( )x e −β , alors la variation du champ modal est égale à la somme des pertes de propagation et de la fraction de champ incident couplée au mode. L’équation différentielle correspondante devient alors : ( ) g j k( ).x g i 0 A A f x e x −β ∂ = −α + κ ∂ (3.3) où κi est une constante complexe traduisant le couplage de l’onde incidente provenant du milieu i avec le mode guidé et β la constante de propagation de ce mode. Le terme exponentiel imaginaire traduit le désaccord de phase entre l’onde excitatrice et l’onde guidée. Ce déphasage dépend de la fréquence spatiale k, correspondant à la projection à l’interface du vecteur d’onde propagé dans le guide. La condition de synchronisme est vérifiée à l’excitation du mode, c’est à dire lorsque k = β. Prenons le cas simple d’un faisceau infiniment étendu d’amplitude constante Ai (f0(x) = Ai). L’équation différentielle (3.3) devient : g j k( )x g i i A A A e x −β ∂ = −α + κ ∂ (3.4) La solution à l’équation différentielle (3.4) est de la forme : ( ) ( ) i j k( )x A x g i A e j k κ −β = ⋅ ⋅ − β + α Posons et . Le champ modal s’écrit : i i a = −jκ p k = β + jα ( ) i j k( )x g p a A x,k A e k k −β = − i (3.5) On obtient, en écrivant l’expression (3.5) à la résonance (k=β), une propriété importante du mode propagé dans un guide d’onde couplé par réseau. L’amplitude Ag du mode guidé atteint son maximum Agmax à la résonance avec : MAX g j A κ = α Ai (3.6) 

Champs diffractés par le réseau résonnant 

D’après l’expression de l’approche diffractive (3.1) ou (3.2), suivant le milieu extérieur q considéré, la quantité de champ Aq de champ guidé (3.5) diffracté dans ce milieu s’écrit : ( ) i j k( )x i q j( ) k x q q i i p p a j A x,k A e A e k k k k −β −β − κ η = η = − − Maintenant, le coefficient de transmission tGq du mode dans le milieu extérieur q s’écrit comme étant le rapport entre le champ diffracté dans ce milieu Aq et le champ incident j k( )x A ei −β , soit : ( ) i q Gq p j t k k k − κ η = − (3.7) Dans le cas d’un faisceau infiniment étendu et d’amplitude constante, les coefficients de réflexion et de transmission ne dépendent plus de la variable x : les faisceaux réfléchis et transmis ne sont pas spatialement modulés. Le coefficient de transmission (respectivement de réflexion) total de la structure est donc égal à la somme de la transmission du champ guidé tGq de l’expression (3.7) et de la transmission (respectivement la réflexion) des champs des différents ordres propagés m dans la structure. En notant i le milieu d’incidence et q le milieu d’émergence, on peut exprimer les coefficients tiq de réflexion et de transmission en fonction de la projection du vecteur d’onde propagé k : ( ) ( ) ( m iq Gq m p m 0 t k t k t k k +∞ = = + ∑ − ) (3.8) La partie non polaire variant très peu au voisinage de la résonance, elle peut être assimilée à une constante complexe tiq0 équivalente à une réflexion ou transmission de Fresnel. L’expression (3.8) du coefficient de transmission (ou réflexion) devient alors : ( ) ( ) iq i q iq iq iq 0 0 p a t k t t j k k k j κ η = + = − − − β − α (3.9) 

