Dynamique des étoiles massives proches de la rotation critique

 L’accélération radiative 

 Diffusion Thomson de la radiation sur les électrons libres 

Commençons par le cas simple où l’accélération radiative résulte exclusivement de la force exercée par le rayonnement sur les électrons libres, c’est-à-dire le cas d’une atmosphère stellaire complètement ionisée. Dans ce cas, si l’on se place dans un système à géométrie sphérique, l’accélération radiative au rayon r (2.4) s’écrit  Figure 3.2: Image de la nébuleuse en émission Sh2-308 autour de l’étoile Wolf-Rayet WR 6, formée de la superposition des images à bandes étroites Hα (rouge) et [OIII] (bleu). Source : Jason Jennings. gradprq “ geprq “ κeL 4πr2c , (3.1) c’est-à-dire qu’elle est le produit entre l’opacité associée à la diffusion Thomson des photons sur les électrons libres κe “ 0.2p1`Xq » 0.34 cm2 {g où X est la fraction massique d’hydrogène dans l’enveloppe stellaire, et la pression de radiation F{c. Comme dans le chapitre précédent, nous pouvons comparer cette accélération radiative à la gravité en introduisant le paramètre d’Eddington, cette fois associé à la diffusion Thomson Γe “ κeL 4πcGM . (3.2) Rappelons que ce paramètre vaut 1 lorsque la luminosité est celle d’Eddington, et que lorsqu’il a une valeur supérieure à 1, l’étoile n’est plus liée gravitationnellement. L’analyse des raies spectrales d’étoiles massives indique des vents radiatifs de vitesse radiale quasi-nulle au niveau de la photosphère et très supersonique, de l’ordre de 1000-1500km ¨ s ´1 pour les étoiles de type O (la vitesse du son étant d’environ 25km¨s ´1 dans l’atmosphère de ces étoiles) à un rayon stellaire de la photosphère. Nous présentons, dans cette section, en quoi ces observations sont en désaccord avec une atmosphère stellaire dont l’opacité totale est exclusivement régie par l’opacité associée à la diffusion Thomson. Pour cela, considérons le cas simple d’un vent stationnaire à symétrie sphérique. L’équation du mouvement du fluide accéléré en réponse à une force externe (gravité, accélération radiative, gradient de pression…) s’écrit ρv dv dr “ ´ dP dr ´ GMp1 ´ Γeqρ r 2 . (3.3) La pression est exprimée avec l’équation d’état du gaz parfait P “ a 2ρ, où a est la vitesse du son du gaz isotherme et est fonction de la distance radiale r. Nous injectons maintenant cette équation d’état dans l’équation de continuité ∇ ¨ ρv “ 0 ; il vient 1 ρ dP dr “ da2 dr ´ 2a 2 r ´ a 2 v dv dr , (3.4) et nous utilisons cette équation pour réécrire l’équation du mouvement (3.3) « 1 ´ a 2 v 2 ff v dv dr “ 2a 2 r ´ da2 dr ´ GMp1 ´ Γeq r 2 . (3.5) Simplifions maintenant le problème en considérant un vent isotherme, c’est-à-dire en prenant da2 {dr “ 0. L’équation (3.5) devient alors « 1 ´ a 2 v 2 ff v dv dr “ 2a 2 r ´ GMp1 ´ Γeq r 2 . (3.6) L’intégration directe de (3.6) donne alors la solution générale (e.g., Owocki, 2013) Fpr, vq “ v 2 a 2 ´ ln v 2 a 2 ´ 4 log r rc ´ 4 r rc “ C, (3.7) où C est une constante d’intégration et rc est le rayon critique (ou sonique) où v “ a. Les contours de la fonction Fpr, vq sont représentés en Fig. 3.3 pour plusieurs valeurs de C. Les deux seules solutions transsoniques, c’est-à-dire les seules solutions telles Figure 3.3: Diagramme vitesse-rayon correspondant aux solutions de l’équation du mouvement pour un vent isotherme et stationnaire résultant de la diffusion Thomson de