COMMANDE ROBUSTE ET μ-ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES MULTIVARIABLES 

Ce chapitre donne une vision complète des différentes approches de la commande. Il fait souvent référence au volume consacré à l’analyse des systèmes linéaires. On doit acquérir une certaine compréhension du comportement des systèmes afin de les concevoir, de les réaliser et de les commander. Pour cela, toute information dont il dispose sur le système considéré est également formulée sous forme d’un modèle mathématique. Par ailleurs, le concepteur décrit le comportement attendu du système à travers le cahier des charges. Les spécifications du système ainsi décrites sont formulées comme un ou plusieurs critères mathématiques à satisfaire sur ce modèle mathématique. La connaissance du système à étudier est nécessairement partielle et incomplète. Même si sa structure est bien déterminée, les paramètres sont toujours mesurés avec une certaine erreur ou encore susceptibles d’évoluer dans le temps. Par exemple, la valeur d’une résistance est connue avec une certaine erreur. Par suite, il est impératif de prendre en compte cette méconnaissance sur le système. En fait, assez souvent un modèle mathématique idéal est considéré. Ce modèle idéal correspond à un comportement qui se retrouve sur le vrai système dans les cas où la sensibilité est faible.

Outils mathématiques pour la commande robuste 

Interprétation : La norme 𝐻∞ de la matrice de transfert 𝐺(𝑠) d’un système linéaire à temps continu asymptotiquement stable représente donc une mesure du gain maximal atteinte sur l’ensemble des fréquences, par la plus grande valeur singulière de 𝐺(𝑗𝜔). Elle représente aussi la valeur maximale du rapport d’énergie entre l’énergie du signal de sortie 𝑧(𝑡).et l’énergie du signal d’entrée 𝑒(𝑡).

Systèmes linéaires multivariables invariants à temps continu

Modèle d’état des systèmes à un vecteur d’entrées et à un vecteur de sorties

On appelle processus linéaire invariant (ou stationnaire) à temps continu tout système affine en état et en commande dont les paramètres sont constants dans le temps. On considère le modèle d’état du processus représenté par la figure 1.01 ci-dessous: Schéma fonctionnel du système linéaire L’équation d’évolution d’état est une équation différentielle linéaire matricielle du premier ordre à temps continu et l’équation de sortie du processus linéaire est une équation affine. Elles sont définies par les expressions [1.01] : { 𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) (1.02) Où :  𝑥(𝑡) : vecteur d’état (variables internes)  𝑢(𝑡) : vecteur des entrées (ou de commande)  𝑦(𝑡) : vecteur des sorties (ou d’observation)  𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 : matrice dynamique du système  𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑚 : matrice d’application de la commande  𝐶 ∈ ℝ𝑟×𝑛 : matrice d’observation  𝐷 ∈ ℝ𝑟×𝑚 : matrice d’application directe de la commande 𝑢 𝐺(𝑠) 𝑦 6 Schéma fonctionnel d’une représentation d’état  ℛ(𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷) est dite représentation d’état du système linéaire.  La matrice de transfert du processus 𝐺(𝑠) s’écrit : 𝐺(𝑠) = 𝐶[𝑠𝐼 − 𝐴] −1𝐵 + 𝐷 (1.03).

Modèle d’état des systèmes à deux vecteurs d’entrées et à deux vecteurs de sorties