Des paramètres phénoménologiques aux paramètres polaires 

Nous allons ici faire le lien entre l’approche phénoménologique et l’approche polaire de la résonance dans un réseau résonnant. Ce lien permettra de mieux appréhender l’évolution des paramètres polaires (pôle kp et zéros kZiq) en fonction des paramètres optogéométriques. De plus, ces deux approches sont complémentaires. L’étude de la matrice de diffraction dans l’approche polaire aboutit par exemple a des propriétés intéressantes [Popov 1986] sur les zéros des éléments dans le cas d’une symétrie dans la structure : zéros de transmission égaux et réels dans le cas d’une symétrie axiale verticale, zéros en transmission égaux et réels tout comme les zéros en réflexion dans le cas d’une symétrie axiale horizontale et zéros en réflexion égaux et réels dans le cas d’une symétrie centrale [Fehrembach 2003]. La conservation d’énergie implique plus généralement que les zéros en transmission sont complexes conjugués tout comme les zéros en réflexion. L’approche phénoménologique par modes couplés apporte donc une compréhension physique de la résonance alors que l’approche polaire permet d’obtenir des propriétés simplificatrices dans certains cas de structures qui généralement possèdent une symétrie axiale verticale (réseaux rectangulaires). Il est donc nécessaire de lier les différents paramètres des deux approches. En comparant les deux mêmes expressions du coefficient de réflexion ou transmission tiq de la matrice de diffraction suivant l’approche polaire (2.22) et de l’approche phénoménologique (3.9), on obtient l’égalité suivante : ( ) ( ) iq z i q iq iq iq 0 0 p k k t k t t j k k k j − κ η = = − − −β−α Soit encore : ( ) ( ) iq p p z i q iq iq 0 0 p k k k k t t j k k k j − + − κ η = − − −β − α ) Le coefficient de découplage aiq de l’approche phénoménologique peut donc s’écrire en fonction du zéro kZiq de l’approche polaire comme suit : ( iq iq i q iq p z 0 a j = − κ η = t k − k (3.10) Il devient donc possible d’exprimer le pôle kp et les zéros kZiq de l’approche algébrique polaire dépourvus de sens physique à l’aide de paramètres phénoménologiques décrivant la résonance dans un réseau résonnant : constante de propagation du mode β, coefficient de rayonnement α, coefficient de couplage κi d’une onde excitatrice provenant du milieu i au mode guidé, coefficient de diffraction ηq de l’onde guidée vers le milieu q et réflexion ou transmission de « Fresnel » tiq0 de l’onde provenant du milieu i et émergeant dans le milieu q. On peut donc écrire : iq i q z iq0 k j t   κ η = β + α +      (3.11) p k j = β + α Maintenant que les coefficients de transmissions et réflexions à partir d’une excitation provenant du superstrat ou du substrat sont physiquement exprimés, il est possible de faire le lien avec la matrice de diffraction S de la structure totale. Considérons une double excitation du guide via le superstrat et le substrat. Chacune de ces deux ondes se couple plus ou moins avec le même mode caractérisé par sa constante de propagation β et son coefficient de rayonnement α. Ces couplages vont donc se traduire par deux coefficients différents κc et κs suivant respectivement une excitation depuis le superstrat et depuis le substrat. D’après les considérations du chapitre précédent (paragraphe 2.5), les éléments siq de la matrice de diffraction peuvent s’écrire sous la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cc cc c cs cs s s sc sc c ss ss s k t k s k t k s k t k s k t k = γ = γ γ = γ = (3.12) où le premier indice représente le milieu de provenance l’onde incidente, et le deuxième indice représente le milieu de fuite de l’onde émergente (c pour le superstrat et s pour le substrat). Cet ensemble d’équations (3.12) peut encore s’écrire sous forme matricielle à partir de l’expression de l’approche phénoménologique des modes couplés (3.9) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c s s c c0 s0 c c s c s s c0 s0 s j j r t k j k j k j j t r k j k j   κ η γ   κ η   − −    −β−α γ −β−α  =    γ κ   η κ η   − − γ −β−α −β − α     S   (3.13) en rappelant que et c c = n k0 i γ θ cos 2 2 2 s 0 = k ns c i γ -n sin iq θ , κc et κs sont les constantes de couplages pour une onde provenant respectivement du superstrat et du substrat, ηc et ηs les efficacités de diffractions de l’onde guidée respectivement vers le superstrat et le