la radiation sur les électrons libres. Seules deux solutions sont transsoniques, l’une correspond à un vent, l’autre à une accrétion. que la vitesse du vent est localement égale à la vitesse du son, sont obtenues pour C “ ´3. La solution à pente positive est celle qui correspond à un vent, c’est-à-dire qu’elle est la seule qui correspond à un écoulement subsonique près de la surface et à un écoulement supersonique loin de l’étoile. L’autre décélère et correspond à une solution d’accrétion. Pour avoir un vent transsonique isotherme et stationnaire, trois conditions sont donc nécessaires. (1) Si v “ a le terme de droite de l’équation (3.6) doit s’annuler au rayon sonique r “ rc. (2) Si v ă a le vent est subsonique et le terme de droite de l’équation (3.6) doit être négatif pour r ă rc ; et (3) si v ą a le vent est supersonique et le terme de droite de l’équation (3.6) doit être négatif pour r ą rc. La masse de l’étoile M, la vitesse du son a, le rayon r, la densité ρ, et le paramètre d’Eddington Γe sont toutes des quantités positives, la condition (2) ne peut donc être respectée que si Γe ă 1. C’est-à-dire que dans la région subsonique, un écoulement stationnaire dirigé vers l’extérieur ne peut exister que si la force de radiation est plus faible que la force de gravité. En revanche, dans la région supersonique Γe peut être aussi grand que l’on veut ; en fait plus il sera grand et plus le gradient de vitesse et la vitesse terminale du vent seront grands. Ainsi, si Γe ą 1 dans toute l’enveloppe de l’étoile, alors un écoulement transsonique stationnaire ne peut exister, car Γe est indépendant du rayon. Le vent d’une étoile complètement ionisée où κ “ κe dans toute l’enveloppe ne peut donc être modélisé par un écoulement transsonique et stationnaire. De plus, si Γe ą 1 dans toute l’enveloppe, l’étoile n’est plus liée gravitationnellement et toute la matière est expulsée par la force de radiation en un temps (Mihalas & Mihalas, 1984) τL „ d 4πcR3 κeL . (3.8) Cependant, la diffusion lié-lié des photons sur les atomes module la valeur du rapport gravité sur accélération radiative dans les enveloppes et les atmosphères stellaires. Ainsi, la matière proche de la surface peut échapper à la gravité, et le vent peut passer d’un régime subsonique à un régime supersonique.

 Diffusion sur les raies spectrales

 Les vents stellaires sont caractérisés par un nombre d’électrons libres environ 104 fois plus élevé que le nombre d’électrons liés aux ions métalliques (Gayley, 1995). Ces électrons sont liés à des niveaux d’énergie discrets tels que l’énergie des photons incidents leur permettant de changer de niveau d’énergie, et donc d’émettre un photon secondaire, est bien spécifique. Ces raies apparaissent donc très étroites sur les spectres en énergie des étoiles. Nous pourrions ainsi raisonnablement affirmer que la contribution des raies spectrales à l’accélération du vent radiatif est négligeable devant celle des électrons libres, les atomes n’interagissant qu’avec une petite fraction du flux radiatif. Cependant, deux processus physiques conduisent à l’importance et même la domination de la contribution des raies spectrales à la diffusion des photons. Le premier est la nature résonante de la diffusion par les raies spectrales. En effet, les niveaux d’énergie discrets des atomes entrainent une section efficace d’interaction avec les photons