Corrélations, intrication et dynamique des systèmes
quantiques à N Corps : une étude variationnelle

Évolution d’un système suite à un quench

Modèle XX en champ alterné et quench à partir d’un état de Néel Par la suite, nous allons considérer un quench, qui consiste à préparer le système dans un état quantique donné et à le laisser évoluer selon un Hamiltonien dont il n’est pas état propre. On s’intéresse alors à l’évolution des corrélations et à la croissance de l’intrication au cours du temps. Plus précisément, nous étudierons un quench d’un état de Néel |𝜓0 ⟩ = | ↑↓↑↓↑↓ … ⟩ soumis au Hamiltonien ℋ𝑋𝑋 ℎ suivant ℋ𝑋𝑋 ℎ = −𝐽 ∑ 𝑖 (𝑆𝑥 𝑖 𝑆 𝑥 𝑖+1 + 𝑆𝑦 𝑖 𝑆 𝑦 𝑖+1) − ℎ∑ 𝑖 (−1)𝑖𝑆 𝑧 𝑖 (4.1) Ce Hamiltonien est celui de la chaîne 𝑋𝑋 que nous avons considérée au chapitre 2 auquel nous avons ajouté un terme de couplage à un champ magnétique alterné ℎ. Nous étudierons différents quenches en faisant varier le champ magnétique ℎ. On remarque que pour un champ magnétique infini, l’état de Néel pris comme état initial est état fondamental du Hamiltonien ℋ𝑋𝑋 ∞ . Pour caractériser le quench, une grandeur intéressante à considérer est l’énergie du quench, ie l’écart entre l’énergie initiale 𝐸0 = ⟨𝜓0|ℋ𝑋𝑋 ℎ |𝜓0⟩ ⟨𝜓0|𝜓0⟩ = −ℎ 𝑁 2 et l’énergie fondamentale du système : cette grandeur permet de rendre compte à quel point l’état initial est énergétique pour le Hamiltonien considéré. Ainsi, comme on peut le voir sur la figure 4.1, plus le champ magnétique alterné ℎ est faible, plus l’énergie du quench est élevée.  

Conservation de l’énergie

Il est important de noter que l’équation 4.20 d’évolution temporelle dérivée du TDVP possède une propriété fondamentale de l’évolution temporelle exacte : la conservation de l’énergie. Pour montrer que la conservation de l’énergie est bien garantie par l’équation 4.20, considérons les variations temporelles de 𝐸(𝐶,𝐶∗ ) = ⟨𝜓(𝐶)|ℋ|𝜓(𝐶)⟩ ⟨𝜓(𝐶)|𝜓(𝐶)⟩ , 𝜕𝑡𝐸 = ∑ 𝑘 (𝐶̇ 𝑘𝜕𝐶𝑘 𝐸 + 𝐶 ∗̇ 𝑘 𝜕𝐶∗ 𝑘 𝐸) . (4.21) Or puisque le Hamiltonien est hermitien, 𝐸 ∈ ℝ, on peut appliquer l’équation 4.20 aux deux dérivées par la relation 𝜕𝐶𝑘 𝐸 = (𝜕𝐶∗ 𝑘 𝐸)∗ : 𝜕𝑡𝐸 = 𝑖 ∑ 𝑘𝑗 (−𝐶̇ 𝑗𝑆 ∗ 𝑗𝑘𝐶 ∗̇ 𝑘 + 𝐶 ∗̇ 𝑘 𝑆𝑘𝑗𝐶̇ 𝑗 ) . (4.22) Par construction, la matrice S étant hermitienne, on trouve que 𝑆𝑘𝑗 = 𝑆∗ 𝑗𝑘, et on obtient donc la conservation de l’énergie comme découlant de l’équation 4.20. Ainsi, tant que la linéarisation de la relation 4.20 est vérifiée, ie tant que l’on considère des pas de temps suffisamment réduits, la conservation de l’énergie est assurée.

Reproduction de la fonction d’onde fermionique 

Le but de notre étude est de reproduire l’évolution temporelle d’un système qui se mappe sur un système de fermions libres, tel que la chaîne XX. Nous allons donc dans ce paragraphe nous intéresser à la structure d’une fonction d’onde de fermions libres quelconque afin de la comparer à la structure de l’Ansatz 2LR-EPS. 4.2 Approche EPS 87 Considérons un système de 𝑁 2 fermions décrits par un état quantique |𝜓⟩, qui se décompose selon les opérateurs de création fermioniques en chaque site 𝑓 † 𝑖 selon la formule |𝜓⟩ = 𝑁 2 ∏ 𝑛=1 ( 𝑁 ∑ 𝑖=1 𝜓 (𝑛) 𝑖 𝑓 † 𝑖 ) |0⟩ (4.23) Or les opérateurs de création fermioniques anticommutent : on peut alors sommer sur les états de Fock fermioniques |𝑛⟩, et on trouve une expression en fonctions de déterminants de Slater [90] de 𝑁 2 fermions |𝜓⟩ = 1 ( 𝑁 2 )! ∑ 𝑛 ||𝑛||= 𝑁 2 ∑ 𝜒 𝜖(𝜒) 𝜓1 𝜒(1) … 𝜓 𝑁 2 𝜒( 𝑁 2 ) |𝑛⟩ (4.24) la première somme se faisant sur tous les états de Fock |𝑛⟩ à 𝑁 2 fermions et la deuxième somme sur toutes les permutations 𝜒 de J1, 𝑁 2 K dans l’ensemble des sites occupés par un fermion dans la configuration 𝑛. On a posé 𝜖(𝜒) la signature de la permutation 𝜒. Les coefficients 𝑊𝑒𝑥𝑎 𝑛 de l’état quantique |𝜓⟩ = ∑ 𝑛 𝑊𝑒𝑥𝑎 𝑛 |𝑛⟩ dans la base de Fock, prennent une forme bien particulière 𝑊𝑒𝑥𝑎 𝑛 = ∑ 𝜒 𝜖(𝜒) 𝑁 ∏ 𝑖=1 𝑔 𝜒 𝑖 (𝑛𝑖 ) (4.25) 𝑖 étant un site du système et 𝑔 𝜒 𝑖 qui sont des fonctions ne dépendant que du site 𝑖 et pas des autres sites. On remarque que la structure du signe ainsi produite dépend seulement des sites et des permutations 𝜒