substrat, β la constante de propagation du mode guidé, α le coefficient de rayonnement de la structure, rc0 et rs0 les réflexions hors résonances et tc0 et ts0 sont les transmissions hors résonance de la structure. On constate donc que les paramètres de découplage a i q = − κj η sont liés. Ainsi on peut écrire que : cc ss sc cs a a a a = (3.14) Cette égalité est une conséquence de la théorie basée sur l’approche phénoménologique par modes couplés des réseaux résonnants. Elle est logique puisque les coefficients de découplages acc, acs, asc et ass sont liés aux deux constantes de couplages κc et κs au mode pour des ondes respectivement incidentes du superstrat et du substrat ainsi qu’aux coefficients de diffractions ηc et ηs de l’onde guidée dans ces deux milieux. Dans le but de démontrer ce lien entre les quatre paramètres de découplage aiq de la matrice de diffraction d’un réseau résonnant et ainsi confirmer l’approche phénoménologique par modes couplés des réseaux résonnants, considérons numériquement l’exemple de la figure 3.2. Une couche diélectrique d’indice de réfraction ng = 2 et d’épaisseur wg = 330 nm est déposée sur un substrat d’indice ns = 1,5. Un réseau de diffraction rectangulaire de profondeur σ = 100 nm et de pas Λ = 360 nm est alors gravé. La structure est ensuite excitée via l’air (nc = 1) par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ = 800 nm polarisée transverse électrique en incidence classique de θi = 20°. Cette configuration est étudiée à l’aide d’un programme spécialement développé pour l’étude des réseaux résonnants par N. Lyndin [Lyndin 2006]. Il est basé sur la méthode modale vraie, c’est à dire sur le calcul analytique des modes du réseau de diffraction puis par le calcul de la matrice S totale [Botten 1981, Foresti 2006]. θi = 20° Superstrat nc = 1 Guide ng = 2 Λ = 360 nm wg = 330 nm σ = 100 nm Substrat ns = 1,5 Figure 3.2 : schéma de la structure simulée numériquement. Ce programme donne donc le pôle et les zéros de chaque élément de la matrice de diffraction. Le pôle vaut . Les valeurs des coefficients de Fresnel et des zéros données par le programme pour chaque élément de la matrice S sont regroupés dans le tableau 3.1. ( 1 p k 13,990 0,036j m− = + ) µ Coefficients de Fresnel Zéros (en µm-1) 2,96 j c0 r 0,37e− = cc kz =14,006 + 0,077j 1,51j c0 t 0,92e− = cs kz =13,955 − 0,012j 1,51j s0 t 0,94e− = sc kz =13,955 − 0,012j 3,09 j s0 r = 0,36e ss kz =13,903+ 0,078j Tableau 3.1 : valeurs des coefficients de Fresnel et des zéros donnés par le programme de N. Lyndin pour la structure présentée dans la figure 3.2. Les coefficients de découplages aiq sont donc calculables d’après l’équation (3.10). Leurs valeurs sont données dans le tableau 3.2. On constate bien que le raisonnement physique est confirmé par cet exemple numérique : l’égalité (3.14) est vérifiée. coefficient de découplage (en µm-1) produit κiηq (en µm-1) 1,121j cc a = 0,027e 1,121j c c κ η = j0,027e 0,384 j cs a = 0,034e 0,384 j c s κ η = j0,034e 0,382 j sc a = 0,035e 0,382 s c κ η = j0,035e j 2,355 j ss a 0,042e− = 2,355 j s s j0,042e− κ η = Tableau 3.2 : coefficients de découplages et produits κiηq calculés pour chaque éléments de la matrice S. Nous venons de développer une approche physique de la résonance dans un réseau résonnant. Cette approche se trouve être complémentaire à l’approche polaire. Elle explique la réponse d’un réseau résonnant à une excitation électromagnétique à l’aide de paramètres phénoménologiques physiquement intelligibles : la constante de propagation du mode, le coefficient de rayonnement de la structure, les constantes de couplages et les efficacités de diffractions du champ modal dans les superstrat et substrat. Grâce à l’approche phénoménologique, un sens physique a été donné au pôle et aux zéros de la matrice de diffraction d’un réseau résonnant en les liant aux paramètres phénoménologiques. Le lien physique entre les quatre éléments de la matrice dans le cas d’un réseau résonnant d’ordre zéro a été démontré. De plus, grâce aux paramètres phénoménologiques, il devient plus facile d’appréhender l’évolution de la réponse d’une structure en fonction de ses paramètres optogéométriques. Dans la partie suivante, nous allons nous intéresser plus spécifiquement à la réflexion d’un réseau résonnant d’ordre zéro subissant une excitation via le superstrat. 