incidents ayant une énergie très proche de celles nécessaires aux transitions entre ces niveaux d’énergie, bien plus grande que celle associée à l’interaction avec les électrons libres (Stratton, 1941; Heitler, 1954; Gayley, 1995). Une manière simple de le comprendre est de se concentrer sur le cas classique (au sens où l’on néglige les effets quantiques). Prenons un photon incident dont ν est la fréquence de l’onde électromagnétique associée, et E “ E0 cospωtq est le champ électrique correspondant, où ω “ 2πν. L’équation du mouvement d’un électron libre subissant la force électrique associée au photon incident s’écrit simplement (en négligeant les effets relativistes, le champ magnétique, ainsi que la force de rétroaction de la radiation émise par l’électron sur lui-même) mex: “ eE0 cospωtq , (3.9) où e est la charge de l’électron et me sa masse. La solution de cette équation s’écrit alors simplement x “ ´ eE0 meω2 cospωtq . (3.10) Ainsi, sous l’effet du champ électrique, l’électron vibre à la même fréquence que le photon incident, puis réémet un photon secondaire, toujours à la même fréquence. La puissance du rayonnement diffusé par l’oscillateur, par unité d’angle solide et moyennée temporellement s’écrit (e.g., Heitler, 1954) dP dΩ “ e 2 |x:| 2 4πc3 sin2 θ “ e 4E 2 0 m2 e 1 4πc3 sin2 θxcos2 pωtqy “ e 4 sin2 θE2 0 8πm2 e c 3 , (3.11) où x¨y indique une moyenne temporelle, P est la puissance rayonnée, et θ est l’angle entre la direction d’observation r et celle de la polarisation du champ électrique E0. L’intensité du rayonnement incident s’écrit I0 “ xSy “ cE2 0 8π , (3.12) où xSy est le vecteur de Poynting moyenné temporellement, caractérisant la puissance véhiculée par l’onde plane par unité d’angle solide. La section efficace différentielle d’interaction entre photon incident et électron libre φT pθq s’écrit comme le rapport entre la puissance par unité d’angle solide diffusée et l’intensité énergétique incidente, c’est-à-dire φT pθq “ dP{dΩ I0 “ ˜ e 2 mec 2 ¸2 sin2 θ , (3.13) où r0 “ e 2 {pmec 2 q est le rayon classique de l’électron. Considérons maintenant que le rayonnement incident n’est pas polarisé, on intègre alors (3.13) sur l’angle solide pour obtenir la section efficace totale d’interaction φT “ 8π 3 r 2 0 » 6.65 ˆ 10´25cm2 . (3.14) La section efficace de diffusion Thomson d’un photon sur un électron libre est donc une constante universelle indépendante de la fréquence du photon incident. Comparons maintenant cette section efficace à celle associée à la diffusion d’un photon sur un électron lié à la fréquence de résonance ν0. Dans ce cas, il est important de prendre en compte l’amortissement de l’oscillateur, c’est-à-dire la force de rétroaction résultant de la perte d’énergie du sytème lors de la diffusion du photon. L’équation de l’oscillateur harmonique s’écrit alors x: ` γx9 ` ω 2 0x “ eE0 me e iωt , (3.15) et sa solution x “ eE0{me ω 2 0 ´ ω2 ` iωγ e iωt , (3.16) où γ “ 2 3 r0 ω 2 0 c , (3.17) est le coefficient d’amortissement de l’oscillateur. La puissance du rayonnement diffusé par l’oscillateur, par unité d’angle solide et moyennée sur une période dP dΩ “ e 2 |x:| 2 4πc3 sin2 θ “ e 4E 2 0 8πc3m2 e ω 4 sin2 θ pω 2 0 ´ ω2 q 2 ` pωγq 2 . (3.18) En injectant (3.18) dans (3.13), nous obtenons la section efficace différentielle φpθq “ r 2 0 ω 4 sin2 θ pω 2 0 ´ ω2 q 2 ` ω2γ 2 , (3.19) que nous intégrons sur