Cours sur les nombres réels et complexes avec exercices

Cours sur les nombres réels et complexes avec exercices, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

1 Les nombres reels et complexes
1.1 Nombres rationnels
1.2 Nombres reels
1.3 Densite des rationnels et irrationnels
1.4 Nombres complexes
1.5 Exercices
2 Logique et langage des ensembles
2.1 Propositions et operateurs logiques
2.2 Quantificateurs
2.3 Techniques de demonstration
2.3.1 Recurrence
2.3.2 Contraposee
2.3.3 Demonstration par l’absurde
2.4 Langage des ensembles
2.5 Exercices
3 Suites reelles et complexes
3.1 Limite d’une suite reelle
3.2 Proprietes de la limite
3.3 Suites adjacentes
3.4 Comparaison de suites
3.5 Suites complexes
3.6 Exercices
4 Fonctions d’une variable reelle
4.1 Limite et continuite
4.2 Proprietes de la limite d’une fonction
4.3 Proprietes des fonctions continues
4.4 Fonctions derivables
4.5 Proprietes des fonctions derivables
4.6 Application aux suites reelles
4.7 Exercices
5 Developpements limites
5.1 Comparaison de fonctions
5.2 Formules de Taylor
5.3 Calcul de developpements limites
5.4 Exercices
6 Fonctions classiques
6.1 Fonctions bijectives
6.2 Logarithme et exponentielle
6.3 Developpements limites
6.4 Fonctions trigonometriques
7 Corrigé des exercices

Les nombres réels et complexes

Nombres rationnels

Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-`a-dire l’ensemble des entiers naturels non nuls.Etant donné deux entiers naturels x et y on sait définir les nombres On remarque que l’addition et la multiplication sont des opérations qui ont leur résultat dans N.
Par contre le résultat d’une soustraction ou d’une division n’est pas toujours un entier naturel.
On crée ainsi de nouveaux nombres.

Nombres réels
La proposition 1.1.1 dit que √2 n’est pas rationnel, c’est-`a-dire ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre √2 peut s’écrire sous forme d’un développement décimal infini  √2 = 1, 41421356 . . .
Dans ce cours nous prenons cette représentation décimale comme définition d’un nombre réel.

Densité des rationnels et irrationnels

Définition 1.3.1 (densité) Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si A rencontre tout intervalle ouvert ]a, b[ avec a < b.
Théoreme 1.3.1 L’ensemble Q est dense dans R.
Démonstration. Soit a, b deux réels tels que a < b. Il s’agit d’exhiber un rationnel p/q tel que a < p/q < b.

Nombres complexes

Certains polynomes a coefficients reels, par exemple P (x) = x²+1, n’ont pas de racines reelles.
Le polynome P (x) = ax²+ bx + c avec a 6 = 0 a deux racines

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Les nombres réels et complexes (512 KO) (Cours PDF)
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