Etude mathématique du coefficient de réflexion 

L’objectif est ici d’étudier les caractéristiques en amplitude et en phase de la réponse d’un réseau résonnant suivant une excitation de fréquence spatiale k variable. Dans le cadre d’une application à la mise en forme temporelle d’impulsions lasers femtosecondes, la réponse considérée sera spectrale. Elle sera développée dans le chapitre 4 à partir de l’étude suivante. β θi nc Guide ng Λ σ wg Substrat ns b) λ θi k Kr θi a) Figure 3.2 : a) schéma du réseau résonnant et b) représentation dans l’espace réciproque. Le travail présenté ci-après [Pietroy 2007] repose sur l’étude de la fonction complexe r(k) = scc(k) où le premier indice indique le milieu d’incidence et le deuxième indice le milieu d’émergence (c pour superstrat et s pour substrat). Nous nous intéressons donc à l’onde émergeant dans le milieu excitateur : la réflexion. Par analogie, cette étude pourra être étendue aux autres paramètres de la matrice de diffraction. Le cas simplifié considéré est donc le réseau résonnant d’ordre zéro excité via une onde plane monochromatique en provenance du superstrat visible sur la figure 3.2. Le mode guidé est couplé par l’intermédiaire de l’ordre –1 diffracté dans le guide. L’onde réfléchie par un réseau résonnant peut donc être vue comme étant la somme de deux contributions : le champ issu de la réflexion de Fresnel r0 et le champ rg piégé dans le guide puis rayonné. Le coefficient de réflexion d’une telle structure peut alors s’écrire en fonction de la projection sur l’interface-réseau du vecteur d’onde propagé notée k : r k( ) = + r0 gr (k) (3.15) avec c i 2 n sin 2 k π θ π = λ Λ − (3.16) d’après la formule des réseaux en transmission (2.9). La résonance étant un phénomène localisé dans le spectre, la réflexion de Fresnel peut être considérée comme constante dans son voisinage. Comme nous venons de le voir dans la partie précédente à travers l’expression (3.7), la contribution correspondant au champ guidé rg peut s’exprimer sous la forme : ( ) k g p a r k k k = − (3.17) où ak est la constante de découplage représentant l’amplitude complexe du champ guidé transmis dans le superstrat à la résonance et kp le pôle de la structure pouvant s’écrire sous la forme (β est la constante de propagation du mode et α est le coefficient de rayonnement de la structure). Afin de comprendre la réponse d’un réseau résonnant lors d’une variation du paramètre k, nous allons étudier mathématiquement cette fonction complexe. p k = β + jα 

Etude mathématique de la contribution modale au coefficient de réflexion

 Dans l’expression du coefficient de réflexion d’un réseau résonnant d’ordre zéro, la contribution modale rg(k) prend des valeurs complexes. L’étude de sa représentation graphique dans le plan complexe est donc intéressante. Il faut alors chercher parties réelle et imaginaire de la fonction. Pour ce faire, posons Re = Re(ak) et Im = Im(ak) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g 2 2 Re j Im Re k Im j Im k Re r k k j k + ⋅   ⋅ −β − ⋅α +  ⋅ −β + ⋅α    = = − β − α − β + α   0 Il est connu en mathématiques que les fonctions polaires sont représentées par un cercle dans le plan complexe. Si la représentation mathématique de la fonction rg(k) dans le plan complexe est un cercle alors il existe une constante complexe z0, centre du cercle et indépendante de k, telle que le module du complexe rg(k) – z0 est constant et que sa phase décrit une variation continue de 2π suivant k. Si l’on pose rg(k) = x + jy, on devrait donc vérifier que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 x Re z y Im z R x y R | z | 2 x Re z y Im z − + − = + = − +   ⋅ + ⋅   Pour ce faire, dérivons les deux membres de l’égalité par rapport à k avec les variables R, ak et z0 indépendantes de k : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 x y x Re z y Im z 2 k k ∂ + ∂ ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ( ) ( ( ) ( ))( ) ( ( ) ( )) ( ) 2 0 0 0 0 k 2 2 2 2 | a | Re Re z Im Im z k Re Im z Im Re z k k 2 k k    ⋅ + ⋅ −β + ⋅ − ⋅ ⋅α ∂ ∂      − β + α  −β + α    = ∂ ∂   Ainsi, nous en déduisons les expressions suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 k 0 0 0 0 Re Re z Im Im z k | a | k 2 Re Re z Im Im z k Re Im z Im Re z k   ⋅ + ⋅ −β + α   − −β =     − ⋅   + ⋅ −β + ⋅ − ⋅ α −β     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 k 0 0 2 0 0 Re Re z Im Im z k | a | k 2 Re Im z Im Re z k Re Re z Im Im z     ⋅ + ⋅ −β     − β =   +   ⋅ − ⋅ α − β       − ⋅   + ⋅ α     (3.18) 70 Une égalité de deux polynômes du second degré en (k-β) est obtenue. Elle doit être vérifiée pour toute fréquence spatiale k : il y a égalité des coefficients des deux polynômes. La fonction rg(k) sera donc décrite par un cercle dans le plan complexe à condition qu’une constante complexe z0 vérifie le système d’équation suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 Re Re z Im Im z 0 2 Re Im z Im Re z | a |  ⋅ + ⋅ =    ⋅ − ⋅ α =  k afin d’assurer d’une part l’annulation des termes d’ordres 2 et 0 du second membre, puis l’égalité des termes d’ordre 1 des deux membres de l’expression (3.18). Ceci nous conduit au système d’équation suivant : ( ) ( ) ( ) 0 0 2 k 2 0 k Im Re z Im z Re | a | 2 Im z | a Re  = −     α =  | En résolvant ce système, nous obtenons par conséquent : ( ) 0 Im Re z 2 − = α et ( ) 0 Re Im z 2 = α Im(r) -1 0 -1 1 1 z0 rg(k) Re(r) Figure 3.3 : représentation dans le plan complexe de la contribution modale de la réflexion par un réseau résonnant Comme le montre la figure 3.3, il vient d’être démontré qu’il existe une constante complexe k 0 a z j 2 = α telle que l’expression |rg(k)–z0| est toujours constante. Ce résultat implique que la représentation dans le plan complexe du coefficient rg est au moins un arc de cercle centré sur le point complexe z0. D’après l’expression (3.17) de la contribution modale à la réflexion rg, le complexe (rg(k) – z0) s’écrit : ( ) ( ) g 0 k 1 j r k z a k j 2   − =   − − β − α α   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 k 2 2 2 k 2 2 2 k j k a k a j j k α − β + − β + α = − β + α = − α − − β − β + α k Par conséquent, sa phase vaut : g k ( ) k k 2arctan 2 π −   ϕ = ϕ − −     α β où ϕk est la phase de la constante de découplage ak. Lorsque le nombre d’onde varie de -∞ à +∞, la phase du complexe rg(k) effectue, de façon continue et dans le sens anti-trigonométrique, un tour complet (2π) dans le plan complexe autour du point z0 alors que son module reste constant : la représentation dans le plan complexe de la quantité rg(k) est bien un cercle centré sur le complexe k 0 a z j 2 = α . De plus, nous constatons que g ( ) k lim r k 0 →±∞ = . Ce résultat est la traduction mathématique du fait que l’onde n’est pas couplée hors résonance dans le guide. Cela implique que le cercle doit passer par l’origine du repère complexe. En conséquence, son rayon R est tout simplement égal au module de z0, c’est à dire k | a | 2 = α R . Nous pouvons également noter que, suivant une variation vers les nombres d’ondes croissants, la phase diminue. L’apex du coefficient de réflexion tourne donc sur ce cercle dans le sens direct. Si la longueur d’onde λ varie, le sens de parcours sur le cercle sera inversé. 