l’angle solide pour obtenir la section efficace totale d’intéraction φ “ φT ω 4 pω 2 0 ´ ω2 q 2 ` ω2γ 2 . (3.20) Nous remarquons que pour ω0 Ñ 0 et γ ! ω, nous retrouvons la section efficace de la diffusion Thomson. En revanche, lorsque la fréquence du photon incident ν approche la fréquence de résonance ν0, la section efficace d’intéraction d’un photon sur un électron lié est beaucoup plus grande que celle sur un électron libre. Notons aussi que si ω „ ω0, alors (3.20) peut être réécrite φ “ φT 4 ω 2 pω0 ´ ωq 2 ` γ 2{4 , (3.21) et le coefficient d’amortissement γ correspond alors à la largeur à mi-hauteur du profil d’intensité de la raie considérée. Le rapport entre la force exercée par tout le continuum sur un électron lié et celle sur un électron libre est souvent quantifié par le paramètre de qualité de résonance Q „ ν0{γ et est typiquement de l’ordre de 107 (Gayley, 1995). Bien que la population d’électrons liés dans l’atmosphère chaude des étoiles massives soit faible comparée à celle des électrons libres, leur contribution totale est bien supérieure (typiquement d’un facteur 2 ˆ 103 , Gayley, 1995). Ainsi, en théorie, une étoile avec Γe “ 0.5 peut être sujette à une accélération radiative localement 1000 fois supérieure à la gravité. Cependant, si l’on considère une atmosphère statique, les raies spectrales dans sa partie basse saturent et bloquent les fréquences pertinentes pour l’accélération radiative dans les parties plus superficielles. C’est ici qu’intervient le second processus : l’effet Doppler de l’atmosphère en expansion. Nous avons vu que la vitesse du vent augmente vers l’extérieur, les couches les plus externes de l’enveloppe stellaire sont donc en expansion induisant ainsi un décalage vers le rouge de la fréquence de résonance des raies spectrales locales. Ces dernières pourront ainsi intercepter les photons du continu à une fréquence différente de ν0. Ainsi, par conservation de la masse, les couches les plus internes sont aussi accélérées, en accord avec un écoulement transsonique, ce qui entraîne la dé-saturation des raies spectrales dans toute l’atmosphère stellaire. 

 La théorie de Sobolev 

Modéliser l’accélération radiative associée à la diffusion des photons sur les raies spectrales dans une atmosphère en expansion est une tâche difficile, en particulier à cause de la non-localité de l’intéraction radiative. Heureusement, Sobolev (1960) remarqua que dans le cas d’une atmosphère à fort gradient de vitesse radiale, la portée d’interaction radiative est fortement réduite. Dans le cas de vents supersoniques celleci devient même plus petite que les échelles de longueur typiques de l’écoulement, à savoir la hauteur d’échelle de densité ou de vitesse H “ |ρ{dρ{dr| „ |v{dv{dr|, c’està-dire „ vth |dv{dr| ! H , (3.22) où vth est la vitesse thermique. L’interaction radiative en chaque endroit de l’atmosphère r est donc essentiellement déterminée par son environnement proche (en particulier par le gradient de vitesse local) et peut donc être traitée comme un phénomène local. Cette distance caractéristique, souvent écrite lsob, est appelée longueur de Sobolev. Un exemple de l’utilité de l’aspect local de l’interaction radiative est le calcul de la profondeur optique. Pour une enveloppe statique, la profondeur optique s’écrit τstat “ ż 8 R ρκldr , (3.23) où κl est l’opacité (ou coefficient d’absorption massique ) de la raie considérée. Pour une enveloppe en expansion et en faisant l’hypothèse d’interaction radiative locale, cette quantité peut être simplement écrite τexp “ ρκl lsob “ qt , (3.24) où τsob “ κeρvth dv{dr et q “ κl κe , (3.25) sont respectivement la profondeur optique de Sobolev de la raie considérée et q caractérise la force de la raie (q “ 1 pour la diffusion Thomson). De manière générale, dans le cas d’une géométrie sphérique, l’accélération radiative totale incluant la diffusion Thomson ainsi que celle sur les raies spectrales s’écrit gradprq “ ge ` g line rad “ κe c ż 8 ν“0 Fνdν ` ÿ lines κl c ¿ ż 8 ν“0 φpν ´ ν 1 qIνpτνqdΩdν “ κeF c ` ÿ lines κl c ¿ ż 8 ν“0 φpν ´ ν 1 qIνpτνqdΩdν , (3.26) où Fν est le flux radiatif monochromatique, Iν est l’intensité monochromatique, F est le flux radiatif bolométrique, φpνq est le profil normalisé de la raie, et ν 1 “ ν0 ˆ 1 ` vprq c ˙ , (3.27) est la fréquence du photon incident, vue à la position r dans l’atmosphère en expansion. Faisons le changement de variable x “ ˆ ν ´ ν0 ∆νD ˙ , (3.28) où ∆νD “ ν0vth{c est la largeur Doppler. (3.26) peut alors être mise sous la forme grad “ κeF c ` ÿ lines κl∆νD c ¿ ż 8 x“´8 φ ˆ x ´ vprq vth ˙ IνdΩdx . (3.29) Ici, Iν a deux composantes : l’une correspond à un terme associé à la diffusion de la radiation, l’autre correspond à l’intensité atténuée émanant des couches inférieures de l’atmosphère stellaire. Le premier terme est négligeable à la résonance pour une atmosphère en expansion (voir Castor, 1974; Cranmer, 1996; Owocki, 2013). Ainsi d’après l’équation du transfert radiatif Iνpτνq » Iνp0qe ´τν , (3.30) et la profondeur optique, d’après la théorie de Sobolev, peut s’écrire τν “ qτsob “ τexpΦpx, rq (3.31) où Φpx, rq s’écrit Φpxq ” ż 8 x φpx 1 qdx1 , (3.32) (pour plus de détails voir Cranmer, 1996; Owocki, 2013). Enfin, en considérant la radiation comme étant purement radiale, c’est-à-dire en considérant qu’elle émane exclusivement du centre de l’étoile, (3.29) peut être réécrite (Rybicki & Hummer, 1978) grad “ κeF c ` ÿ lines κl∆νD c ¿ ż 8 ´8 φpx 1 qIνp0qe ´τν dΩdx “ ge ` ÿ lines wν0 qge vth c 1 ´ e ´qτsob qτsob (3.33) où nous avons considéré que la largeur des raies spectrales est suffisamment petite pour que Iνp0q puisse être sorti de l’intégrale. wν0 ” ν0Fν{F quantifie la force de chaque raie. Ainsi, dans la limite optiquement mince τν ! 1, l’accélération radiative associée à une raie spectrale s’écrit gthin » wν0 qge vth c , (3.34) et dans la limite optiquement épaisse τν  » 1 gthick » gthin qτsob “ Lv Mc 9 dv dr , (3.35) où nous avons utilisé l’équation de conservation de la masse M9 “ 4πr2ρv. Nous remarquons que dans la limite optiquement épaisse, l’accélération radiative ne dépend pas de la force de la raie q, mais est fonction de l’advection du gradient de vitesse. Ainsi, l’accélération du vent générée par la diffusion des photons sur les électrons libres et sur les raies optiquement épaisses, agit rétroactivement. L’intérêt du formalisme de Sobolev est ici évident car il permet l’évaluation analytique de l’intégrale sur x (3.33). La prochaine difficulté à surmonter provient de la quantité importante de raies pertinentes à l’accélération du vent radiatif. Heureusement, Castor et al. (1975) (CAK) proposent une paramétrisation permettant une expression simplifiée de l’accélération radiative cumulée résultant de cet ensemble de raies. 