Considérons un système linéaire multivariable représenté par la figure 1.03 suivante : Représentation d’un système multivariable Avec :  𝑥: vecteur d’état (variables internes)  𝑤: vecteur d’entrées et de perturbations du processus 𝑃  𝑧: vecteur de sorties du processus 𝑃  𝑢: vecteur de commande (action) du processus 𝑃  𝑦: vecteur des sorties (ou de mesures) Dans l’espace d’état, les équations d’état et d’observation du processus 𝑃 s’écrivent : { 𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵1𝑢(𝑡) + 𝐵2𝑤(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑥(𝑡) + 𝐷11𝑢(𝑡) + 𝐷12𝑤(𝑡) 𝑧(𝑡) = 𝐶2𝑥(𝑡) + 𝐷21𝑢(𝑡) + 𝐷22𝑤(𝑡) (1.04) 𝑤 𝑢 𝑥 𝑧 𝑦 𝑃(𝑠) 7 Sous forme matricielle, l’équation du processus de transfert 𝑃 s’écrit : [ 𝑥̇ 𝑦 𝑧 ] = 𝑃 [ 𝑥 𝑢 𝑤 ] 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑃 = [ 𝐴 𝐵1 𝐵2 𝐶1 𝐷11 𝐷12 𝐶2 𝐷21 𝐷22 ] (1.05) La matrice de transfert du processus 𝑃(𝑠)s’écrit : 𝑃(𝑠) = [ 𝐶1 𝐶2 ][𝑠𝐼 − 𝐴] −1 [𝐵1 𝐵2] + [ 𝐷11 𝐷12 𝐷21 𝐷22 ] (1.06) 1.4 Critère de commandabilité de Kalman Considérons un système linéaire défini par la paire (𝐴, 𝐵). L’analyse de la commandabilité d’un système est donc caractérisée par l’étude de la matrice de commandabilité 𝑀𝑐𝑜𝑚 définie par : 𝑀𝑐𝑜𝑚 = [𝐵 𝐴 1𝐵 𝐴 2𝐵 … 𝐴 𝑛−1𝐵] (1.07) Théorème 1.01 : Un système est complètement commandable, si et seulement si, le rang de sa matrice de commandabilité 𝑀𝑐𝑜𝑚 est égal à l’ordre du système par [1.02] et [1.03]: 𝑟𝑎𝑛𝑔[𝑀𝑐𝑜𝑚] = 𝑛 (1.08) 1.5 Critère d’observabilité de Kalman Considérons un système linéaire défini par la paire (𝐴, 𝐵). L’analyse de l’observabilité d’un système est donc caractérisée par l’étude de la matrice d’observabilité 𝑀𝑜𝑏𝑠 définie par : 𝑀𝑜𝑏𝑠 = [ 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 2 ⋮ 𝐶𝐴 𝑛−1] (1.09) Théorème 1.02 : Un système linéaire est complètement observable, si et seulement si, le rang de sa matrice d’observabilité 𝑀𝑜𝑏𝑠 est égal à l’ordre du système : 𝑟𝑎𝑛𝑔[𝑀𝑜𝑏𝑠] = 𝑛 (1.10) 8 1.6 Schéma bloc du système nominal et du système perturbé Le système nominal est le système bouclé à retour unitaire de la figure 1.04 où 𝐺 représente la matrice de transfert du processus nominal et le correcteur𝐾. 𝐿 = 𝐺𝐾 représente la matrice de transfert en boucle ouverte. Schéma bloc du système nominal La figure 1.05 ci-dessous représente le schéma bloc du système bouclé perturbé où 𝐺̃ représente la matrice de transfert du processus perturbé prenant en compte les erreurs de modélisation ∆. Schéma bloc du système perturbé On a : 𝐺̃ = 𝑓(𝐺, ∆) (1.11)

Transformation fractionnaire linéaire d’une matrice

Dans ce paragraphe, nous développons que l’expression des objectifs de synthèse ainsi que la modélisation des incertitudes intervenant sur le modèle, peuvent être traduits par un même formalisme de représentation des systèmes : les transformations linéaires fractionnaires (LFT). Soit une matrice complexe 𝑀 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 partitionnée comme suit par [1.04]: 𝑀 = [ 𝑀11 𝑀12 𝑀21 𝑀22 ] (1.12) 1 er cas : Les incertitudes du modèle sont connectées sur la partie supérieure de 𝑀. Représentation par 𝑳𝑭𝑻𝒖 𝐾 𝐺 − 𝐾 𝐺̃ − ∆𝑢 𝑀 𝑤 𝑧 u 𝑦 9 La matrice d’interconnexions du système perturbé est définie par : [ 𝑧 𝑦 ] = [ 𝑀11 𝑀12 𝑀21 𝑀22 ][ 𝑤 𝑢 ] (1.13) En connectant la matrice des incertitudes de modèles, nous avons : 𝑢 = ∆𝑢𝑦 (1.14) La matrice de transfert en boucle fermée entre 𝑤 et 𝑧 notée 𝑇𝑢 satisfait la relation : 𝑧 = 𝐹𝑢 (𝑀, ∆𝑢 ) ∙ 𝑤 si (𝐼 − 𝑀11∆𝑢) −1 existe (1.15) Définition 1.02 : La transformation fractionnaire linéaire ou 𝐿𝐹𝑇𝑢 lorsque les incertitudes de modélisation ∆𝑢 sont appliquées à la partie supérieure de 𝑀 est définie par : 𝐹𝑢 (𝑀, ∆𝑢 ) = [𝑀22 + 𝑀21∆𝑢 (𝐼 − 𝑀11∆𝑢 ) −1𝑀12] .