Réflexion par un réseau résonnant 

Si la réflexion de Fresnel r0 est constante au voisinage de la résonance, le coefficient de réflexion dans le plan complexe sera tout simplement la fonction rg(k), décrivant la partie résonnante de la réflexion, translatée de la quantité r0. Le coefficient de réflexion r(k) s’écrit donc : ( ) k 0 p a r k r k k = + − (3.19) La représentation graphique sera toujours un cercle de rayon k | a | 2 R = α mais centré sur le point complexe . De plus, ce point C doit impérativement être contenu dans le cercle unité puisque le module du coefficient de réflexion ne peut être supérieur à 1. Il doit également atteindre cette valeur pour la réflexion anormale au voisinage de la résonance. Ces deux limitations impliquent que le cercle représentant le coefficient de réflexion doit être tangent au cercle unité. Ce dernier point caractérise la réflexion anormale r C r0 = + z0 M. Les deux cercles étant théoriquement tangents, leurs diamètres passant par ce point sont confondus. Par conséquent, le point de réflexion anormale, le centre du cercle de réflectivité et l’origine du plan complexe sont alignés. La représentation du coefficient de réflexion d’un réseau résonnant dans le plan complexe est un cercle de rayon k | a | R 2 = ≤ α 1, centré sur le point k 0 a j 2 C r = + α , et passant par le point de réflexion de Fresnel r0 correspondant à des valeurs de coefficient de réflexion hors résonance (k tend vers ±∞). Ce cercle est également tangent au cercle unité à la réflexion anormale rM, c’est à dire lorsque k = kM. Cette caractéristique implique que le rayon du cercle unité joignant l’origine du repère complexe au point de tangence est aussi porteur d’un rayon du cercle de réflexion. Le centre C de ce cercle est par conséquent compris entre le point tangent rM et l’origine O du repère. La phase ϕM induite à la réflexion anormale est donc la même que celle du centre du cercle de réflexion : ϕ = M arg[C]. De plus, si le point de réflexion anormale rM est le point le plus éloigné de l’origine du repère complexe, alors le point qui lui est diamétralement opposé sur la représentation graphique du coefficient de réflexion est la position la plus proche de l’origine du repère. Ce point noté rm correspond donc à un minimum de réflexion avec la condition d’excitation k = km. Les points rM et rm ont donc la même phase modulo π.