Paramétrisation de l’accélération radiative par CAK 

L’hypothèse principale du formalisme de CAK est l’indépendance des raies spectrales (au sens où elles ne se superposent pas), permettant ainsi d’étudier la force des raies à l’aide de distributions statistiques. L’accélération radiative associée aux raies spectrales peut ainsi être réécrite g lines rad » ge ż 8 0 q dN dq 1 ´ e ´qτsob qτsob dq (3.36) où dN{dq caractérise la distribution numérique des raies, pondérée par le flux radiatif du continu à leur fréquence. Cette hypothèse permet ainsi de transformer la somme sur les raies en une intégrale continue. Cette distribution numérique des raies est ensuite approximée par une loi de puissance telle que (Castor et al., 1975) q dN dq “ 1 Γpαq kp1 ´ αqq α´1 ˆ vth c ˙´α (3.37) où Γpαq est la fonction Gamma, et α et k sont les paramètres de CAK. Ces paramètres n’ont pas de signification physique évidente, mais α peut être interprété comme le rapport entre la force des raies optiquement épaisses et la force de l’ensemble des raies spectrales. Le paramètre k peut quant à lui être associé à la fraction du flux stellaire total qui serait bloqué au niveau de la photosphère si toutes les raies étaient optiquement épaisses (Puls et al., 2000). Ainsi, en injectant (3.37) dans (3.36), nous obtenons l’accélération radiative associée à l’ensemble des raies spectrales g lines rad “ Mpτsobqge ” kτsob α ge , (3.38) où Mptq est appelé multiplicateur de force des raies. Cette formulation, cependant, introduit artificiellement la vitesse thermique qui dépend du poids moléculaire moyen de tous les ions considérés (dans la théorie de Sobolev, l’accélération radiative n’est pas fonction de la vitesse thermique). Il est donc pratique de faire le changement de variable k “ pvth{cq αQ 1´α {p1 ´ αq introduit par Gayley (1995) où Q caractérise la qualité de résonance des raies cumulées et a une valeur quasi-constante de l’ordre de 2000. Il vient q dN dq “ 1 Γpαq ˜ q Q ¸α´1 , et g lines rad “ 1 1 ´ α κeQL 4πr2c ˜ dv{dr ρcQκe ¸α . (3.39) L’intérêt de ce formalisme est donc la réduction du nombre de paramètres libres à un seul, α. Malheureusement, l’Ansatz de Gayley (1995) considère en réalité que la qualité de résonance des raies cumulées Q est égale à la force de la raie la plus forte Q0. Tandis que Gayley (1995) suggère que cette hypothèse est toujours vérifiée, Puls et al. (2000) montre qu’elle n’est valable que pour des vents suffisamment chauds (Teff Á 35kK). Dans ce manuscrit, nous considérerons des modèles d’étoiles dont la température effective ne satisfait pas toujours cette condition. Nous conserverons donc le formalisme tα, ku de CAK. 3.3 Perte de masse globale à 1D Nous montrons, dans cette section, que l’expression de l’accélération radiative de CAK/Sobolev (3.39) faisant l’hypothèse que l’étoile est un point source de radiation, permet une dérivation relativement simple du taux de perte de masse. L’équation stationnaire du mouvement du fluide accéléré radialement s’écrit  v dv dr “ g lines rad ` ge ´ GM r 2 ´ 1 ρ dP dr “ g lines rad ´ GMp1 ´ Γeq r 2 ´ 1 ρ dP dr . (3.40) La complexité de cette équation réside en le fait que l’accélération radiative g lines rad dépend de l’accélération du vent qu’elle génère (voir Eq. 3.39). Comme pour le cas d’un vent accéléré uniquement par la pression du gaz et par la diffusion Thomson de la radiation sur les électrons libre, étudié en Sect. 3.2.1, nous exprimons le gradient de pression à l’aide de l’équation d’état du gaz parfait. Il vient ˜ 1 ´ a 2 v 2 ¸ v dv dr “ C r 2 ˆ r 2 v dv dr ˙α ` 2a 2 r ´ da2 dr ´ GMp1 ´ Γeqρ r 2 , (3.41) où nous avons introduit C “ κeLk 4πc ˜ 4π κevthM9 ¸α , (3.42) et M9 est le taux de perte de masse résultant de l’équation de conservation de la masse M9 “ 4πr2 ρprqvprq . (3.43) Notons que contrairement au cas d’un vent accéléré uniquement par la pression du gaz et par la diffusion Thomson, le point sonique (v “ a) n’est plus un point critique de l’équation du mouvement. L’équation (3.41) peut ensuite être mise sous la forme (Castor et al., 1975) Fpu, w, w1 q “ „ 1 ´ 1 2 pa 2 {wq  w 1 ´ hpuq ´ Cpw 1 q α “ 0 , (3.44) où nous avons introduit w ” v 2 {2, u ” ´1{r, w 1 ” dw{du, et hpuq ” ´GMp1 ´ Γeq ´ 2a 2 u ´ da2 du . (3.45) En fonction de la valeur de u (donc de r), de w, de C, et du comportement de la fonction hpuq, l’équation différentielle (3.44) peut avoir une, plusieurs ou aucune solution (Castor et al., 1975). De plus, cette équation différentielle contient un ensemble points singuliers définissant la limite de la région de l’espace des paramètres où (3.44) n’a aucune solution, et en lesquels les solutions peuvent présenter des discontinuités ou sont des points de rebroussement. Cet ensemble de points est défini par la condition de singularité BFpu, w, w1 q Bw1 “ 1 ´ a 2 2w ´ αCpw 1 q α´1 “ 0 . (3.46) Castor et al. (1975) remarque que pour que w 1 soit une fonction continue de u, la solution w 1 puq doit être tangente à la courbe définissant l’ensemble des points singuliers. Ainsi, la solution ne contient qu’un seul point singulier. En supposant que wpuq est une solution de l’équation différentielle (3.44) telle que w 2 puq existe en tout point, nous pouvons différencier (3.44) par rapport à u, au point singulier ˆ dF du ˙ c “ „ BF Bu ` w 1 BF Bw ` w 2 BF Bw1  c “ 0 , (3.47) où l’indice c indique que l’on se place au point singulier interceptant la solution. En ce point singulier, la condition de singularité implique que BF{Bw 1 “ 0 et ainsi la condition de régularité s’écrit ˆ dF du ˙ c “ „ BF Bu ` w 1 BF Bw  c “ 0 . (3.48) Connaissant la position du point singulier (aussi appelé point critique) uc (ou rc), les équations (3.44), (3.46) et (3.48) en ce point particulier permettent de déterminer C, donc le taux de perte de masse M9 de l’étoile. En faisant l’hypothèse raisonable que la pression du gaz ne joue aucun rôle dans l’accélération du vent, l’équation (3.44) peut être plus simplement réécrite Fpw 1 q “ w 1 ` GMp1 ´ Γeq ´ Cpw 1 q α “ 0 . (3.49) Notons que F n’est plus fonction de u et de w, c’est-à-dire que la condition de régularité (3.48) est donc toujours respectée. La condition de singularité (3.46), quant à elle, est réécrite BFpw 1 q Bw1 “ 1 ´ αCpw 1 q α´1 “ 0 . (3.50) En combinant ces deux dernières équations, il vient   w 1 “ GMp1 ´ Γeq α 1 ´ α et C “ 1 αα ˆ GMp1 ´ Γeq 1 ´ α ˙1´α , (3.51) au point critique. Il suffit maintenant de remplacer l’expression de C dans (3.42) pour obtenir l’expression de taux de perte de masse au point critique M9 “ 4πGM κevth α ˆ 1 ´ α 1 ´ Γe ˙p1´αq{α pkΓeq 1{α . (3.52) Comme mentionné plus haut, lorsque l’on néglige la pression du gaz, la condition de régularité est vérifiée en tout point et la solution est dégénérée. Le profil radial de la vitesse du vent radiatif peut donc être déterminé en faisant le changement de variable inverse, il vient vprq “ v8 ˆ 1 ´ R r ˙b , (3.53) où b “ 1{2 et v8 “ vescc α 1 ´ α , (3.54) est la vitesse terminale du vent, et vesc “ a 2GMp1 ´ Γeq{R est la vitesse effective d’échappement à la surface de l’étoile. L’inclusion du gradient de pression dans l’équation du mouvement permet de lever cette dégénérescence, et la prise en compte additionnelle du disque fini de l’étoile (cf Sect. 3.4) donne un rayon critique très proche de la photosphère (e.g., Pauldrach et al., 1986). Nous considérerons donc que le point critique est situé au rayon photosphérique, et le taux de perte de masse (3.52) est donc évalué à la photosphère.